狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波

狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波1第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

在一般的統(tǒng)計(jì)模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測(cè)到的，這些模型以反映過去經(jīng)濟(jì)變動(dòng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用回歸分析或時(shí)間序列分析等方法估計(jì)參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來的值。狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)是提出了“狀態(tài)”這一概念。而實(shí)際上，無論是工程控制問題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)（如導(dǎo)彈軌跡的控制問題）還是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所存在的某些狀態(tài)都是一種不可觀測(cè)的變量，正是這種觀測(cè)不到的變量反映了系統(tǒng)所具有的真實(shí)狀態(tài)，所以被稱為狀態(tài)向量。這種含有不可觀測(cè)變量的模型被稱為UC模型(UnobservableComponentModel)。2第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日UC模型通過通常的回歸方程式來估計(jì)是不可能的，必須利用狀態(tài)空間模型來求解。狀態(tài)空間模型建立了可觀測(cè)變量和系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，從而可以通過估計(jì)各種不同的狀態(tài)向量達(dá)到分析和觀測(cè)的目的。EViews狀態(tài)空間對(duì)象對(duì)單方程或多方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)提供了一個(gè)直接的、易于使用的界面來建立、估計(jì)及分析方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測(cè)工具，幫助我們利用狀態(tài)空間形式來分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

3第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日利用狀態(tài)空間形式表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，狀態(tài)空間模型將不可觀測(cè)的變量(狀態(tài)變量)并入可觀測(cè)模型并與其一起得到估計(jì)結(jié)果；其次，狀態(tài)空間模型是利用強(qiáng)有效的遞歸算法——卡爾曼濾波來估計(jì)的?？柭鼮V波可以用來估計(jì)單變量和多變量的ARMA模型、MIMIC（多指標(biāo)和多因果）模型、馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型。4第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日§11.1

狀態(tài)空間模型的定義

在本節(jié)中，我們僅就如何定義并預(yù)測(cè)一個(gè)線性狀態(tài)空間模型做以簡(jiǎn)要的討論。狀態(tài)空間模型一般應(yīng)用于多變量時(shí)間序列。設(shè)

yt

是包含k個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的k1維可觀測(cè)向量。這些變量與m1維向量t有關(guān)，t被稱為狀態(tài)向量。定義“量測(cè)方程”(measurementequation)或稱“信號(hào)方程”(signalequation)為(11.1.1)其中：T表示樣本長(zhǎng)度，Zt

表示km矩陣，稱為量測(cè)矩陣，dt表示k1向量，ut表示k1向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣為Ht的不相關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)，即(11.1.2)5第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日一般地，t的元素是不可觀測(cè)的，然而可表示成一階馬爾可夫(Markov)過程。下面定義轉(zhuǎn)移方程(transitionequation)或稱狀態(tài)方程(stateequation)為(11.1.3)其中：Tt表示mm矩陣，稱為狀態(tài)矩陣，ct表示m1向量，Rt表示mg矩陣，t表示g1向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣為Qt的連續(xù)的不相關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)，即(11.1.4)量測(cè)方程和狀態(tài)方程的擾動(dòng)項(xiàng)的協(xié)方差矩陣用表示6第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)k

1時(shí)，變?yōu)閱巫兞磕Ｐ?，量測(cè)方程可以寫為(11.1.5)其中：Zt表示1m矩陣，t表示m1狀態(tài)向量，ut是方差為2的擾動(dòng)項(xiàng)。7第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

若使上述的狀態(tài)空間模型成立，還需要滿足下面兩個(gè)假定：(1)初始狀態(tài)向量0的均值為a0，協(xié)方差矩陣為P0，即(11.1.6)(2)在所有的時(shí)間區(qū)間上，擾動(dòng)項(xiàng)ut和t相互獨(dú)立，而且它們和初始狀態(tài)0也不相關(guān)，即(11.1.7)且(11.1.8)8第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日量測(cè)方程中的矩陣Zt,dt,Ht與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣Tt,ct,Rt,Qt統(tǒng)稱為系統(tǒng)矩陣。如不特殊指出，它們都被假定為非隨機(jī)的。因此，盡管它們能隨時(shí)間改變，但是都是可以預(yù)先確定的。對(duì)于任一時(shí)刻t，yt能夠被表示為當(dāng)前的和過去的ut和t及初始向量0的線性組合，所以模型是線性的。9第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例11.1

一階移動(dòng)平均模型MA(1)

(11.1.9)其中：E(t)=0，var(t)=

2，cov(t,

t-s)=0,

通過定義狀態(tài)向量t=(yt,t)可以寫成狀態(tài)空間形式

量測(cè)方程：(11.1.10)

狀態(tài)方程：(11.1.11)這種形式的特點(diǎn)是不存在量測(cè)方程噪聲。10第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

對(duì)于任何特殊的統(tǒng)計(jì)模型，狀態(tài)向量t

的定義是由結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包含具有實(shí)際解釋意義的成分，例如趨勢(shì)或季節(jié)要素。狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是，所建立的狀態(tài)向量t

包含了系統(tǒng)在時(shí)刻

t的所有有關(guān)信息，同時(shí)又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù)，則稱為最小實(shí)現(xiàn)(MinimalRealization)。對(duì)一個(gè)好的狀態(tài)空間模型，最小實(shí)現(xiàn)是一個(gè)基本準(zhǔn)則。然而對(duì)于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的，這一點(diǎn)很容易驗(yàn)證。11第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

考慮通過定義一個(gè)任意的非奇異矩陣B，得到t*=Bt

，為新的狀態(tài)向量。用B矩陣左乘狀態(tài)方程(11.1.3)，得到(11.1.12)式中Tt*=BTtB-1，ct*=Bct，Rt*=BRt

。相應(yīng)的量測(cè)方程是(11.1.13)式中Zt*=ZtB-1。12第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例11.2二階自回歸模型AR(2)(11.1.14)其中：E(ut)=0，var(ut)=

2，cov(ut,

ut-s)=0,考慮兩個(gè)可能的狀態(tài)空間形式(k=1,m=2)是(11.1.15)

(11.1.16)換一種形式

(11.1.17)

13第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

系統(tǒng)矩陣Zt，Ht，Tt，Rt，Qt可以依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合。狀態(tài)空間模型的一個(gè)主要的任務(wù)就是估計(jì)這些參數(shù)，在例11.1的MA(1)模型中的參數(shù){,

2}和例11.2的AR(2)模型中的參數(shù){

1，

2，

2}是未知的，這些參數(shù)將通過

向量表示，并被稱為超參數(shù)（hyperparameters）。超參數(shù)確定了模型的隨機(jī)性質(zhì)，在ct和dt中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測(cè)變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量作為解釋變量，也可以引入yt的延遲變量，這些都可以放到dt中去。如果ct或dt是未知參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)，這些未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。14第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例11.3變參數(shù)模型

通常的回歸模型可用下式表示，即：其中：yt是因變量，xt是m1的解釋變量向量，是待估計(jì)的m1未知參數(shù)向量，ut是擾動(dòng)項(xiàng)。這種回歸方程式所估計(jì)的參數(shù)在樣本期間內(nèi)是固定的，可以采用普通最小二乘法(OLS)、工具變數(shù)法等計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的常用方法進(jìn)行估計(jì)。

15第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日實(shí)際上近年來，我國(guó)由于經(jīng)濟(jì)改革、各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)正在逐漸發(fā)生變化，而用固定參數(shù)模型表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化，因此，需要考慮采用變參數(shù)模型(Time-varyingParameterModel)。下面利用狀態(tài)空間模型來構(gòu)造變參數(shù)模型。量測(cè)方程：狀態(tài)方程：

～16第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

xt是具有隨機(jī)系數(shù)t

的解釋變量的集合，zt

是有固定系數(shù)

的解釋變量集合，隨機(jī)系數(shù)向量t

是對(duì)應(yīng)于(11.1.1)中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。變參數(shù)t

是不可觀測(cè)變量，必須利用可觀測(cè)變量

yt

和

xt來估計(jì)。假定變參數(shù)t

的變動(dòng)服從于AR(1)模型（也可以簡(jiǎn)單地?cái)U(kuò)展為AR(p)模型），擾動(dòng)向量

ut,t

假定為相互獨(dú)立的，且服從均值為0，方差為

2和協(xié)方差矩陣為

Q

的正態(tài)分布。17第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

§11.2卡爾曼濾波(KalmanFiltering)當(dāng)一個(gè)模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對(duì)其應(yīng)用一些重要的算法求解。這些算法的核心是Kalman濾波。Kalman濾波是在時(shí)刻t基于所有可得到的信息計(jì)算狀態(tài)向量的最理想的遞推過程。在某些工程問題中，狀態(tài)向量的當(dāng)前值具有重要影響(例如，它可以表示火箭在空間的坐標(biāo))。Kalman濾波的主要作用是：當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時(shí)，能夠通過預(yù)測(cè)誤差分解計(jì)算似然函數(shù)，從而可以對(duì)模型中的所有未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并且當(dāng)新的觀測(cè)值一旦得到，就可以利用Kalman濾波連續(xù)地修正狀態(tài)向量的估計(jì)。18第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日以下設(shè)YT表示在t=T時(shí)刻所有可利用的信息的信息集合，即YT={yT,yT-1

,…,y1}

。狀態(tài)向量的估計(jì)問題根據(jù)信息的多少分為3種類型：(1)當(dāng)t>T時(shí)，超出樣本的觀測(cè)區(qū)間，是對(duì)未來狀態(tài)的估計(jì)問題，稱為預(yù)測(cè)（prediction）；(2)當(dāng)t=T時(shí)，估計(jì)觀測(cè)區(qū)間的最終時(shí)點(diǎn)，即對(duì)現(xiàn)在狀態(tài)的估計(jì)問題，稱為濾波（filtering）；(3)當(dāng)t<T時(shí)，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測(cè)值對(duì)過去狀態(tài)的估計(jì)問題，稱為平滑（smoothing）。19第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日進(jìn)一步，假定att-1和Ptt-1分別表示以利用到t-1為止的信息集合Yt-1為條件的狀態(tài)向量t的條件均值和條件誤差協(xié)方差矩陣，即

在本節(jié)假定系統(tǒng)矩陣Zt,Ht,Tt,Rt和Qt是已知的，設(shè)初始狀態(tài)向量

0的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為a0和P0，并假定a0和P0也是已知的。20第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日11.2.1Kalman濾波的一般形式1．濾波考慮狀態(tài)空間模型(11.1.1)和(11.1.3)，設(shè)at-1為狀態(tài)向量t-1的均值，也是基于信息集合Yt-1的t-1的估計(jì)量，Pt-1表示估計(jì)誤差的mm協(xié)方差矩陣，即(11.2.1)21第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)給定at-1和Pt-1時(shí)，t的條件分布的均值由下式給定，即(11.2.2)在擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)下，t的條件分布的均值att-1是t在最小均方誤差意義下的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)量。估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣是(11.2.3)式(11.2.2)和式(11.2.3)稱為預(yù)測(cè)方程(pedictionequations)。22第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日一旦得到新的預(yù)測(cè)值yt，就能夠修正t的估計(jì)att-1，更新方程(updatingequations)是(11.2.4)和(11.2.5)其中(11.2.6)上述式(11.2.2)～式(11.2.6)一起構(gòu)成Kalman濾波的公式。23第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日Kalman濾波的初值可以按a0和P0或a10和P10指定。這樣，對(duì)于t=1,2,…,T，每當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)觀測(cè)值時(shí)，Kalman濾波提供了狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)。當(dāng)所有的T個(gè)觀測(cè)值都已處理，Kalman濾波基于信息集合YT，產(chǎn)生當(dāng)前狀態(tài)向量和下一時(shí)間期間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)。這個(gè)估計(jì)包含了產(chǎn)生未來狀態(tài)向量和未來觀測(cè)值的最優(yōu)預(yù)測(cè)所需的所有信息。24第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2．平滑平滑（smoothing）(t=T-1,T-2,…,1)(11.2.10)(11.2.11)其中：aT|T,PT|T是平滑的初值。

還可以計(jì)算得到y(tǒng)t的平滑估計(jì)和協(xié)方差矩陣25第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日3．預(yù)測(cè)如果量測(cè)方程(11.1.1)的擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從多元正態(tài)分布，則yt關(guān)于Yt-1的條件分布也是正態(tài)的。且這個(gè)條件分布的均值和協(xié)方差矩陣可以直接由Kalman濾波給定。以信息集Yt-1為條件，t服從具有均值att–1和協(xié)方差矩陣Ptt–1的正態(tài)分布。如果量測(cè)方程被寫為(11.2.12)可以直接看出yt的條件分布是正態(tài)的，yt的條件均值(一步向前(線性)最小均方誤差估計(jì)):(11.2.13)

26第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日一步向前預(yù)測(cè)誤差向量(11.2.14)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣由式(11.2.6)的Ft給定，即(11.2.15)由后面11.2.2節(jié)的論述可以知道條件均值是yt的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)。因此，可以利用式(11.2.13)，以及Kalman濾波公式(11.2.2)～(11.2.6)，對(duì)yt，t（t=T+1,T+2,…）進(jìn)行預(yù)測(cè)。27第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日11.2.2Kalman濾波的解釋和性質(zhì)

Kalman濾波的導(dǎo)出依賴于擾動(dòng)項(xiàng)和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)。有了正態(tài)分布的假設(shè)，就能夠基于信息集合YT={yT,yT-1

,…,y1}

，利用Kalman濾波遞推地計(jì)算t的分布。這些條件分布自身也都服從正態(tài)分布，因此也就由它們的均值和協(xié)方差矩陣完全確定，這就是Kalman濾波計(jì)算的估計(jì)量。為了說明t的條件均值是t在最小均方誤差意義下的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)量，下面首先介紹均方誤差和最小均方估計(jì)的概念。28第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1.均方誤差設(shè)z是隨機(jī)向量，已知樣本集合ZT={zT,zT-1

,…,z1}

，是基于ZT的z的任一估計(jì)量，則定義均方誤差（meansquareerror，MSE）為(11.2.16)2.最小均方估計(jì)

設(shè)是基于ZT的z的任一估計(jì)量，是其中使均方誤差達(dá)到最小的z的估計(jì)量，即(11.2.17)則稱為z的最小均方估計(jì)(mininummeansquareestimator，MMSE)。29第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日Kalman濾波以信息集Yt為條件，產(chǎn)生t的條件均值和方差(11.2.18)(11.2.19)其中：數(shù)學(xué)期望算子下面的下標(biāo)t表示是關(guān)于Yt的條件期望。30第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)是以信息集Yt為條件的t的任一估計(jì)量，估計(jì)誤差可以被分為兩個(gè)部分(11.2.20)對(duì)式(11.2.20)兩端平方，并求期望值，經(jīng)過計(jì)算，由于混合乘積項(xiàng)為零，得到(11.2.21)在式(11.2.21)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)是t的條件方差，由于var(tYt)0，且與估計(jì)量無關(guān)，因此要想使式(11.2.21)達(dá)到最小，只需在第二項(xiàng)取即可。也就是說，t的最小均方估計(jì)(MMSE)就是由Kalman濾波所得到的條件均值at=E(tYt)，并且是惟一的。31第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)狀態(tài)空間模型的擾動(dòng)項(xiàng)的分布不能滿足正態(tài)分布假定時(shí)，一般地，Kalman濾波所產(chǎn)生的估計(jì)量at不再是狀態(tài)向量t的條件均值，換句話說，式(11.2.18)將不成立。但是如果限制估計(jì)量是觀測(cè)值的線性組合，即在所有線性估計(jì)范圍內(nèi)，at是具有最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計(jì)量。此時(shí)稱at是基于信息集Yt的t的最小均方線性估計(jì)量(minimummeansquarelinearestimator，MMSLE)，估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣是由Kalman濾波給出的Pt矩陣。32第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日進(jìn)一步地，上述關(guān)于狀態(tài)向量t的論述也可以類似地用來解釋yt基于信息集Yt–1的條件均值，用表示，即(11.2.22)在正態(tài)假定下，是yt在最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)，并且在不滿足正態(tài)假定時(shí)，是yt的最小均方線性估計(jì)量(MMSLE)。33第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日預(yù)測(cè)誤差(11.2.23)被稱為新息(innovations)，因?yàn)樗碓赮t-1的基礎(chǔ)上新觀測(cè)值yt所帶來的信息。從更新方程(11.2.4)中可以看出，新息vt對(duì)修正狀態(tài)向量的估計(jì)量起到了關(guān)鍵的作用。在正態(tài)假定下，根據(jù)是最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計(jì)量，可以推斷vt的均值是零向量。進(jìn)一步地，從式(11.2.23)容易看出(11.2.24)其中：Ft由式(11.2.6)給定。在不同的時(shí)間區(qū)間，新息vt是不相關(guān)的，即,(11.2.25)34第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日11.2.3修正的Kalman濾波遞推公式當(dāng)量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的擾動(dòng)項(xiàng)是相關(guān)的時(shí)候，需要修改Kalman濾波。考慮具有量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式(11.2.26)(11.2.27)假設(shè)(11.2.28)其中Gt是已知的g

k矩陣。量測(cè)方程和狀態(tài)方程的擾動(dòng)項(xiàng)的協(xié)方差矩陣用表示

35第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日注意當(dāng)量測(cè)方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項(xiàng)在同時(shí)點(diǎn)相關(guān)，在不同時(shí)點(diǎn)不相關(guān)時(shí)，Kalman濾波中的預(yù)測(cè)公式(11.2.2)，(11.2.3)不變，更新方程進(jìn)行如下修改：在(11.2.4)和式(11.2.5)中矩陣Ptt–1Zt變?yōu)镻tt–1Zt+RtGt，式(11.2.6)變?yōu)?11.2.29)36第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日11.2.4非時(shí)變模型及Kalman濾波的收斂性在許多實(shí)際應(yīng)用問題中，狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣Zt，dt，Ht，Tt，ct，Rt和Qt都是不依賴于時(shí)間變化的，這樣就可以寫成不帶時(shí)間下標(biāo)的模型，稱為非時(shí)變模型。一般允許ct和dt是依時(shí)間變化的，于是狀態(tài)空間模型的量測(cè)方程(11.1.1)和轉(zhuǎn)移方程(11.1.3)就可以寫為(11.2.32)(11.2.33),(11.2.34)37第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)移矩陣T的所有的特征根的模應(yīng)當(dāng)小于1，即(11.2.35)且如果初始協(xié)方差矩陣P10是非負(fù)定的，則(11.2.36)獨(dú)立于P10，Pt+1t呈指數(shù)地迅速收斂到。38第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日11.2.5Kalman濾波的初始條件(1)僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣T,方差矩陣P和Q是非時(shí)變的且滿足某些穩(wěn)定性條件，初始條件的求解才是可能的。如果初始條件的求解是可能的，可以利用關(guān)系式：

在更復(fù)雜的模型中給出求協(xié)方差矩陣初始條件P0的一種方法(11.2.37)式中Vec()算子是把矩陣?yán)?，即表示矩陣的列是一列接著一列而形成一個(gè)向量，而運(yùn)算符表示克羅內(nèi)克積(kroneckerproduct)，I為單位矩陣。39第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日(2)如果初始條件的求解是不可能的，狀態(tài)將按擴(kuò)散先驗(yàn)處理。當(dāng)利用擴(kuò)散先驗(yàn)時(shí)，采用Koopman，Shephard和Doornik(1998)提出的方法將設(shè)置0=0和P0=

I，這里

為一個(gè)任意的大數(shù)。如設(shè)

=106，然后通過乘以殘差協(xié)方差矩陣的最大的對(duì)角線元素調(diào)整P。40第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日§11.3狀態(tài)空間模型超參數(shù)的估計(jì)在11.2節(jié)討論利用Kalman濾波遞推公式求狀態(tài)向量的估計(jì)量時(shí)，假定狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣Zt,Ht,Tt,Rt和Qt是已知的。但實(shí)際上系統(tǒng)矩陣是依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合，這些未知參數(shù)用向量

表示，并被稱為超參數(shù)。例如，在例11.1的一階移動(dòng)平均模型MA(1)中

=(,

2)′，在例11.2的二階自回歸模型AR(2)中

=(

1,

2,

2)′。本節(jié)對(duì)于狀態(tài)空間模型的量測(cè)方程(11.1.1)和狀態(tài)方程(11.1.3)中含有未知參數(shù)的情況，介紹超參數(shù)的估計(jì)方法。41第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日在許多問題中，特別在關(guān)于正態(tài)分布的各種估計(jì)問題中，極大似然法是最常用的方法，這主要表現(xiàn)在極大似然估計(jì)量常具有某些優(yōu)良的性質(zhì)。這里采用極大似然法估計(jì)未知的超參數(shù)。極大似然法的原理通常用于觀測(cè)值y1

,y2

,…,yT相互獨(dú)立且具有同樣分布的情形，此時(shí)它們的聯(lián)合概率函數(shù)被給定為(11.3.1)其中：P(yt)是第t個(gè)觀測(cè)值的概率密度函數(shù)。L(y;

)是樣本y1

,y2

,…,yT的聯(lián)合概率密度函數(shù)。一旦得到樣本觀測(cè)值，L(y;

)就可以被解釋為似然函數(shù)，并且可以通過關(guān)于

求偏導(dǎo)數(shù)，使函數(shù)L(y;

)達(dá)到最大來求出

的極大似然估計(jì)。42第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日然而，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的一個(gè)重要特征是經(jīng)濟(jì)變量間是不獨(dú)立的，因此不能用式(11.3.1)，而是利用條件概率密度函數(shù)代替聯(lián)合概率密度函數(shù)將似然函數(shù)表示為(11.3.2)其中：P(ytYt-1)表示yt以直到時(shí)刻t-1的信息集合為條件的條件分布，即Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}，P(

ytYt-1)=P(yty1,…,yt-1)。43第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日在總體正態(tài)的假定之下，可以將式(11.3.2)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)直接寫為(11.3.3)其中(11.3.4)

由前面11.2.2節(jié)的論述可以知道條件均值是yt的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計(jì)量(MMSE)，所以k1向量vt可以作為一個(gè)預(yù)測(cè)誤差向量來解釋。因此(11.3.3)式有時(shí)也稱為似然函數(shù)形式的預(yù)測(cè)誤差分解。44第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日極大似然估計(jì)量的計(jì)算方法有許多種，有解析方法，也有數(shù)值解法。設(shè)=(1,2,…,n)是待求的未知參數(shù)向量，首先求極大似然估計(jì)的迭代公式。為求極大似然估計(jì)，需要求解

設(shè)是超參數(shù)向量的精確值，采用Taylor展開式，取一次近似，并設(shè)表示參數(shù)空間上的任意一點(diǎn)，則可將lnL(y;)/表示成

45第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日令其為0，可得

于是得到迭代公式其中：l=1,2,…，從某個(gè)初始設(shè)定的參數(shù)值(0)出發(fā)，進(jìn)行迭代過程：(1),

(2),

(3),…

。

46第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日求(l)

(l=1,2,…)，它的收斂值

為所求的極大似然估計(jì)。式中對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣

2lnL/

被稱為海塞(Hessian)矩陣，而對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)lnL/

被稱為得分向量或Jacobian向量。計(jì)算海塞(Hessian)矩陣的逆矩陣，計(jì)算量是很大的。計(jì)算方法有多種，近似的方法可節(jié)省時(shí)間但缺少嚴(yán)密性，而嚴(yán)密的方法又有計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn)。47第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日雙側(cè)數(shù)值微分被定義為：

而單側(cè)數(shù)值微分則由下式計(jì)算：

這里logL是似然函數(shù)，s充分接近0，上述公式可達(dá)到任意精度。雙側(cè)導(dǎo)數(shù)更加精確，但它要對(duì)似然函數(shù)進(jìn)行的計(jì)算量大概是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩倍，運(yùn)行時(shí)間上也是如此。

48第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日§11.4EViews軟件的相關(guān)操作

§11.4.1定義狀態(tài)空間模型

EViews可以處理大量的單方程和多方程狀態(tài)空間模型，提供了指定系統(tǒng)方程、協(xié)方差矩陣和初始條件控制的詳細(xì)方法。在定義和估計(jì)一個(gè)狀態(tài)空間模型時(shí)，第一步是創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對(duì)象。從主菜單中選擇Objects/NewObject/Sspace，EViews將創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對(duì)象，并打開一個(gè)空的狀態(tài)空間說明窗口。49第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

有兩種方法定義一個(gè)狀態(tài)空間模型，最簡(jiǎn)單的方法就是利用EViews中的“自動(dòng)指定”功能引導(dǎo)狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程Procs中選擇DefineStateSpace功能，就可以彈出定義對(duì)話框，指導(dǎo)創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細(xì)介紹見“自動(dòng)定義”一節(jié)。描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關(guān)鍵字和文本來描述量測(cè)方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構(gòu)、初始條件和待估參數(shù)的初值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對(duì)象的一般語法。50第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

一、模型指定的語句

1.

量測(cè)方程

作為缺省，如果一個(gè)方程通過關(guān)鍵字“@SIGNAL”來明確定義，或沒有用關(guān)鍵字，EViews將把其作為量測(cè)方程處理。要注意以下幾點(diǎn)：（1）量測(cè)方程的因變量可以包含表達(dá)式。（2）量測(cè)方程右端中不能包含量測(cè)變量的當(dāng)期和未來值，包括出現(xiàn)在右端表達(dá)式的所有變量。在量測(cè)方程中任何滯后量測(cè)變量都被看作多步向前預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)值看待。（3）量測(cè)方程必須是同期狀態(tài)向量的線性方程。狀態(tài)向量的非線性或存在超前或滯后狀態(tài)變量將導(dǎo)致錯(cuò)誤的信息。（4）量測(cè)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素的非線性形式。量測(cè)方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項(xiàng)，如果方程中不包含誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細(xì)內(nèi)容參看后面的“誤差和方差”。51第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例子：

下面是有效的量測(cè)方程的定義（注：下面量測(cè)方程中的sv1,sv2,sv3,sv4是狀態(tài)向量）

@signaly=sv1+sv2*x1+sv3*x2+sv4*y(-1)+[var=exp(c(1))]log(p)=sv1+c(1)+c(3)*x+sv2*yz=c(1)+sv1+sv2*x1+sv3*x2+[var=exp(c(2))]

下面是不正確的方程的指定：

@signaly=sv1*sv2*x1+[var=exp(c(1))]log(p)=c(1)+c(3)*x+sv1(-1)z=sv1+sv2*x1+c(3)*z(1)+c(1)+[var=exp(c(2))]

因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其順序是：狀態(tài)向量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測(cè)向量的超前）。52第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

2.狀態(tài)方程

狀態(tài)方程的定義必須包含關(guān)鍵字“@STATE”，后面跟隨一個(gè)有效的狀態(tài)方程。必須注意以下幾點(diǎn)：(1)每一個(gè)狀態(tài)方程必須有一個(gè)唯一的因變量名，不允許使用表達(dá)式。因?yàn)镋Views對(duì)狀態(tài)方程不能自動(dòng)建立工作文件序列。(2)狀態(tài)方程中不能包含量測(cè)方程的因變量，或因變量的超前和滯后變量。(3)每一個(gè)狀態(tài)方程必須是狀態(tài)變量一期滯后的線性方程。如果在狀態(tài)方程中存在狀態(tài)變量的非線性關(guān)系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯(cuò)誤信息。需要強(qiáng)調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因?yàn)楦唠A的滯后被當(dāng)作新的狀態(tài)變量。關(guān)于這種情況的例子在后面的AR(2)模型中提供。(4)狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項(xiàng)。如果在方程中不包含誤差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關(guān)于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構(gòu)指定的詳細(xì)介紹參看后面的“誤差和方差”。53第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例子：

下面兩個(gè)狀態(tài)方程定義了一個(gè)服從AR(2)過程的不可觀測(cè)誤差:

@statesv1=c(2)*sv1(-1)+c(3)*sv2(-1)+[var=exp(c(5))]@statesv2=sv1(-1)

第一個(gè)關(guān)于sv1的方程，根據(jù)AR(1)的系數(shù)c(2)，和AR(2)的系數(shù)c(3)，確定AR(2)模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。sv2的狀態(tài)方程定義為變量sv1的一步滯后，所以sv2(-1)表示sv1的兩步滯后。下面是不正確的狀態(tài)方程：

@stateexp(sv1)=sv1(-1)+[var=exp(c(3))]@statesv2=log(sv2(-1))+[var=exp(c(3))]@statesv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+[var=exp(c(3))]因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其次序是：狀態(tài)方程因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。

54第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

3.誤差與方差

在誤差項(xiàng)的處理中，狀態(tài)空間對(duì)象方程的指定在某種程度上是唯一的。EViews總是把一個(gè)隱含的誤差項(xiàng)加到一個(gè)方程或系統(tǒng)對(duì)象的各個(gè)方程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測(cè)或狀態(tài)方程中不能包含誤差項(xiàng)。誤差項(xiàng)必須被加到（在方括號(hào)中）指定方程的后面。把一個(gè)誤差項(xiàng)加到狀態(tài)空間方程中最簡(jiǎn)單的方法是指定誤差項(xiàng)的方差。即加一個(gè)誤差表達(dá)式到已存在的方程中去。誤差表達(dá)式由關(guān)鍵字“var”和一個(gè)賦值語句組成（用方括號(hào)括起）。

@signaly=c(1)+sv1+sv2+[var=1]@statesv1=sv1(-1)+[var=exp(c(2))]@statesv2=c(3)+c(4)*sv2(-1)+[var=exp(c(2)*x)]指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計(jì)未知參數(shù)的表達(dá)式。還可以在方差中使用序列表達(dá)式建立時(shí)變參數(shù)模型。55第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

這種方差的直接指定方法不允許不同方程的誤差之間存在相關(guān)關(guān)系。作為默認(rèn)，EViews假定誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差為零。如果指定誤差項(xiàng)間存在相關(guān)關(guān)系，需要使用“命名誤差”方法指定它們間的關(guān)系?！懊`差”方法包括兩部分：

(1)首先，必須通過加一個(gè)由關(guān)鍵字“ename”后接等號(hào)和變量名的誤差表達(dá)式為方程中的殘差序列命名。

y=c(1)+sv1*x1+[ename=e1]@statesv1=sv1(-1)+[ename=e2]

(2)其次，需要鍵入由關(guān)鍵字“@evar”后接一個(gè)誤差的方差或兩個(gè)誤差之間的協(xié)方差的賦值語句。

@evarcov(e1,e2)=c(2)@evarvar(e1)=exp(c(3))@evarvar(e2)=exp(c(4))*x56第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

可以在單個(gè)狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達(dá)式：

@statesv1=sv1(-1)+[ename=e1,var=exp(c(3))]@evarcov(e1,e2)=c(4)@evar方程的語句結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行自我辨別。簡(jiǎn)單的辨別有：該項(xiàng)是方差還是協(xié)方差，指定誤差，記入方差和協(xié)方差的指定。在每一個(gè)希望指定的命名誤差方差或協(xié)方差之間要分行指定。如果誤差項(xiàng)被命名，但沒有相應(yīng)的“var=”或@evar說明，分別地，缺少的方差或協(xié)方差的默認(rèn)值為“NA”或“0”。用“ename=”語句定義的誤差項(xiàng)只能存在于@evar賦值語句中，而不能直接進(jìn)入狀態(tài)或量測(cè)方程中。57第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例11.3模型指定的例子—可變參數(shù)的邊際消費(fèi)傾向例3.1估計(jì)了簡(jiǎn)單的消費(fèi)函數(shù)，但我國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生改變，經(jīng)濟(jì)變量影響關(guān)系也可能發(fā)生改變。例3.9中經(jīng)過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的確存在顯著的結(jié)構(gòu)改變。因此，本例構(gòu)造消費(fèi)方程的變參數(shù)模型，設(shè)cs=CS/CPI，inc=YD/CPI，CS代表名義居民消費(fèi)，YD代表名義居民可支配收入，CPI代表1978年為1的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，樣本區(qū)間為1978～2006年。依據(jù)式(11.4.2)～式(11.4.4)，采用量測(cè)方程和狀態(tài)方程誤差協(xié)方差g0的模型形式，狀態(tài)空間模型為：58第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

量測(cè)方程：(11.29)狀態(tài)方程：(11.30)

～(11.31)按前面的規(guī)則在空白的文本窗口上直接鍵入如下語句：

@signalcsp=c(1)+sg1*inc+[var=exp(c(2))]@statesg1=c(3)+c(4)*sg1(-1)+[var=exp(c(5))]paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.02

其中量測(cè)方程中的是c(1)，狀態(tài)方程的一階自回歸的系數(shù)0，1是c(3)和c(4)，模型的方差u2，2由參數(shù)ec(2)，ec(5)確定，方差被限制為參數(shù)的非負(fù)函數(shù)，協(xié)方差g=0。59第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

也可以寫成下面的形式，當(dāng)協(xié)方差g

0時(shí),要這樣寫:

@signalcsp=c(1)+sc1*inc+[ename=e1]@statesc1=c(3)+c(4)*sc1(-1)+[ename=e2]@evarvar(e1)=exp(c(2))@evarvar(e2)=exp(c(5))@evarcov(e1,e2)=c(6)paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.02c(6)0.660第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

4.指定未知參數(shù)（超參數(shù)）的初始值協(xié)方差

g=0的例子中c(1),c(2)的初值可以通過建立回歸方程:csp=449.07+0.51*inc確定為c(1)=449.07,求方程的殘差平方和(RSS/T)作為方差的估計(jì)值，其對(duì)數(shù)為c(2)=log(653539.2/29)=10.02，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，狀態(tài)方程的初值c(3),c(4),c(5)可先給為0.1,0.9,-9。如果不指定EViews將用系數(shù)向量c的當(dāng)前值初始化所有參數(shù)?？梢酝ㄟ^指定中使用@PARAM語句來明確指定合適的參數(shù)值，例：

paramc(1)449.07c(2)10.02c(3)0.092c(4)0.877c(5)-11.0261第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

5.指定狀態(tài)向量和方差矩陣的初始條件

缺省時(shí)，EViews將自動(dòng)處置初始條件。對(duì)一些平穩(wěn)模型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件使我們能夠解出0和P0的值。當(dāng)不能解出初始條件時(shí)，EViews將把初始值處理為擴(kuò)散先驗(yàn)的，設(shè)置0=0，給P0一個(gè)任意大的正數(shù)乘單位矩陣代表其值的不確定性?？赡苡?和P0的先驗(yàn)信息，這樣，可以使用關(guān)鍵字@mprior或@vprior創(chuàng)建一個(gè)包含適當(dāng)值的向量或矩陣。向量對(duì)象的長(zhǎng)度必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配。其元素的順序要與指定窗口中狀態(tài)向量的順序相一致。

@mpriorv1@vpriorm162第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例如，假設(shè)有一個(gè)2個(gè)狀態(tài)變量的狀態(tài)空間模型，要設(shè)置狀態(tài)向量與狀態(tài)向量方差矩陣的初值如下：，（11.32）

首先，創(chuàng)建一個(gè)向量對(duì)象，命名為a0，輸入初始值。再創(chuàng)建一個(gè)矩陣對(duì)象，命名為P0，輸入初始值。然后在編輯狀態(tài)空間模型指定窗口，可以把下面兩行加到狀態(tài)空間對(duì)象中去：

@mpriora0@vpriorp063第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日二、自動(dòng)指定狀態(tài)空間模型

為了幫助創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間模型，EViews提供了一個(gè)“自動(dòng)指定”工具欄，可以在對(duì)話框中為模型創(chuàng)建一個(gè)文本表示。如果模型是具有固定參數(shù)、遞歸參數(shù)、及不同的隨機(jī)系數(shù)，或者誤差項(xiàng)有一般ARMA結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)回歸模型，這個(gè)工具是非常有用的。在狀態(tài)空間過程procs中，選擇Procs/DefineStateSpace。EViews將打開一個(gè)三標(biāo)簽的對(duì)話框。第一個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框BasicRegression被用來描述模型的基本回歸部分。鍵入因變量和帶有固定或遞歸系數(shù)的回歸變量。在建立指定時(shí)EViews使用系數(shù)對(duì)象代表未知參數(shù)。在底部，可以指定誤差項(xiàng)一個(gè)ARMA結(jié)構(gòu)。在這里，我們?yōu)樯厦娴睦又付ㄒ粋€(gè)說明。64第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

65第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

第二個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框StochasticRegressors被用來加帶有隨機(jī)系數(shù)的回歸變量。在四個(gè)編輯區(qū)域中鍵入合適的回歸變量。EViews定義具有如下五項(xiàng)組合的回歸變量：無系數(shù)、固定均值系數(shù)、AR(1)系數(shù)、隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)、帶有漂移的隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)。例11.3是AR(1)系數(shù)的形式。66第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日最后，EViews允許選擇狀態(tài)空間模型的基本方差結(jié)構(gòu)。點(diǎn)擊第三個(gè)標(biāo)簽對(duì)話框VarianceSpecification，為量測(cè)方程或狀態(tài)方程選擇方差矩陣類型：?jiǎn)挝痪仃嚕↖dentity）、共同對(duì)角矩陣（CommonDiagonal，對(duì)角元素是共同的方差）、一般對(duì)角矩陣（Diagonal）、無限制矩陣（Unrestricted）。對(duì)話框還允許為量測(cè)方程和狀態(tài)方程選擇非零的誤差協(xié)方差陣。

67第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

需要強(qiáng)調(diào)指出的是，狀態(tài)空間模型可以不必被對(duì)話框提供的選擇限制。如果發(fā)現(xiàn)自動(dòng)指定對(duì)話框的限制了模型指定，可以簡(jiǎn)單地使用它建立一個(gè)基本的指定，然后利用更一般的文本工具描述模型。68第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

三、估計(jì)狀態(tài)空間模型

一旦已經(jīng)指定了一個(gè)狀態(tài)空間模型，并且驗(yàn)證模型定義是正確的，打開估計(jì)對(duì)話框估計(jì)模型，點(diǎn)擊工具菜單的Estimate按鈕或者選擇Procs/Estimate…。

和其他估計(jì)對(duì)象一樣，EViews允許選擇估計(jì)樣本區(qū)間，循環(huán)的最大次數(shù)，收斂值，估計(jì)算法，導(dǎo)數(shù)計(jì)算設(shè)置和是否顯示初始值。對(duì)大部分問題，缺省設(shè)置提供一個(gè)好的初始設(shè)置。69第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

在進(jìn)行模型估計(jì)時(shí)要注意下面兩點(diǎn)：(1)盡管EViews中卡爾曼濾波程序可以自動(dòng)處理樣本中的缺省值，但EViews要求估計(jì)樣本必須是連續(xù)的，連續(xù)的觀測(cè)值之間不能有缺口。(2)如果模型定義中有未知系數(shù)，為用卡爾曼濾波估計(jì)狀態(tài)空間模型，需要指定初值。

70第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

在選擇各選項(xiàng)并點(diǎn)擊OK以后，EViews在狀態(tài)空間窗口顯示協(xié)方差g=0時(shí)的估計(jì)結(jié)果(方程記為ss_g):71第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日協(xié)方差g

0時(shí)的估計(jì)結(jié)果(方程記為ss_c):72第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日§11.4.2

狀態(tài)空間模型的視窗和過程

EViews提供了一系列專門的工具用來指定和檢驗(yàn)狀態(tài)空間模型。與其他的估計(jì)對(duì)象相比較，狀態(tài)空間對(duì)象提供了附加的視窗和過程來檢驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，處理推斷和指定檢驗(yàn)，并且提取結(jié)果到其他EViews對(duì)象中去。73第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日一、視窗（View）

1.模型定義視窗（Specification）狀態(tài)空間模型是比較復(fù)雜的。為了幫助檢驗(yàn)?zāi)Ｐ投x，EViews提供了視窗功能，允許在交互方式下查看模型文本定義，系數(shù)和協(xié)方差定義。點(diǎn)擊View菜單選擇Specification…，不管狀態(tài)空間模型是否被估計(jì)，下面的指定窗口都可以被使用。74第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

(1)文本窗口

這是一個(gè)常見的模型指定的文本視窗。當(dāng)創(chuàng)建或編輯狀態(tài)空間模型指定時(shí)，可以使用這個(gè)窗口。文本窗口也可以通過點(diǎn)擊狀態(tài)空間工具欄的Spec按鈕進(jìn)入。(2)系數(shù)描述

狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的文本描述。左邊的變量yt和t

被表示為狀態(tài)向量和殘差項(xiàng)的線性函數(shù)。矩陣的元素是相應(yīng)的系數(shù)。例如，例1模型的系數(shù)描述視圖如下：(3)協(xié)方差描述

狀態(tài)空間模型協(xié)方差矩陣的文本描述。例如，例11.3模型有下面的協(xié)方差描述視圖。

75第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

(4)系數(shù)值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的量測(cè)方程和狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)的數(shù)字描述。如果系統(tǒng)矩陣是時(shí)變的，EViews將提示對(duì)矩陣估計(jì)選擇一個(gè)日期/觀測(cè)值。

(5)協(xié)方差值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的數(shù)值描述。如果系數(shù)協(xié)方差矩陣是時(shí)變參數(shù)的，EViews將提示對(duì)矩陣估計(jì)選擇日期/觀測(cè)值。2.估計(jì)結(jié)果（EstimationOutput）還可以點(diǎn)擊系統(tǒng)工具條的“Stats”，顯示估計(jì)結(jié)果。

3.梯度視窗（GradientsandDerivatives）

和其他的估計(jì)對(duì)象視窗相似，如狀態(tài)空間包含待估參數(shù)，該視窗提供了被估計(jì)參數(shù)（已估計(jì)）的對(duì)數(shù)似然估計(jì)的梯度的簡(jiǎn)要可視信息或當(dāng)期參數(shù)值。76第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

4.實(shí)際值、擬合值和殘差(Actual,Predicted,ResidualGraph)用圖表的方式顯示量測(cè)方程因變量實(shí)際值yt

和一步向前擬合值，和一步向前標(biāo)準(zhǔn)殘差。

5.估計(jì)系數(shù)協(xié)方差矩陣(CoefficientCovarianceMatrix)

6.Wald檢驗(yàn)(WaldCoefficientTests)

允許做估計(jì)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。

7.Label視窗

允許為狀態(tài)空間對(duì)象做注釋。注意，除了Label和模型定義（Specification）視窗之外，其余的視窗只有在狀態(tài)空間模型被正確估計(jì)的情況下才可以使用。

77第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

8.量測(cè)視窗

當(dāng)點(diǎn)擊View/SignalViews，EViews顯示一個(gè)包含視窗選擇的次級(jí)菜單。

·

ActualSignalTable和ActualSignalGraph顯示量測(cè)方程因變量的表和圖的形式。如果有多個(gè)量測(cè)方程，Eviews將按其順序顯示多個(gè)序列。在狀態(tài)空間模型沒有被估計(jì)的條件下，這兩個(gè)選項(xiàng)也是可以利用的。

78第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

·

GraphSignalSeries…，可以打開一個(gè)對(duì)話框，選擇顯示結(jié)果。對(duì)話框允許在下列選項(xiàng)中做出選擇：量測(cè)變量一步向前預(yù)測(cè)，相應(yīng)的一步預(yù)測(cè)殘差，標(biāo)準(zhǔn)化的一步殘差，平滑的量測(cè)變量，平滑的量測(cè)方程擾動(dòng)項(xiàng)，或標(biāo)準(zhǔn)平滑的量測(cè)方程擾動(dòng)項(xiàng)。加上2倍的標(biāo)準(zhǔn)誤差的點(diǎn)線圖。

·STd.ResidualCorrelationMatrix和Std.ResidualCovarianceMatrix顯示量測(cè)方程一步向前預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差的相關(guān)陣和協(xié)方差陣。79第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日量測(cè)變量CSP的一步向前預(yù)測(cè)80第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

9.狀態(tài)視窗

為了檢驗(yàn)不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，點(diǎn)擊View/StateViews顯示狀態(tài)方程子菜單。EViews允許檢驗(yàn)狀態(tài)變量的初值和終值，或者畫狀態(tài)向量的各種平滑和濾波序列圖。在估計(jì)前后，視窗中有兩個(gè)選項(xiàng)是可利用的：

·

InitialStateVector和InitialStateCovarianceMatrix顯示狀態(tài)向量的初始值0，和協(xié)方差陣P0。如果未知參數(shù)已被估計(jì)，EViews將使用估計(jì)值計(jì)算初始條件。如果狀態(tài)空間模型沒有被估計(jì)，使用當(dāng)期系數(shù)值來估計(jì)初始條件。81第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

在EViews正在利用系統(tǒng)矩陣的當(dāng)前值求解初始條件時(shí)，這個(gè)信息是特別有意義的。在開始估計(jì)有困難的情況下，可以從任意初始參數(shù)值出發(fā)來估計(jì)初始條件。窗口中的其他選項(xiàng)，只對(duì)已成功估計(jì)的模型有效：·FinalStateVector和FinalStateCovarianceMatrix，顯示狀態(tài)向量終值T，和協(xié)方差矩陣終值

PT

，在對(duì)參數(shù)估計(jì)后估計(jì)得到。

82第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

·GraphStateSeries…菜單，顯示包含狀態(tài)向量信息選項(xiàng)的對(duì)話框?？梢援嬒铝凶兞康木€性圖：狀態(tài)向量的一步向前預(yù)測(cè)

att-1，經(jīng)過濾波得到的同期狀態(tài)向量at，平滑的狀態(tài)向量估計(jì)，平滑的狀態(tài)擾動(dòng)項(xiàng)的估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)的平滑狀態(tài)擾動(dòng)項(xiàng)et。在每一線性圖中，顯示數(shù)據(jù)被包在其倍的標(biāo)準(zhǔn)差帶中。83第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日狀態(tài)變量SC1的一步向前預(yù)測(cè)att-184第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

二、過程（Procs）

可以使用EViews過程創(chuàng)建、估計(jì)、預(yù)測(cè)狀態(tài)空間模型和從指定的狀態(tài)空間模型生成數(shù)據(jù)。

85第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

1.自動(dòng)指定狀態(tài)空間模型（DefineStateSpace…）

激活自動(dòng)指定對(duì)話框?？梢栽诮换サ姆绞较轮付顟B(tài)空間模型。

2.估計(jì)（Estimate）

估計(jì)指定模型的參數(shù)。上面兩項(xiàng)功能在模型估計(jì)前后都可以使用。自動(dòng)指定工具將代替存在的狀態(tài)空間指定和清除任何結(jié)果。估計(jì)將替代已存在的結(jié)果。86第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

3.預(yù)測(cè)(Forecasting)

如果已經(jīng)對(duì)狀態(tài)空間模型進(jìn)行了估計(jì)，EViews提供生成數(shù)據(jù)的其他工具：預(yù)測(cè)允許利用選擇的預(yù)測(cè)方法和初始化方法，來產(chǎn)生狀態(tài)變量、量測(cè)變量和聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)誤差的預(yù)測(cè)。

(1)

選擇預(yù)測(cè)方法

可以在動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，平滑預(yù)測(cè)和n期向前預(yù)測(cè)三種方法中選擇其一。注意，任何在量測(cè)方程右邊的延遲內(nèi)生變量都被做為外生變量的看待。87第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

對(duì)于

n

步向前預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，通常利用一步向前預(yù)測(cè)的狀態(tài)向量和方差初始化狀態(tài)向量。對(duì)于平滑預(yù)測(cè)，一般使用狀態(tài)向量和方差的相應(yīng)的平滑值進(jìn)行預(yù)測(cè)的初始化。對(duì)某些情況，預(yù)測(cè)、濾波和平滑可以選擇初始值的不同設(shè)置。EViews的預(yù)測(cè)程序提供了可控的初始設(shè)置。然而，如果選擇了不同的設(shè)置，根據(jù)可利用信息，預(yù)測(cè)的解釋將發(fā)生變化。88第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

(2)預(yù)測(cè)結(jié)果輸出

EViews允許在工作文件中以序列形式存儲(chǔ)預(yù)測(cè)輸出結(jié)果。只須點(diǎn)擊輸出框，在相應(yīng)的編輯區(qū)域指定序列名?？梢灾付ㄒ涣凶兞棵蛞粋€(gè)通配符表達(dá)式。如果選擇列變量名，變量名的數(shù)目必須與指定的量測(cè)變量的數(shù)目相匹配。如果輸出序列的名字已經(jīng)在工作文件中存在，EViews將全部覆蓋序列的內(nèi)容。

89第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日如果使用一個(gè)通配符表達(dá)式，EViews將利用通配符表達(dá)式在適當(dāng)?shù)奈恢锰娲恳粋€(gè)量測(cè)變量的名字。例如，如果有一個(gè)具有量測(cè)變量y1、y2的模型，選擇通配符“*F”存儲(chǔ)一步預(yù)測(cè)的結(jié)果，EViews將使用序列名y1F和y2F存貯輸出結(jié)果。對(duì)該功能有兩點(diǎn)限制：一是不能使用通配符表達(dá)式“*”存儲(chǔ)量測(cè)變量