數(shù)論01 五上05 整除

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)論01五上05整除五年級上學期第五講，數(shù)論問題第01講

整除

熟練把握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性質，并了解這些性質的來源．學會用篩選法找質數(shù)，發(fā)現(xiàn)一些和數(shù)論有關的問題．

1.

（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★）173□是一個四位數(shù)．數(shù)學

老師說：“我在其中的方框內中先后填入3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9，11，6整除．〞問：數(shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？

2.

（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★）假使六位數(shù)1992□□能被

105整除，那么它的最終兩位數(shù)是多少？

3.

（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）某個七位數(shù)1993□□□能

夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最終三位數(shù)字依次是多少？

4.

（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）從0，1，2，3，4，5，6，

7，8，9這10個數(shù)字中選出5個不同的數(shù)字組成一個五位數(shù)，使它能被3，5，7，13整除，這個數(shù)最大是多少？

5.

（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）修改31743的某一個數(shù)字，

可以得到823的倍數(shù)．問修改后的這個數(shù)是多少？

6.

（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）在六位數(shù)11□□11中的

兩個方框內各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少？

7.

（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）已知四十一位數(shù)55?5

□99?9（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數(shù)字是多少？

8.

（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）用數(shù)字6，7，8各兩個，

組成一個六位數(shù)，使它能被168整除．這個六位數(shù)是多少？

9.

（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）將自然數(shù)1，2，3，?依

次寫下去組成一個數(shù)：12345678910111213?．假使寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個自然數(shù)是多少？

10.（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★50502）1至9這9個數(shù)字，

按圖4-1所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數(shù)是193426857和758624391）．假使要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多少？

758

6

2圖4-1

4

1

93

11.（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★★）有15位同學，每位

同學都有編號，他們是1號到15號．1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除〞，3號說：“這個數(shù)能被3整除〞，??，依次下去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除．l號作了一一驗證：只有編號連續(xù)的兩位同學說得不對，其余同學都對．問：(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？(2)假使告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)．

12.（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★★）找出4個不同的正整

數(shù)，使得對于其中任何兩個數(shù)，它們的和總可以被它們的差整除．假使要求這4個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小，那么這4個數(shù)里中間兩個數(shù)的和是多少？

13.（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）把若干個自然數(shù)1，2，3，?

乘到一起，假使已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最終出現(xiàn)的自然數(shù)最小應當是多少？

14.（導引偶數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）975?935?972?□，要使這

個連乘積的最終4個數(shù)字都是0，那么在方框內最小應填什么數(shù)？

15.（導引奇數(shù)題，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）如圖4-2，依次排列的

5個數(shù)是13，12，15，25，20．它們每相鄰的兩個數(shù)相乘得4個數(shù)．這4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)相乘得3個數(shù)．這3個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)相乘得2個數(shù)．這2個數(shù)相乘得1個數(shù)．請問：最終這個數(shù)從個位起向左數(shù)，可以連續(xù)地數(shù)出幾個零？

1312152520圖4-2

16.（郝挺，五上第5講整除，數(shù)論第1講★）求從1001開始第100個不被11

整除的數(shù)。1110。

從1001開始，每11個數(shù)中有10個不能被11整除的數(shù)，前110個數(shù)中有100個不被11整除的數(shù)，故第100個數(shù)是1001+110-1=1110。

17.(郝挺，五上第5講整除，數(shù)論第1講★)一個6位數(shù)，它的前3位組成的數(shù)加

后3位組成的數(shù)的和是220，且它能被7整除，求滿足條件的所有6位數(shù)。

條件說明前3位和后3位都介于100~120之間，且差能被7整除，并且奇偶性一致，故差只能是0或14。最終檢驗得110110，117103，103117是滿足條件的數(shù)。

18.(郝挺，五上第5講整除，數(shù)論第1講★)甲是一個兩位數(shù)，將其個位與十位交

換得到乙，丙為甲與乙之和，假使丙是一個數(shù)的平方，求甲。

設甲是ab，則乙是ba，丙為11×(a+b)；丙是完全平方數(shù)說明a+b也為11的倍數(shù)，從而a+b=11，甲可以是92，83，74，65，56，47，38，29。

19.(郝挺，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★)甲是一個兩位數(shù)，將其個位與十

位交換得到乙，設甲比乙大，丙是甲乙的差。

12，求甲；53（2）假使丙是乙的，求甲；

4（1）假使丙是乙的（3）假使“丁=

乙〞，則丁有多少個不同的值？丙設甲為ab=10a+b，乙=10b+a，丙=9（a-b），其中a>b。（1）（2）兩問都可以由乙丙關系求出a，b的比值，得（1）中甲=51，（2）中甲=21，42，63，84。

（3）觀測（1）（2）發(fā)現(xiàn)a和b的每一個比值對應一個丁，從而僅需計算a，b在小于10內的不同比值即可，共有27組。

20.（王坤，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）求出最小的四位數(shù)，使得它是75

的倍數(shù)，且各位數(shù)字互不一致。1275。

21.（王坤，五上第5講整除，數(shù)論第1講★）各位數(shù)字互不一致的11的倍數(shù)中，

最小的那個是多少？132。

22.（王坤，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★）甲乙兩人玩一個數(shù)學游戲，規(guī)則

如下：他們從甲開始依次劃掉九位數(shù)123456789中的一個數(shù)字，各劃掉3個數(shù)字后剩下一個三位數(shù)，假使這個三位數(shù)是偶數(shù)或者25的倍數(shù)，那么甲將獲勝，否則乙取得勝利。甲乙誰將取得勝利呢？

乙勝。乙前兩次劃掉7和9。

23.（王坤，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★★）請寫出五個正整數(shù)，使得它

們任何兩個數(shù)的和都是其差的倍數(shù)。12，14，15，16，18（答案不唯一）。

10，所以這個兩位數(shù)的數(shù)字為10，一共有9個這樣的兩位數(shù)。

41.（題解議，楊笑山，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）在1至18中，有

幾個數(shù)能夠整除6868??68？????99個6813個：1，2，3，4，5，6，7，9，11，12，13，14，17，18。

42.（題解議，楊笑山，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）算式

“1?(1?2)?(1?2?3)???(1?2?3???100)〞計算結果末尾一共會出現(xiàn)幾個連續(xù)的數(shù)字0？48個。原式=1?3?6?10?15?21?28?36?45?55???5050，每四項就有兩項是偶數(shù)，而每5項才出現(xiàn)2個5的倍數(shù)，因此只需算原式含質因數(shù)5的個數(shù)。只需算1??2?3???3?4??????100?101?中5的個數(shù)。

43.（題解議，楊笑山，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）已知多位數(shù)

“□?□5002△?△〞中“□〞和“△〞分別代表0至9中的一個數(shù)字，假使它能夠被52整????????2023位2023位除，那么“□〞和“△〞分別是多少？

□=1，△=0。111111=1001?111是13的倍數(shù)，前后可以截去2023位。探討13|□5002△和4|△△即可。

44.（題解議，楊笑山，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）倉庫里有兩只裝有

杯子的箱子，各貼有“總價132.□△元〞、“總價123.○

元〞（□、△、○、

四個數(shù)字已鑒別不清，但是它們互不一致）。已知其中一箱裝了77只A型杯子，另一箱裝了75只B型杯子，每只杯子的價格都是整數(shù)分。那么A、B型杯子的單價分別是多少元？

分兩種狀況探討：（1）77|132□△，75|123○

（無解）；（2）75|132□△，77|123○

（A型杯子

單價=123.20?77=1.60元，B型杯子單價=132.75?75=1.77元）。

45.（題解議，楊笑山，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）將自然數(shù)1、2、3、?

依次寫下去連成一個多位數(shù)“123456789101112?〞，當寫到某個數(shù)N時，所形成的多位數(shù)恰好第一次能被45整除，那么N是多少？

35。9|(1+N)?N，且N為5的倍數(shù)，最小的N是35。

46.（王坤，五上第5講整除，數(shù)論第1講★★★）12□□31是23的倍數(shù)，那么

這個六位數(shù)最小是多少？

121831。12□□31÷23的商的首位為5，末兩位為97，這個商可以為5097，5197，5297，?，5097×23

63.(資坤,五上第五講整除,數(shù)論第1講★★)在1990至2300之間，有三個連續(xù)奇

數(shù)，其中，最小的能被5整除，中間的能被9整除，最大的能被7整除，那么，這樣的三個連續(xù)奇數(shù)是______．答案：2023，2023，2023用窮舉法。

64.(歐覺鈞,五上第五講整除,數(shù)論第1講★★★)用0和1~9這10個數(shù)字任意組成

兩個數(shù)（10個數(shù)字都用上），然后將這兩個數(shù)求和，有人把和中的一個數(shù)字擦去，剩下的結果為14317，那么擦去的數(shù)字是______．

「簡答」2

這兩個數(shù)求和的結果應當能被9整除，即結果的各位數(shù)字之和能被9整除，現(xiàn)在一個數(shù)字擦去后剩下的結果為14317，各位數(shù)字之和為16，于是擦去的數(shù)字只能是2．

65.(試題與詳解，五上第05講，整除，數(shù)論第01講)把自然數(shù)1、2、3、4??

的前幾項順次寫下得到一個多位數(shù)1234567891011??已知這個多位數(shù)至少有十位，并且是9的倍數(shù)．那么它最少有位．答案：25．

將這一排數(shù)寫下去：

123456789101112131415161718192023222324??

已知一個數(shù)要是9的倍數(shù)，則它各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)．依次求和，發(fā)現(xiàn)只有：

1?2?3?4?5?6?7?8?9?1?0?1?1?1?2?1?3?1?4?1?5?1?6?1?7?81

是9的倍數(shù)．滿足題意的數(shù)為：1234567891011121314151617．共25位．

66.(試題與詳解，五上第05講，整除，數(shù)論第01講)已知三位數(shù)abc是5、6、

9以及11的倍數(shù)，則該三位數(shù)是．答案：990．

abc是5的倍數(shù)，c?0或5．abc是6的倍數(shù)，c是偶數(shù)．所以c是0．

abc是11的倍數(shù)，c?0．所以a?b．abc是9的倍數(shù)，a?b，c?0．所以a?b?9．

因此得出abc?990．

67.(試題與詳解，五上第05講，整除，數(shù)論第01講)11個連續(xù)兩位數(shù)的乘積

能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數(shù)的平均數(shù)是．答案：45．

由于343?73，我們知道，在11個連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個數(shù)是7的倍數(shù)，所以其中有一個必需是49的倍數(shù)，那就只能是49或者98．

又由于乘積的末4位都是0，就是說這連續(xù)的11個自然數(shù)應當“含有〞4個5．連續(xù)的11個自然數(shù)中至多只能有3個數(shù)是5的倍數(shù)，至多只能有1個是25的倍數(shù)，所以其中有一個必需是25的倍數(shù)，那就只能是25、50或者75．

綜上所述，這11個數(shù)是40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50．所以它們的平均數(shù)是45．

68.(試題與詳解，五上第05講，整除，數(shù)論第01講)已知

9166560272073?19970719547的結果是一個三位整數(shù)，則這個三位數(shù)是．答案：459．

首先估計答案的百位數(shù)字，由于4

105.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)請將1，2，3，4，5，6，

7，8，9，10，11寫成一行，使得這一行數(shù)中的任何一個都是他前面若干數(shù)之和的約數(shù)，即他整除他前面所有數(shù)之和。_________________________________________________________。

106.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)各位數(shù)字互不一致的且

是3、5、7、13的倍數(shù)的五位數(shù)最大是________。

107.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)1，22，333，?，

10101010101010101010，?999999???999???????（即1個1，2個2，?，999個999）這999個數(shù)中

999個999有_____個是11的倍數(shù)。

108.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個三位數(shù)能被3整除，

去掉它的末位數(shù)字后，所得的兩位數(shù)是17的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大的是。

109.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)在523后面寫出三個數(shù)

字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除。求這三個數(shù)字的和。

110.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)求能被26整除的六位數(shù)

□1993□。

111.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)設abcd是一個四位正整

數(shù)，已知三位正整數(shù)abc與246的和是一位正整數(shù)d的111倍，abc又是18的倍數(shù)。求出這個四位數(shù)abcd,并寫出推理運算過程。

112.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)若自然數(shù)n的各位數(shù)字

之和為527，則n的最小值是多少？

113.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個5位數(shù)3ab98能被

11與9整除，這個5位數(shù)是多少？

114.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個自然數(shù)與13的和是

5的倍數(shù)，與13的差是6的倍數(shù)。這個自然數(shù)最小是多少？

115.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)六位數(shù)17xy14是379的

倍數(shù)，求出x和y。

116.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)假使四位數(shù)6□□8能被

73整除，那么商是多少？

117.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)個位數(shù)是6，且能被3

整除的四位數(shù)有多少個？

118.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)三個數(shù)的和是555，這

三個數(shù)分別能被3，5，7整除，而且商都一致，求這三個數(shù)。

119.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)求各位數(shù)字都是7，并

能被63整除的最小自然數(shù)。

120.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)用1，2，3，4這四個數(shù)

碼可以組成24個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被11整除的有哪些？

121.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)從2，3，5，7，8五個

數(shù)中任選四個能組成哪些能被75整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？

122.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個三位數(shù)能被11整除，

去掉末位數(shù)字后所得的兩位數(shù)能被9整除，這樣的三位數(shù)有哪些？

123.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)在8264的左右各添一

個數(shù)碼，使新得到的六位數(shù)能被45整除。

124.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)在666后面補上三個數(shù)

碼組成一個六位數(shù)，使這個六位數(shù)能被783整除，應當怎樣補？

125.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個四位數(shù)，四個數(shù)字

各不一致，且是17的倍數(shù)，符合條件的最小四位數(shù)是多少？

126.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個自然數(shù)與19的乘積

的最終三位數(shù)是321，求滿足此條件的最小自然數(shù)。

127.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)1×2×3×?×15能否

被9009整除？

128.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)將自然數(shù)N接寫在任一

個自然數(shù)的右面，得到的新數(shù)都能被N整除。例如將2寫在任一自然數(shù)的右面，得到的新數(shù)都能被2整除。在1～100中，滿足條件的自然數(shù)N有哪幾個？

129.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)假使5ab5ab?5?ab是??????99個5ab91的倍數(shù)，那么三位數(shù)5ab是多少？

130.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)有一個2023位的數(shù)A

能被9整除，它的各位數(shù)字之和為a，a的各位數(shù)字之和為b，b的各位數(shù)字之和為c。c等于多少？

131.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)1—9九個數(shù)字按下圖所

示的次序排成一個圓圈，請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)。假使要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被396整除，那么應在何處剪開？

132.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)請把1000000表示成兩

個自然數(shù)a和b的乘積，要求a，b都不能是10的倍數(shù)。

133.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)求一個首位數(shù)字為5的

最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不一致。

134.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)六位數(shù)□1993□能被33

整除，這樣的六位數(shù)是多少？

135.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)將自然數(shù)1、2、3、4、

5、6、7、8、9依次重復寫下去組成一個1993位數(shù)，試問：這個數(shù)能否被3整除？

136.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)101×102×103×?×198

×199×200，這100個數(shù)乘積的末尾有（）個連續(xù)的零。

137.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)在43的右邊補上3個數(shù)

字，組成一個五位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，并且使這個數(shù)值盡可能小，這個數(shù)是（）。

138.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)一個能被11整除，首位

數(shù)字為7，其余各位數(shù)字各不一致的最小六位數(shù)是（）。

139.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)某個七位數(shù)1993□□□

能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除。它的最末三位數(shù)字組成的三位數(shù)是（）。

140.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)在□中最小填什么自然

數(shù)，才能使等式成立：102×□=12×□=□×24。

141.(須佶成，五上第05講，整除，數(shù)論第01講★★★)五位數(shù)3□6□5沒有重

復數(shù)字，如它能被75整除，那么這個五位數(shù)是____。

142.