第6章保形映射與解析延拓

6章保形映射與解析 單葉解析函數(shù)的映射f(z在區(qū)域D內(nèi)解析,并且是單射(即對(duì)任意z1z2?D,z11z2時(shí),必有f(z11f(z2),f(zD內(nèi)的單葉解析函數(shù)6.1.1f(zz0處解析,w0=f(z0).z0f(z)w0m階零點(diǎn).0和0,w?(w0時(shí),f(z)w在U(z0m個(gè)不同的零點(diǎn)證明數(shù)零孤立,必存在r0,使得當(dāng)z?U(z0r),f(z)w010.從而在U(z0rf￠(z)不恒為零(否則在U(z0rf(zo常數(shù)w0矛盾!)f￠(z應(yīng)用零點(diǎn)的孤立性知道,存在0(不妨取r),使得在U(z0內(nèi)及其邊界上,f(z10,此時(shí)當(dāng)然f(z)w010.考慮區(qū)域DU(z0),L:zz0.z?L時(shí),f(z)w010,

f(z)-

>設(shè)w是 (w0,)內(nèi)的常數(shù).注意f(z)-w=(f(z)-w0)+(w0-f(z)w0w0w在U(z0上解析.L上f(z)-w03>w0-w根據(jù)儒歇定理 f(z)-w與f(z)-w0在U(z0,)內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同.因?yàn)閒(z)-w0

f(z)w在U(z0m個(gè)零點(diǎn).w1w0z*f(z)w在U(z0內(nèi)的任意一個(gè)零點(diǎn).f￠z*10,z*f(z)w的一階零點(diǎn).這說明f(z)w在U(z0內(nèi)的零點(diǎn)都是一階零點(diǎn).f(z)w在U(z0內(nèi)m個(gè)不同的零點(diǎn).■6.1.1的幾何意義是,z0是f(z)w0m重零點(diǎn)(此時(shí)不妨稱z0w0m重原像),f(z)-w0的單零點(diǎn).于是得到如下的推論:推論6.1.1(補(bǔ)充)f(zz0處解析,w0=f(z0f(10.00,使得當(dāng)w?U(w0時(shí),存在唯一的z?U(z0),fzw定理 設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉解析函數(shù),則在D內(nèi)處處有f(z1證明用反證法.

f(0)=f￠￠(0z)==f(m-1)(z0)= f(m)(z0)1若為前者,則在z0的某鄰域內(nèi)f(z)為常數(shù),這與f(z)的單葉性矛盾.若為后者,w0=f(z0根據(jù)引理6.1.1,存在00,使得當(dāng)w?U(w0),存在z1zm?U(z0),f(ziwi1,2,m).這也f(z的單葉性.6.1.1的逆不成立.f(zez.在Cf(zez10.由于ez+2kiez,因此ez不是C上的單葉解析函數(shù).但是如果限制在帶形區(qū)域D={z0Imz2內(nèi),ezD內(nèi)的單葉解析函數(shù).一般地,我們有如下的局部單葉性6.1.2f(zz0處解析,f(10,f(zz0的某一鄰域內(nèi)是單葉的.證明w0=f(z0).f(10,根據(jù)推論6.1.1,0和0,w?U(w0)時(shí),存在唯一的z?U(z0),使得f(zw.由于f(zz0處連續(xù),存在1(01),f(U(z01ìU(w0).f(z在U(z01內(nèi)是單葉的(否則存z1z2?U(z01),z11z2fz1f(z2w=f(z1?U(w0),!)■6.1.3(保域定理f(z在區(qū)域D內(nèi)解析,并且不恒為常數(shù),f(D仍是區(qū)域z0DD1=f(D).D1是開集.w0=f(z0?D1(z0?D).f(zD內(nèi)不恒為常數(shù),因此f(z)w0D內(nèi)不恒為零.z0f(z)w0的孤立零點(diǎn).z0是f(z)w0m階零點(diǎn)根據(jù)引理6.1.1,存在0和0,w?U(w0時(shí),存在z?U(z0,),f(zw.這z0Dw=fD1的連通性.w1w2D1內(nèi)任取的兩個(gè)點(diǎn),z1z2?D,f(z1f(z2)=w2z1z2

,L:z=z(t)(a￡t￡wf(z把這折線映射為D1內(nèi)的一條連接w1w2的分段光滑曲L￠:w=f(z(t))(a￡t￡,,出一折線w1w2D1是一區(qū)域.定理 設(shè)w=f(z)是域D內(nèi)的單葉解析函數(shù),D1=f 則f(z)的反函z=(w)是D1內(nèi)的單葉解析函數(shù).并且當(dāng)w0? 0()= .0f(6.1.1知道,f(z10z?D).根據(jù)定6.1.3,D1是區(qū)域.f(z在D內(nèi)是單葉的fDD1的雙射,w=f(z存在反函數(shù)z(w)(w?D1).先證明(wD1上連續(xù).w0=f(z0?D1.根據(jù)推論6.1.1,存在0和存在0,w?U(w0時(shí),存在唯一的z?U(z0明(w)w0處連續(xù)

f(zw,z(w?Uz0).這由于(w)是單射,w1w0時(shí),(w)1(w0),由于(ww0處連續(xù), w0時(shí),z= (w0)=z0.于￠(w)=lim(w)-(w0)= = 0 ww0 w- ww w- zzf(z)-f(z f￠(z)00 (w)-(w0 z-w0?D1的任意性,z(wD1內(nèi)的單葉解析函數(shù). 導(dǎo)數(shù)的幾何導(dǎo)數(shù)的輻角的幾何意先定義兩條曲線之間的夾角z0?C.又C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(a￡t￡是過z0的一條簡(jiǎn)單光滑曲線 z0=z(t0)(a￡t0￡ 則曲線C在z0處的切向量xt),yt)zt).于是曲線Cz處的切線的傾角為argzt(補(bǔ) yCyC=z0argzt0OxyC2Ox

設(shè)C1zz1(t和C2zz2tz0的簡(jiǎn)單光滑曲線.稱C1和C2z0處的切線的夾角為C1和C2的夾角(補(bǔ)充圖1(b)).由上述結(jié)論知道,C1和C2的夾角￠(wf(z在區(qū)域D內(nèi)解析z0?D,f(10.w=f(z看成是z平面上的Dw平面的映射wf(zzz0的曲線Czz(ta￡t￡b映射為w平面上w0=f(z0的曲線:w=f(z(t))(a￡t￡曲線w0的切線的傾角為arg￠t0).(=f(z(),arg()=arg(f()z())=argf()+argz(這說明曲線w0處的切線的傾角與曲線Cz0處的切線的傾角相差argf(曲線C的形狀無(wú)關(guān).設(shè)C1zz1tC2zz2tz0的簡(jiǎn)單光滑曲線

w=f把它們映w平面上的兩條過w0的簡(jiǎn)單光滑曲線,

1ww1(t和2ww2t).由(1)因此

￠(t0￠(t01和2之間的夾角與C1和C2之間的夾角大小相等,方向不變(yyOxvOu以上分析標(biāo)明,f(1

w=f(zz0處保持曲線之間的夾角和方向不變=導(dǎo)數(shù)的模的w=f(zz0處可導(dǎo),f(10.w0=f(z0 w=f(z0+z)-f(z0因?yàn)楫?dāng) 0時(shí), f￠(z),所以當(dāng)z很小時(shí) ?f￠(z 于 ?f().這表明z平面上的向量z=z-z0經(jīng)映射后得到的w平面上的向w=f(z)-f(z0),其模近似地伸長(zhǎng)(或壓縮)了f()倍,而且這個(gè)伸長(zhǎng)倍數(shù)與向量z的方向無(wú)關(guān).w=f(zz0處的等伸縮性.稱f()f(zz0處的伸縮率

w=f(zz0w0為中心的圓f￠(z0倍綜上所述,設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0? f()10.則映射w=f(z)z0處具有保角性和等伸縮性.w=f(zz0處是保形的(或共形的).從幾何直觀上看,wf(zz0w0f(z0處的曲邊三角形.這兩個(gè)曲邊三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊近似地成比例(因此這兩個(gè)曲邊三角形近似地是相似的).f(z在區(qū)Df(z10,w=f(zD內(nèi)是保形的f(z是區(qū)D內(nèi)的單葉解析函數(shù),6.1.1,Df(z1= 分式線性

分式線性函稱如下形式的函數(shù)為分式線性函數(shù)

w=az+bcz+

0.= w az+b(a1 +d= 稱之為整線性函數(shù).也是分式線性函數(shù)

z=-dw+cw-

顯然,c0時(shí),函數(shù)(1)zw平面的的雙方單值的保形映射.c10時(shí),是C-{d到C-a的雙方單值的保形映射 我們可以把分式線性函數(shù)(1)推廣為擴(kuò)充復(fù)平面C￥到C￥的函數(shù).當(dāng)c0時(shí),z=￥w=￥對(duì)應(yīng),c10時(shí),zdz=￥分別與w=￥wa對(duì)應(yīng).則函數(shù)(1)成 C￥到C￥的雙射由分式線性函數(shù)定義的映射稱為分式線性映射.4個(gè)映射是分式線性映射的特例平移映射wzaa旋轉(zhuǎn)映射weiz(為實(shí)數(shù)相似映射wrzr反演映射w1z反過來(lái),任一分式線性映射可以b4個(gè)映射復(fù)合而成.事實(shí)上,當(dāng)c0時(shí)w az+b(a1 +d= 這是整線性映射,它可分解為平移,旋轉(zhuǎn)和相似三個(gè)映射的復(fù)合.當(dāng)c10時(shí)w=a+bc-adc c2(z+dc保圓性與保交比以下為敘述方便,約定:把直線看成是半徑無(wú)窮大的圓回顧§1.14,

a(x2+y2)+bx+cy+d=,azz+z+z+d= b2+

其中a,b,c,d是實(shí)常數(shù), (b+ic)是復(fù)常數(shù),滿足2

>4

反過來(lái),a,d?R,?C,并且2>ad時(shí), 定理6.2.1 證明任一分式線性映射可以由平移,旋轉(zhuǎn),相似和倒數(shù)映射復(fù)合而成.個(gè)基本映射將圓映射為圓.3個(gè)映射顯然將圓映射為圓.w1將圓(3)z

dww+w+w+a=這表示一條直線).例如,z平面上的圓C

1,zzzz0.w1將圓Cz為C￠:ww-1

這是w平面上的過u 的垂直于實(shí)軸的直線(補(bǔ)充圖1).也可以利用形性得到C的像.w

把Cz0z2w=￥w

故C w1的直線.Cz2處與實(shí)軸正交,w1把實(shí)軸映射為實(shí)軸,C￠zw1處與實(shí)軸正交.這說明C￠是過u1的垂直于實(shí)軸的直線yCO12yCO12xvCO121uw=z1設(shè)Cz平面上的圓則CzD1D2.設(shè)分式線性映wf(z把Cw平面上的圓C,C￠w平面分成兩個(gè)沒有公共點(diǎn)的區(qū)D1￠和D2.D1D2在映射下的像.D1D1￠D￠2,可以通過檢D1中任一點(diǎn)6.2.1,分式線性函數(shù)把圓映射為圓.反過來(lái),給定兩個(gè)圓,是否存在分式線性函數(shù)把其中一個(gè)映射為另一個(gè)?下面考慮這個(gè)問題.6.2.2z1z2z3w1w2w3zw平面上的三個(gè)互異的點(diǎn).則存在唯一的分式線性函數(shù),z1,z2z3w1,w2w3證明z1z2z3w1w2w3都是有限點(diǎn)的情形.設(shè)所求的分式線性函數(shù)由(1)式給出,則有w=azk+b(k=1,2, czk+算出ww1ww2w3w1w3w2abcd,w-w1:w3-w1=z-z1:z3-z1 w-w2w3- z- z3-從上式中解出w即得函數(shù)(1).再設(shè)所給各點(diǎn)除w3=￥外,其余各點(diǎn)都是有限的.由于函數(shù)(1)將z1,z2,z3映射為為w1,w2,￥, w=az+bc(z-z3w1=az1+b w2=az2+bc(z-z c(z-zww1,ww2

abc,w-w1=z-z1:z3- w- z- z3-((5)式可以看成是在(4)式中令 ￥得到).由此可以解出所求的函數(shù).對(duì)于z1,z2,z3w1w2w3中有一些是￥的其他情況,可以類似地證明.這就證明了所求的的分式線性函數(shù)是再證明唯一性.z1z2z3分別映射w1w2w3

w=a1z+c1z+與上面一樣,該函數(shù)應(yīng)滿足(4)式或(5)式.z1z2z3別映射為w1,w2w3的分式線性函數(shù)是唯一的.z1z2z3z4是擴(kuò)充復(fù)平面C￥4個(gè)互異的點(diǎn).) (z,z,z, z3- z4-) z- z- z1z2z3z4的交比.z1,z2z3z4中有一個(gè)是￥時(shí),(6)式的右端應(yīng)在極限的意義下理解例如z￥,則(6)式的右端應(yīng)理解為z3z1.這樣4)式和(5)式都可4z3-(w1,w2,w,w3)=(z1,z2,z,z3

推論6.2.1 在分式線性映射下交比不變:若z1,z2,z3,z4是擴(kuò)充復(fù)平面C￥上的4個(gè)互異的點(diǎn),w=f(z)是一分式線性映射,wk=f(zk)(k=1,2,3,4),則(w1,w2,w3,w4)=(z1,z2,z3,z46.2.2(補(bǔ)充)z平面上的一個(gè)圓,w平面上一個(gè)設(shè)C和C￠zw平面上的給定的圓.在C和C￠3z1,z2,z3和w1,w2, 由定理6.2.2,存在分式線性映射w=f 把zk映射為wk(k1,2,3).6.2.1,f(zz1z2z3的圓Cw1w2w3圓C補(bǔ)充例 (1)作出一分式線性函數(shù),它把過2,i,-2的圓映射為過-1,i,1的圓作出一分式線性函數(shù),映射為￥0

<1映射為上半平面Imw>0,并且把-i,1,解(1).由于分式線性函數(shù)的保交比性,所求函數(shù)滿足(-1,i,w1)(2,i,z2w-(-1):1-(-1)=z-2:-2-2w- 1- z- -2-w 1+3iz-化簡(jiǎn) w- z-

z-6i

即為所求(2).所求函數(shù)應(yīng)把單位圓z1映射為實(shí)軸,并且把-i,1,i映射為￥,0,1.函數(shù)的保交比性,所求函數(shù)滿足(￥0,w1)(-i,1,zi).w1￥時(shí)(w,w,w,w)=w-w1:w3-w1=w3-w2:w3-w1=w3-w2 w-w2w3- w- w- w-因此(￥0,w1)(-i,1,zi1-0=z-(-i):i-(-i)w- z- i- i-1z

w(1-i)z-(1-i.根據(jù)注1,這函數(shù)把單位圓盤z<1 z- z+為上半平面或下半平面.w(0)1i,這映射把單位圓盤z<1映射為上半平(1-i)z-(1-Imw>

因此w 即為所求z 保對(duì)稱點(diǎn)我們已經(jīng)熟知兩點(diǎn)關(guān)于一直線(半徑無(wú)窮大的圓)對(duì)稱的概念.直線上的點(diǎn)關(guān)于這直線對(duì)稱的定義給定圓C:z-z0=R(0<R< z1-z0z2-z0= z1z2是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn).z0與￥點(diǎn)是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)CRA z0D(z1 2,BC是圓C:z

R的切線,CD^AB.由平面幾何的定理知道z1-

z2-

=ADAB=AC2=z1z2是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn).此外,z在圓上,zz本z1z2zz0=R的對(duì)稱點(diǎn)的充要條 z2-z0=z-z 事實(shí)上,必要性顯然.充分性.z1z2滿足(9)式.arg(z2-z0)=argR2-argz1-z0=arg(z-z0z1-z0z2-z0=,,利用(9)式z1關(guān)于于圓zz0R的對(duì)稱點(diǎn)

zz0R引理 設(shè)z1和z2是不同的兩點(diǎn).則z1和z2是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是通過z2的任何圓都與C正交證明如果C是直線,或者C是半徑有限的圓,并且z1和z2中有一個(gè)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),則引理的結(jié)論是明顯的.現(xiàn)在考慮圓C:z-z0=R(0<R<￥), 并且z1和z2都是有限點(diǎn)的情形.必要性.z1z2關(guān)于圓C對(duì)稱.z1z2的直線都與圓C正交.設(shè)z1z2的半徑有限的圓.z0作圓z0z￠(6.2).由平面幾何的定理知道,z￠-z02=z1-

z2-

=z￠

R.z￠在圓C上,因而圓的切線恰好是圓C的半徑.因此與C正交Lz?充分性.z1z2

由假設(shè)條件,L與圓C正交.Lz0,z0z1在同一直線上.z1z2作一半徑有限的圓,設(shè)與圓Cz.由于與C正交,故z￠的切線過圓Cz0.z1z2在這切線的同一側(cè),z1z2z0出發(fā)的一條射線上.由平面幾何的定理知道,有z- z-z=z￠-z2= z1z2是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn).定理 若分式線性映射把圓C映射為圓關(guān)于圓C￠的對(duì)稱點(diǎn)w1w2

則它把關(guān)于圓C的對(duì)z1z2映射設(shè)￠w1w2的圓,則￠z1z2的圓映射得來(lái)的.根據(jù)引理6.2.1,與C正交由于分式線性映射是保形的,故￠與C￠正交.6.2.1,w1w2關(guān)于C￠對(duì)稱.■例 試求把上半平面Imz>0映射到單位圓盤w<1的分式線性函數(shù) f(z)把Imz=0即實(shí)軸映射為w=1,由分式線性函數(shù)的保對(duì)稱點(diǎn)性 f(z)把z0關(guān)于實(shí)軸w=z-z0z-

f(z必有如下的形式其中是一復(fù)常數(shù).f(z把實(shí)軸映射w1,zxx-x-從而ei(為實(shí)數(shù)).w=其中Imz00,為實(shí)數(shù)

z-z0z-

=

現(xiàn)在驗(yàn)證函數(shù)(10)確實(shí)滿足條件zx代入(10w1,這說明實(shí)軸被映射為單位w1.因而上半平面映射為單位圓內(nèi)或單位圓外.zz0映射為單位圓內(nèi)的w0,這說明函數(shù)(10)把上半平面被映射為單位圓內(nèi).2z<1w<1的分式線性函數(shù)解=1z關(guān)于z=1的對(duì)稱 映射為w=0關(guān)于w=1的對(duì)稱點(diǎn)w=￥.于是該映射具有如下形z0w=z-z-

=z-z011-z0z-z0zz-z0z1w1,zz=z21,zz-z0zz-z0z-z0zz-z0z-z0zz-z0從而1ei(為實(shí)數(shù)),

=

=1w=eiz-1-z0z0<1,為實(shí)數(shù)不難驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)確實(shí)滿足條件顯然,z>1w3(補(bǔ)充)試求把上半平面Imz0映射為Imw0的分式線性函數(shù).解考慮分式線性函數(shù)w=az+b cz+abcd為實(shí)數(shù),ad-bc0.abc,d都是實(shí)數(shù),故這個(gè)映射把實(shí)軸映射為實(shí)軸.z0i代入函數(shù)(11),得到w=ai+b=(ai+b)(-ci+d)=ac+bd+(ad-bc)i ci+ ci+d ci+dad-bc映射為下半平面

故Imw00.因此函數(shù)(11)把上半平面映射為上半平面.關(guān)于保形映射的實(shí)例(補(bǔ)充保形映射的問題分為兩大類第一類:已知函數(shù)求映射區(qū)域.即已知z平面上的區(qū)域D和解析函數(shù)f w=f(z下的像G.這一類問題比較簡(jiǎn)單.解決這一類問題的步驟大致可以概述為:由區(qū)域找邊界依函數(shù)求圖像由邊界定區(qū)域(其中第二句是指在映射下邊界的像).第二類:已知對(duì)應(yīng)區(qū)域求映射函數(shù).zDw平面上的區(qū)域G,wf(zD映射為G.

這一類問題比較復(fù)雜.看兩頭,想中間,聯(lián)系起來(lái)想函數(shù)z-vGB(-?u例4求在映射vGB(-?u

<1}?{Imz0w平面的像區(qū)域yyDw=z-zA(- 解f

f(z的系數(shù)都是實(shí)數(shù),f(z把實(shí)軸映射為實(shí)軸.又于f(-1)= f(0)=-1,f(1)=0,故f(z)把區(qū)間[-1,1]映射為負(fù)實(shí)軸.由保圓性f(z)把單位圓映射為圓或直線.由于f(1)=0,f(i)= f(-1)=￥,因此f(z)把單位圓i射為虛軸,把上半圓映射為上半虛軸.由于f(z)把上半圓盤內(nèi)的點(diǎn)z 映射為第二象限的23w=-

例 求一保形映射w=ff￠i>

使得f(z把上半平面

w-12,f(i)解為盡量利用前述幾種特殊的分式線性映射.平面.g(z把上半平面映射為單位圓內(nèi),g(i)0(補(bǔ)充4).根據(jù)1,這映射具有如下

=eiz-iz=1(w-2

(它是平移和相似映射的復(fù)合),它把w-1<2映射為 并且把w=1映射為=0.w2+1.把這個(gè)映射與映射(12)復(fù)合起來(lái),w=f(z)=2eiz-iz

w-1=-1w-1=-13( ==eiz-z.OxO1w=2zw-1

f(i)1.在函數(shù)(13)f(z

(z+i)2

f￠i

=-ieif￠i0,因此應(yīng)取2

代入(13)式,w=2iz-iz+ 最大模原最大模原最大模原理是解析函數(shù)的另一重要性質(zhì),是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)重要的定理定理 (最大模原理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,并且f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù),f(z)不能在區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)達(dá)到最大值證明由于f(z在區(qū)D內(nèi)解析,并且f(zD內(nèi)不恒為常數(shù),由定理6.1.3知道D1f(D是區(qū)域.我們證明對(duì)任意z0?D,f(z0)不是f(z)D內(nèi)的最大值.記w0f(z0).w0?D1D1是區(qū)域,因此存在0,使得U(w0ìD1.于是存在w1?U(w0w1>w0.w1f(z1z1?D),則f(z1)=w1>w0=f(z0).這說明f(z0)不是f(z)D內(nèi)的最大值.下面利用解析函數(shù)的平均值給出最大模原理的另一證明證明 用反證法.假設(shè)存在z0? 使得f(z)在z0處達(dá)到最大值M f(z0)=M=

f(z).z0K

z-

R,KìD補(bǔ)充5).對(duì)任rrD 0Lòf(z)= ò

f

+rei)d

M=f(z0)

1ò1òf(z0+0

￡ 2f(z+

)d 由于f(z0+rei)￡M(0￡￡2 要使(11)式成立,必須對(duì)任意?2 f(z0+rei

M.若不然,設(shè)存在0?2],

fz0rei0)M.f(z 上連續(xù),存在>0,使得當(dāng)?[0-,0+]時(shí) f(z0+rei)<M.于 ò ò

f(

+rei)d=1(0+ 0- [0,2]-[0-,0+

)f(

+rei)<1(2M+(2-2)M)=M這與(11)式!L上f(z)oM.由于0rR的任意性,z0K內(nèi)f(z)oM.2.24題(3)的結(jié)論,f(zK內(nèi)恒為常數(shù).根據(jù)解析函數(shù)的唯一性定理,f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù).這與假設(shè)條件.定理得證.■ 設(shè)函數(shù)f(z)在有界區(qū)域D內(nèi)解析，在D上連續(xù)，則

f(z)必在D證明由有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道

f(z)在閉D上一定達(dá)到最大值.f(zD內(nèi)恒為常數(shù),則f(zD上也恒為常數(shù).此時(shí)結(jié)論顯然成立.若f(zD內(nèi)不恒為常數(shù),由最大模原理,f(z)的最大值不能在D內(nèi)達(dá)到,故f(z)必在D的邊界上達(dá)到最大值.■補(bǔ)充例證明對(duì)任意r0,zrz,cosz證明f(zcosz在復(fù)平面C上解析,并且不為常數(shù),根據(jù)最大模原理的推論,對(duì)任r0,f(zz￡rzr上達(dá)到.因?yàn)閒(0)cos01,因此zrz,cosz1.■Schwarz引利用最大模原理可以證明一個(gè)重要的引理—Schwarz引理引理 (Schwarz許瓦茲)設(shè)f(z)在開圓盤z<1內(nèi)解析 f(0)=0,并且當(dāng)z時(shí)f(z)<1.則當(dāng)z<1時(shí) f(z)￡zf￠()z0(0<z01),使得f(z0=z0,f￠()1,f(zz,是一復(fù)常數(shù),證明(1).f(z

<1內(nèi)解析,f(0)f(z)=

<1g(z在

<1內(nèi)解析.

<1

f(z)1,所以

r(0r<1)時(shí)由最大模原理,

g(z)fz￡rg(z)1fzr

令

<1zfzfz<1于是當(dāng)0<z<1時(shí)

g(z)

ffz即f(z)￡z f(0)0,(3)z0時(shí)仍然成立.這就證明了結(jié)論fz利fzf￠)=limf(z)-f

=

z zz0(0<

1),

f(z0)

z0,f(z0g(f(z0

=另一方面由(1)式,

<1時(shí)g(z) 這說

g(z)

<1z0處到達(dá)最大值.最大模原理,

<1g(z(常數(shù)),=g(z01.f(zf￠()1,g(0)=limg(z)=limf(z)-f

=f￠()=z z

g(z)

<1內(nèi)的點(diǎn)處到達(dá)最大值.與上面一樣,f(zz,1.Schwarz引理的有如下的幾何意義:f(z是單位圓盤自身的解析映射,并且保持原點(diǎn)不動(dòng).則結(jié)論(1)表明當(dāng)z￡r(0r<1)時(shí),f(z)￡r.這就是說,映射的像被原像控制(補(bǔ)充圖1).結(jié)論(2)表明只要在單位圓盤內(nèi)有一點(diǎn)z010,使得該點(diǎn)的像與原像的模相等,f(zeiz(是實(shí)數(shù)),f(z是旋轉(zhuǎn)映射Or1r§6.4 Riemann定理及邊界f(z是區(qū)D內(nèi)的單葉解析函數(shù),根據(jù)定理6.1.1,Df(z10.因此,z-葉解析函數(shù)是區(qū)域到區(qū)域的保形映射.在§6.2例1中,我們看到函數(shù)w=ei 把上半平z-Imz>0保形映射到單位圓盤w<1.反過來(lái),給定兩個(gè)單連通區(qū)域,是否存在單葉解析函數(shù)把 為此只需考慮給定一個(gè)單連通區(qū)域D,是否存在單葉解析函數(shù)把D保形映射為單位圓盤w<1.這個(gè)問題不一定有解.例如,取D=C(在擴(kuò)充復(fù)平面C￥上看,其邊界只有一點(diǎn),即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)￥),D1是單位圓盤的內(nèi)部.若存在單葉解析函數(shù)w=f(z)將D映射D1,則f(z)為整函數(shù),并且f(z)<1.根據(jù)劉維爾定理,這時(shí)f(z)必恒為常數(shù).這與f(z)的單葉性.因此不存在單葉解析函數(shù)將復(fù)平面C保形映射為單位圓盤的內(nèi)部.但除了這種特殊情形外,仍有下面的一般性結(jié)果.6.4.1(Riemann映射定理D是C上的一個(gè)單連通區(qū)域,D1C,z0?D.則存在唯一的單葉解析函wf(z),滿足Dwf(z0)= f()>證明存在性的證明很復(fù)雜,這里從略(參見參考書目[1],-唯一性.w=f1(zw=f2(z都滿足定理的條件.z=f2(ww2D.F(w=f1f-1(w))w<1內(nèi)解析,w<1F(w)2 F(0)=f1f-1(0=f(z wf2(z代入上式得到

Schwarz引理的結(jié)論(1),F(w)￡wf1(z)￡f2(z) z?f1zf2z的位置,類似地

f2(z)

f1(zz?D).從f1(z)=f2(z) z?2z=f-1(w)代入上式得到2F(weiw(是常數(shù)).

F(w)=w(w 由Schwarz引理的結(jié)論(3),f1(z)=eif2 z?z求導(dǎo),zz0, f￠(z)=eif f1(z00,f(z00,故必有2k(k?Z).f1(z=f2(z).注(1).6.4.1中,D換為是擴(kuò)充復(fù)平面C￥上的一個(gè)邊界多于一點(diǎn)的單連通區(qū)域,6.4.1中f(z滿足f(z00,f(0,D保形映射為單位w<1的單葉解析函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).這是因?yàn)?w=f(zD保形映射為單位圓盤w<1.weif(z(是實(shí)數(shù))D保形映射為單位圓盤w<1.Riemann映射定理只是肯定了某些區(qū)域可以保形映射為單位圓盤.但是怎樣作出這樣的函數(shù),需要另行考慮.Riemann映射定理某些區(qū)域可以保形映射為單位圓盤.但沒有說明兩個(gè)區(qū)域的邊界是否有對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于以簡(jiǎn)單封閉曲線為邊界的區(qū)域,有如下的結(jié)果.定理6.4.2(邊界對(duì)應(yīng)定理D是以簡(jiǎn)單封閉曲線為邊界的單連通區(qū)域,wf(zDD1w<1.f(z可以唯一地連續(xù)延拓到C上,的正向

wf(zDD1的連續(xù)的雙射wf(z是?D到?D1的連續(xù)的雙射,并且使?DD的正向,對(duì)應(yīng)?D1證明略6.4.2的逆,在實(shí)際應(yīng)用中很重要6.4.3D是有界單連通區(qū)域,其邊界C是分段光滑的簡(jiǎn)單封閉曲線,w=f(z在DDèC上解析CC1:w1.w=f(zD保形映射為D1:w<1,并且使CD的正向,對(duì)應(yīng)C1D11).證明略 CDOxw=f§6.5 解析延拓略(不作要求 幾個(gè)初等函數(shù)的映射(補(bǔ)充內(nèi)容w=是全平面C上的解析函數(shù).由于ez+2ki=ez,因此ez不是C上的單葉解析函數(shù).考慮帶形區(qū)域D={z:0<Imz<2}. 設(shè)z1,z2?D,ez1=ez2,則z1-z2=2ki,即Rez1=Rez2 Imz1-Imz2=2k由于0ImzImz2,k0,zz.這說明ezD內(nèi)是單葉的. 樣的區(qū)域?yàn)閑z的單葉性區(qū)域Dwez下的像區(qū)域.zx+iy?w=ex argw=

wezex+iyexeiy.于是,zyy0wargwy0(除去原點(diǎn)).zyy=2y0x=AOxvargw=yy=2y0x=AOxvargw=Ouw=的意義xx0yy0A處正交AA￠處正交)當(dāng)y0從0(不包括0)2(2)時(shí),yy0D.相應(yīng)地,w平面上射線argw=y0從正實(shí)軸(不包括正實(shí)軸)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正實(shí)軸(不包括正實(shí)軸).此可見,wez將帶形區(qū)D={z:0<Imz<2保形映射為w平面除去[0,￥)的區(qū)域D+={w0argw2類似地討論知道,wezD={z0Imzw平面.地,wezD={z:a<Imz<b}(0<b-a￡2保形映射為w平面上的角形區(qū)域D￠waargw對(duì)數(shù)函數(shù)的D{z0argz2Lnz分成無(wú)窮多個(gè)單值解析分枝.lnz是Lnz的在正實(shí)軸的上沿取實(shí)值的單值解析分枝.lnz=ln+z+iargz,0<argz<2yOxv2OuyOxv2Ou冪函數(shù)映這里只限于討論0時(shí)的冪函數(shù).在區(qū)D+={z0argz2內(nèi)可以把冪函數(shù)分成一些單值解析分枝.wzz=zeiarg (0<argz<2設(shè)區(qū)域D={z:0<argz<0}滿足0<0￡2,0<0￡2 設(shè)z1,z2?zz

eiargz1=zeiargz2.

z=z,(argz-argz)=2k 由于0argz,argz<￡2,k0,zz.zD內(nèi)是單葉的 Dwz下的像區(qū)域.z?

wz=zeiargz.w=z argw=arg于是 z平面上的射線argz=(0<<0)被映射為w平面上的射線argw=(0<<0),z平面上的圓弧(0argw0)(

zr(0argz<0)被映射為w平面上的圓弧

w=yargzyargzz=Oxvw