根軌跡法習(xí)題和答案

-第四章根軌跡法習(xí)題及答案4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試證明s 1j3在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益K*和開環(huán)增益K。1解 假設(shè)點s在根軌跡上，則點s應(yīng)滿足相角條件1 1G(s)H(s)(2k1)，如下列圖。對于s1j3，由相角條件滿足相角條件，因此s1j3在根軌跡上。1將s代入幅值條件：1解出：K*12，KK*3284-2單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求參數(shù)b從零變化到無窮大時的根軌跡方程，并寫出b2時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)?！?〕G(s)20〔2〕G(s)10(s2b)(s4)(sb)s(s2)(sb)解(1)G(s)b(s4)b(s4)s24s20(s2j4)(s2j4)G(s)b(s22s20)=b(s1j19)(s1j19)s(s22s10)s(s1j3)(s1j3)2s4-3單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)(s4)(sb)，試?yán)L制參數(shù)b從零變化到無窮大時的根軌跡，并寫出s=-2這一點對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。G(s)b(s4)s(s6)根軌跡如圖。s2時b4，4-4單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。. z.-⑴G(s)k(2)k(s1)G(s)s(0.2s1)(0.5s1)s(2s1)(3)G(s)k*(s5)(4)k*(s1)(s2)s(s2)(s3)G(s)1)s(sK10K解⑴G(s)s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2)三個開環(huán)極點：p0,p2,p5123①實軸上的根軌跡：,5,2,002573a3②漸近線：(2k1),a33③別離點：解之得：d 0.88，d3.7863(舍去)。1 2④與虛軸的交點：特征方程為Re[D(j)]7210k0Im[D(j)]3100 10解得 k7與虛軸的交點〔0， 10j〕。根軌跡如下列圖。G(s)K(s1)K(s1)s(2s1)2s(s1)2根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡：,1, 0.5,0②別離點：111dd0.5d1.z.-解之得：d0.293,d1.707。根軌跡如下列圖。⑶根軌跡繪制如下：① 實軸上的根軌跡：5,3,2,0a023(5)0②漸近線：2(2k1)a22③別離點：1111dd2d3d5用試探法可得 d0.886。根軌跡如下列圖。根軌跡繪制如下：① 實軸上的根軌跡：[0,1],[-1,-2]②別離點：1111dd1d1d2求解得：d0.37，d1.3712根軌跡如下列圖。4-5單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求：(1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡；(2)確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)增益k的值；確定系統(tǒng)臨界阻尼比時開環(huán)增益k的值。解(1)k5000kG(s)s(s50)(s100)s(0.02s1)(0.01s1)①實軸上的根軌跡：[0,-50],[-100,-]②別離點：1110dd50d100求解得d21.13，d78.8712③漸近線：50，60o，180oaa.z.-根軌跡如下列圖。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時k*750000，k150(3)系統(tǒng)臨界阻尼比時k*48112.5，k9.62k*4-6 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)s(s28s20)，要求繪制根軌跡并確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào)時開環(huán)增益k的取值范圍。G(s)H(s)s(s28s20)實軸上的根軌跡：,0②漸近線：③別離點：1110dd4j2d4j2解之得：d2,d3.33。④與虛軸交點：D(s)s38s220sk把sj代入上方程，整理，令其實、虛局部別為零得：025解得：k0k160⑤起始角：由相角條件63，63。p2p3根軌跡如下列圖。所有根為負(fù)實根時階躍響應(yīng)無超調(diào)，此時14.8k*16，所以0.74k0.84-7單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)k(2s1)，(s1)2(4s1)7試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。. z.-解：根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡： 0.5，7/4②漸近線：③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把sj代入上方程，10Re(D(j))K12令710)4Im(D(j))(2K307702解得：，9K1K7根軌跡如下列圖。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為 1K97。4-8控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡〔要求求出起始角〕。解根軌跡繪制如下：①實軸上的根軌跡： ,2②漸近線：③別離點：221d2j5d2j5d2解之得：d3.29d0.71 (舍去)④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把s j代入上方程，Re(D(j))令I(lǐng)m(D(j))

4342812K0(72K)830 21解得：K96⑤起始角： 90 （2290）（2k1）p1解出 45,135根軌跡如下列圖。p1 p2. z.-4-9 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a和T為變化參數(shù)的根軌跡。(1)G(s)1/4(sa)，a0；(2)G(s)2.6，T0s2(s1)s(0.1s1)(Ts1)解(1)G(s)a/4s(s0.5)2①實軸上的根軌跡：(，0)②漸近線：1/3，60o，180oaa③別離點：d1/6根軌跡如下列圖。Ts2(s10)(2)G(s)10s26s2① 實軸上的根軌跡：(，0)②起始角終止角：解得起始角 78.7op解得終止角 90o根軌跡如下列圖。z4-10 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡，并求出所有根為負(fù)實根時開環(huán)增益k的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時k的值。解① 實軸上的根軌跡：[18，1]②別離點：d4.22，d6.2812③漸近線：7.5，90oaa④與虛軸交點：s1.86j，k*37.71,2根軌跡如下列圖。d處k*116.6，d處k*117.6，kk*/1812結(jié)論：6.48k6.53時所有根為負(fù)實根，k2.0954-11

時系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)構(gòu)造圖如下列圖，試?yán)L. z.-制時間常數(shù)T變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)T的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。100解：G(s)Ts3s220s1T(s220s100)作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)根軌跡繪制如下： 〔注意：k*1/T)①實軸上的根軌跡：(,10],10,0②別離點：32解得d30。dd10根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的T0.015。③虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把sj代入上方程，整理，令實虛局部別為零得：10解得：T0.2④起始角： 60p1參數(shù)T從零到無窮大變化時的根軌跡如 下列圖。(請注意根軌跡的方向！)從根軌跡圖可以看出，當(dāng)0T0.015時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收斂過程；0.015T0.2時，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程；T0.2時，有兩支根軌跡在s右半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。假設(shè)取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下：三條根軌跡中兩條起于-10，一條起于，均終止于原點①實軸上的根軌跡：(,10],10,0②別離點：32解得d30。dd10其余步驟與上根本一樣，根軌跡一樣，只是-10處為兩個開環(huán)極點，原點處為3個開環(huán)零點，根軌跡方向與圖中一樣。4-12控制系統(tǒng)的構(gòu)造如下列圖，試概略繪制其根軌跡(k*0)。解此系統(tǒng)為正反響系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。. z.① 實軸上的根軌跡：,2,1,-②別離點：31d2d1解得 d0.5③起始角：根據(jù)相角條件，得60，60，180。p1p2p3根軌跡如下列圖。k(1s)4-13 設(shè)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)s(s2)，試?yán)L制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實根和純虛根的k值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式知需繪制0根軌跡。① 實軸上的根軌跡：2,0,[1,)；②別離點：111dd2d1解得：d0.732,d2.73212將sd