幾何中的計數(shù)問題(一)(帶答案完美排版)

幾何中的計數(shù)問題（一）幾何中的計數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等.通過這一講的學習，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習慣，逐步學會通過觀察、思考探尋事物規(guī)律的能力.一、數(shù)線段我們把直線上兩點間的部分稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最基本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對于了解圖形、分析圖形是很重要的.例1、數(shù)一數(shù)下列圖形中各有多少條線段.分析：要想使數(shù)出的每一個圖形中線段的總條數(shù)，不重復、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點順序去數(shù)，如上圖（1）中，線段最左邊的端點是A，即以A為左端點的線段有AB、AC兩條以B為左端點的線段有BC一條，所以上圖（1）中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以A為左端點的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點的線段有BC、BD兩條，以C為左端點的線段有CD一條.所以上頁圖（2）中共有線段為3＋2＋1＝6條.第二種：按照基本線段多少的順序去數(shù).所謂基本線段是指一條大線段中若有n個分點，則這條大線段就被這n個分點分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為基本線段.如上頁圖（2）中，線段AD上有兩個分點B、C，這時分點B、C把AD分成AB、BC、CD三條基本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是包含有二條基本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條基本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖（3）中線段AE上有三個分點B、C、D，這樣分點B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條基本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照基本線段多少的順序是：首先有4條基本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，然后是包含有三條基本線段的有2條，最后是包含有4條基本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3（條）.②3＋2＋1＝6（條）.③4＋3＋2＋1＝10（條）.小結：上述三例說明：要想不重復、不遺漏地數(shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和，這個連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點數(shù)加1或者是線段所有點數(shù)（包括線段的兩個端點）減1.也就是基本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點數(shù)（包括兩個端點A、F）共有6個，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是6－1＝5，或者線段AF上的分點有4個（B、C、D、E）.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是4＋1＝5.也就是線段AF上基本線段（AB、BC、CD、DE、EF）的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5＋4＋3＋2＋1＝15（條）.二、數(shù)角例2、數(shù)出右圖中總共有多少個角.分析：在∠AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個基本角，那么∠AOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次是包含有2個基本角組成的角有3個（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3個基本角組成的角有2個（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4個基本角組成的角有1個（即∠AOB），所以∠AOB內(nèi)總共有角：4＋3＋2＋1＝10（個）.解：4＋3＋2＋1＝10（個）.小結：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，這個和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加 1，也就是基本角的個數(shù).例3、數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個角？解：因為∠AOB內(nèi)角分線OC1、OC2?OC9共有9條，即9+1=10個基本角.所以總共有角：10+9+8+?+4+3+2+1=55（個）.

三、數(shù)三角形例4、如右圖中，各個圖形內(nèi)各有多少個三角形？分析：可以采用類似例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖（2）：第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四個三角形；再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三個三角形；以AE為一條邊的三角形共有：△AEF、△AEC二個三角形；最后以AF為一條邊的三角形共有△AFC一個三角形.所以三角形的個數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四個三角形.再數(shù)由兩個小三角形組合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三個三角形，以三個小三角形組合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二個三角形，最后數(shù)以四個小三角形組合在一起的只有△ABC一個.所以圖中三角形的個數(shù)總共有：4+3+2+1=10（個）.解：①3+2+1=6（個）②4+3+2+1=10（個）.答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個和10個.小結：計算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的基本線段的條數(shù).例5、如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？分析：在數(shù)的過程中應充分利用上幾例總結的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中基本線段（基本三角形）的條數(shù)；算：就是以基本線段（基本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和.要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.要數(shù)有多少個三角形，先看在△AGH中，在GH上有3個分點，分成基本小三角形有4個.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個數(shù)，所以在△ABC中三角形個數(shù)總共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.解：①在△ABC中共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個）.例6、如右圖中，共有多少個角？分析：本題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結的規(guī)律去解決.∠1、∠2、∠3、∠4我們可視為4個基本角，由2個基本角組成的有：∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠4與∠1，共4個角.由3個基本角組成的角有：∠1、∠2與∠3；∠2、∠3與∠4；∠3、∠4與∠1；∠4、∠1與∠2，共4個角，由4個基本角組成的角只有一個.所以圖中總共有角是：4×3+1=13（個）.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13（個）.小結：由本題可以推出一般情況：若周角中含有n個基本角，那么它上面角的總數(shù)是n×（n－1）+1.

課后練習題1、數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段？22、數(shù)一數(shù)下圖中各有多少角？33、數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段？44、數(shù)一數(shù)下圖中，各有多少條線段，各有多少個三角形？課后練習題參考答案1、①在AB線段上有4個分點，所以它上面線段的總條數(shù)為：5+4+3+2+1=15（條）②在線段AB上有3個分點，所以它上面線段的總條數(shù)為：4+3+2+1=10（條）.在線段CD上有4個分點：所以它上面線段的總條數(shù)為：5+4+3+2+1=15（條）.∴整個圖（2）共有線段10+15=25（條）.③在線段AB上有3個分點，它上面線段的條數(shù)為：4+3+2+1=10（條）.在線段CD上有2個分點，它上面線段的條數(shù)為：3+2+1=6（條）.在線段EF上有2個分點，它上面線段的條數(shù)為6條.所以圖（3）上總共有線段10+6+6=22（條）.2、①在∠AOB內(nèi)有4條角分線，所以共有角：5+4+3+2+1=15（個）；②在∠AOB內(nèi)有9條角分線，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）；周角內(nèi)含有6個基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（個）.3、①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4、①有線段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（條）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（個）；②有線段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（條）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（個）.幾何中的計數(shù)問題（一）幾何中的計數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等.通過這一講的學習，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習慣，逐步學會通過觀察、思考探尋事物規(guī)律的能力.一、數(shù)線段我們把直線上兩點間的部分稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、長方形、多邊形等最基本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對于了解圖