屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義142參數(shù)方程(人教A版)

屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義：14.2參數(shù)方程(人教A版)1．參數(shù)方程的觀點(diǎn)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變x＝ft數(shù)t的函數(shù)①，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)，相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程．2．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)參數(shù)而從參數(shù)方程獲得普通方程．(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，比如x＝f，方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參y＝gt數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．3．直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程x＝－1－t，1．極坐標(biāo)方程ρ＝cosθ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分y＝2＋t別是()．A．直線、直線B．直線、圓C．圓、圓D．圓、直線xx解析∵ρcos＝θx，∴cosθ＝ρ代入到ρ＝cosθ，得ρ＝ρ，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圓．x＝－1－t，又∵相加得x＋y＝1，表示直線．y＝2＋t，答案Dx＝1－2t，2．若直線(t為實(shí)數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________.y＝2＋3tx＝1－2t，解析參數(shù)方程所表示的直線方程為3x＋2y＝7，由此直線與直y＝2＋3t，34線4x＋ky＝1垂直可得－2－k＝－1，解得k＝－6.答案－6x＝5cosθ，3．二次曲線(θ是參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是y＝3sinθx2y2解析題中二次曲線的普通方程為2591

．左焦點(diǎn)為

(－4,0)．答案(－4,0)x＝t＋1，4．(20XX年湖南)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與y＝1－2tx＝asinθ曲線C2：(θ為參數(shù)，a0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則a＝________.＝y(tǒng)3cosθx2y2解析曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2a＋9＝1，直x2y23線2x＋y＝3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為20，故曲線a9＝1也經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，代33入解得

a＝2

舍去－

2.3答案

2x＝

5cos

θ，5．(20XX年廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為y＝sinθ5＝x2，4(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0≤θ＜π)和．y＝tx＝5cosθ，x22解析由(0≤θ＜π)得，5y＝1(0≤y≤1，－5x≤5)，y＝sinθ5＝x2，5由4(t∈R)得，x＝42，y＝t45y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝5或y2＝－4(舍去)．525.則x＝4y2＝1又θ≥0，得交點(diǎn)坐標(biāo)為1，525答案1，5對(duì)應(yīng)學(xué)生211考向一參數(shù)方程與普通方程的互化把下列參數(shù)方程化為普通方程：x＝3＋cosθ，(1)y＝2－sinθ；1x＝1＋2t，(2)3y＝5＋2t.cosθ＝x－3，解(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,sin＝θ2－y，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.3(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋2中，3得y＝5＋2(2x－2)，即3x－y＋53＝0.參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，參數(shù)方程經(jīng)過(guò)代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，不要忘了參數(shù)的范圍．x＝cosα，【訓(xùn)練1】(20XX年陜西)參數(shù)方程(α為參數(shù))化成普通方程為y＝1＋sinα．x＝cosα，x＝cosα，①解析由得y＝1＋sinαy－1＝sin，α②①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1考向二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用x＝2＋tcosα，x＝1＋cosθ，已知圓C：(θ為參數(shù))和直線l：(其y＝sinθ＝y(tǒng)3＋tsinα中t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)．2π(1)當(dāng)α＝3l距離的最小值；(2)當(dāng)直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求α的取值范圍．2π解(1)當(dāng)α＝3l的直角坐標(biāo)方程為3x＋y－33＝0，圓C的圓心3坐標(biāo)為(1,0)，圓心到直線的距離d＝23，圓的半徑為1，故圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為3－1.(2)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋2(cos＋α3sinα＋)t3＝0，這個(gè)對(duì)于t的一元二次方程有π3π3α＋α＋解，故＝4(cosα＋3sinα)－12≥0，則sin≥，即sin6462或22πsinα＋6π33ππ2πππ≤－2又0≤α＜π，故只能sinα＋6≥2，3≤α＋63即6α≤2.故αππ的范圍是62.如果問(wèn)題中的方程都是參數(shù)方程，那就要起碼把其中的一個(gè)化為直角坐標(biāo)方程．x＝1＋t，【訓(xùn)練2】已知直線

l的參數(shù)方程為

(參數(shù)

t∈R)，圓

C的參數(shù)方y(tǒng)＝4－2tx＝2cosθ＋2，程為(參數(shù)θ∈[0,2π，])求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．

[來(lái)y＝2sin

θ源:]x＝1＋t，解

由消參數(shù)后得普通方程為

2x＋y－6＝0，y＝4－2tx＝2cosθ＋2，由消參數(shù)后得普通方程為(x－2)2＋y2＝4，顯然圓心坐標(biāo)為y＝2sinθ(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2x＋y－6＝0的距離為d＝25－5.5考向三圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用x22求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，傾斜角為135°的直線截橢圓4y＝1所得的弦長(zhǎng)．2x＝1－2，由條件可知直線的參數(shù)方程是2y＝1＋2|2×2＋0－6|55，2＋1所以所求弦長(zhǎng)為2解(t為參數(shù))，代入橢圓方程21－2221＋t2＝1，可得＋425即22＋2t＋1＝0.設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數(shù)2t＋t125，的關(guān)系可得2tt125則直線截橢圓的弦長(zhǎng)是|t1－t2|＝t1＋t2－4t1t2＝242622－－4×＝555普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))．普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不同樣．【訓(xùn)練3】(20XX年南京模擬)過(guò)點(diǎn)P(－3,0)且傾斜角為30°的直線和曲線1x＝t＋t1y＝t－t(t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解3x＝－3＋2s，直線的參數(shù)方程為1y＝2(s為參數(shù))，1x＝t＋t又曲線1y＝t－t(t為參數(shù))能夠化為x2－y2＝4，將直線的參數(shù)方程代入上式，得s2－3s＋10＝0，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2.∴s1＋s2＝63，s1s2＝10.∴|AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2－4s1s2＝217.(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每題5分，共40分)x＝－2－2t，1．(20XX年深圳模擬)直線(t為參數(shù))上與點(diǎn)A(－2,3)2y＝3＋2t的點(diǎn)的坐標(biāo)是．12解析由題意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝2，t＝2，代入x＝－2－2t，(t為參數(shù))，得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3,4)或(－1,2)．y＝3＋2t答案(－3,4)或(－1,2)x＝2＋cosθ，2．(20XX年?yáng)|莞模擬)若直線l：y＝kx與曲線C：(參數(shù)θ∈R)有唯y＝sinθ一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k＝________.解析曲線C化為普通方程為(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝1.由已知l與圓相切，則r＝3答案3x＝cosα，3．直線3x＋4y－7＝0截曲線(α為參數(shù))的弦長(zhǎng)為．y＝1＋sinα＋|04－7|3解析曲線可化為x＋(y－1)＝1，圓心到直線的距離d＝＝，則弦9＋16522|2k|31k＝.31＋k8長(zhǎng)l＝r－d＝5.8答案5x＝1－2t，x＝s，4．已知直線l1：(t為參數(shù))，l2：(s為參數(shù))，若l1∥l2，y＝2＋kty＝1－2s則k＝；若l1⊥l2，則k＝________.解析將l1、l2的方程化為直角坐標(biāo)方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋yk24＋k1＝0，由l1∥l22＝11k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0k＝1.答案4－1x＝3＋3cosθ，5．(20XX年湛江調(diào)研)參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的圖形上的點(diǎn)到直y＝－3＋3sinθ線y＝x的最短距離為．x＝3＋3cosθ，解析參數(shù)方程化為普通方程為(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圓心y＝－3＋3sinθ－|3－3|坐標(biāo)為(3，－3)，半徑r＝3，則圓心到直線y＝x的距離d＝32，則圓上點(diǎn)到直線y＝x的最短距離為d－r＝2－3＝2－1)．答案3(2－1)6．(20XX年陜西)直角坐標(biāo)系xO