定積分典型例題20例答案(收藏)

n)wn2n)wn2分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間等分解將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為1]nx1xinn2nnnn4n43n+n++n)22n)wnn)wnn)wn0解法2本題也可直接用換元法求解．令22022求f,(x)=．x0djv(x)f(t)dt=f[v(x)]v(x)f[u(x)]u(x)．dxu(x) (2)由于在被積函數(shù)中不是積分變量，xf(x)=jxf(t)t+xf(x)．解對(duì)等式j(luò)x31f(t)d=x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得0故f(x31)=32，令x31=26得x=3，所以f(26)=．1txx9即1為所求．9解－(,0)－(,0)f(x)故為的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)．x=1f(x)例7已知曲線與在點(diǎn)處的切線相同，其中y=f(x)y=g(x)(0,0)33f()f(0)．33f()f(0)．0試求該切線的方程并求極限3．limnf()nny=f(x)y=f(x)y=g(x)(0,0)fgfg(0)．且由兩曲線在處切線斜0率相同知(0,0)ffgearcsinx2x故所求切線方程為．而y=xlimnf()=lim3.n=3f(0)=3nnn30nlim0lim0x該極限屬于0型未定式，可用洛必達(dá)0解limx注=(2).lim12x2=0．x0sinx此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用2t試求正數(shù)a與b，使等式2tx0xbsinx0易見該極限屬于0型的未定式，可用0解x2x=1limx2=1，x01limx2=ax01cosx2，aa=4a=4b=1limf(x)=limsin(sin2x).cosxx0g(x)x03x2+4x3 x03+4xx0x23x0x23故是同階但非等價(jià)的無(wú)窮?。xB．f(x)解x)2將展成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到sint2t03!342則 xxlim=limx0g(x)xx0g(x)x0x3+x4=x0xx02一1202在使用牛頓－萊布尼茲公式時(shí),應(yīng)保證jdx錯(cuò)誤的．錯(cuò)誤的原因則是由于xx6被積函數(shù)1在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無(wú)界.x2例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x+3j1f(t)dt，則00分析本題只需要注意到定積分jbf(x)dx是常數(shù)(為常數(shù))．a(chǎn)a,b解因f(x)連續(xù)，f(x)必可積，從而j1f(t)dt是常數(shù)，記j1f(t)dt=a，則00002220444解xj12x2+xdx=4j1x2dx=4j1x2(11x2)dx=4j1dx4j11x2dx04dx0中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被x解由于jxtf(x2t2)dt=1jxf(x2t2)dt2．02006026jxtf(x2t2)dt=1j0f(u)(du)=1jx2f(u)du，02x220故djxtf(x2t2)dt=d[1jx2f(u)du]=1f(x2).2x=xf(x2)．dx0dx202錯(cuò)解分析 這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求,(x)=djxf(t)dt=f(x)dxaf(t)f(t)分析被0積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)解000例16計(jì)算j1ln(1+x)dx．0(3x)2xxxxxx0，，0=ln1j1(1+1)dx2401+x3x24分析被0積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法．(1)而00000000(2)0將(2)式代入(1)式可得故2分析被0積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法．解0022002022404(1)jxdxjsintdsintjsint.costdt=jsin2tdtintcost將(2)式代入(1)式中得 08j幾[f(x)+f,(x)]cosxdx=2，求f,(0)．0分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解．0