最全大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限和連續(xù)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——最全大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限和連續(xù)第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1函數(shù)

一、主要內(nèi)容㈠函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義:y=f(x),x∈D

定義域:D(f),值域:Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函數(shù):

?1?g(x)x?D2

3.隱函數(shù):F(x,y)=0

4.反函數(shù):y=f(x)→x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:假使函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；則它必定存在反函數(shù)：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1

)=X

且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。㈡函數(shù)的幾何特性

1.函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí),若f(x1)≤f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加()；

若f(x1)≥f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；

若f(x1)＜f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加()；

若f(x1)＞f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()。

2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

3.函數(shù)的周期性：

周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正數(shù)

4.函數(shù)的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))

2.冪函數(shù)：y=xn

,(n為實(shí)數(shù))

3.指數(shù)函數(shù)：y=ax

,(a＞0、a≠1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函數(shù)：y=sinx,y=conx

y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx

6.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)：y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函數(shù):

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)

§1.2極限

一、主要內(nèi)容㈠極限的概念

1.數(shù)列的極限:

limyn??n?A

稱數(shù)列

或稱數(shù)列

?yn??yn??yn?以常數(shù)A為極限;

收斂于A.

定理:若的極限存在

??yn?必定有界.

2.函數(shù)的極限：

⑴當(dāng)

x??時(shí)，f(x)的極限：

limf(x)?A?x?????limf(x)?Ax??limf(x)?A?

x????⑵當(dāng)

x?x0時(shí)，f(x)的極限：

limf(x)?A

x?x0左極限：

x?x0lim?f(x)?A

limf(x)?A?右極限：

x?x0⑶函數(shù)極限存的充要條件：

定理：

x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?Ax?x0x?x0

㈡無(wú)窮大量和無(wú)窮小量

1．無(wú)窮大量：

limf(x)???f(x)為無(wú)窮大量。

x???,

稱在該變化過(guò)程中

X再某個(gè)變化過(guò)程是指：

x???,無(wú)窮小量：

x??,x?x,x?x,x?x0

?0?02．

limf(x)?0f(x)為無(wú)窮小量。

稱在該變化過(guò)程中3．

無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：

1limf(x)?0?lim???,(f(x)?0)定理：f(x)4．

無(wú)窮小量的比較：

lim??0,lim??0

?lim?0⑴若,則稱β是比α較高階的無(wú)窮小量；

??lim?c⑵若（c為常數(shù)），則稱β與α同階的無(wú)窮小量；

?⑶若

?lim?1?，則稱β與α是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：β～α；

⑷若

?lim???,則稱β是比α較低階的無(wú)窮小量。

定理：若：

?1~?1，?2~?2；

則：

lim?1?2?lim?1?2

㈢兩面夾定理1．?dāng)?shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：

設(shè)：

yn?xn?znn??（n=1、2、3…）

limy?limz?ann且：

n??limx?an則：

n??2．函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn)x0除外）有：

g(x)?f(x)?h(x)且：

x?x0limg(x)?limh(x)?Ax?x0

limf(x)?A則：

x?x0

㈣極限的運(yùn)算規(guī)則

若：

limu(x)?A,limv(x)?B

則：①

lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B

②

lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B

u(x)limu(x)Alim??(limv(x)?0)③v(x)limv(x)B推論：①

lim[u1(x)?u2(x)???un(x)]

?limu1(x)?limu2(x)???limun(x)

②

lim[c?u(x)]?c?limu(x)

lim[u(x)]?[limu(x)]nn

③

㈤兩個(gè)重要極限

sin?(x)sinxlim?1lim?11．x?0或?(x)?0?(x)x1xlim(1?)?elim(1?x)?e2．x??x?0x§1.3連續(xù)一、主要內(nèi)容㈠函數(shù)的連續(xù)性

1x1.函數(shù)在

x0處連續(xù)：f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義，

?x?01

o

?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0

2

o

x?x0limf(x)?f(x0)

5.導(dǎo)函數(shù)：

y??f?(x),x?(a,b)

?y

f(x)在(a,b)內(nèi)四處可導(dǎo)。yf?(x0)f(x)6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：

f?(x0)

是曲線

y?f(x)上點(diǎn)?x

0

M?x0,y0?處切線的斜率。oxx㈡求導(dǎo)法則

1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：1o2o

（u?v)??u??v?

（u?v)??u??v?u?v?

u??v?u?v??u????23(v?0)vv??o

?3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]

dydydu?????，或{f[?(x)]}?f[?(x)]??(x)dxdudx{f[?(x)]}?與f?[?(x)]的區(qū)別：

☆注意

{f[?(x)]}?表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x求導(dǎo)；

f?[?(x)]表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量?(x)求導(dǎo)。

f??(x),f???(x),或f(3)4.高階導(dǎo)數(shù)：

(x)

f(n)(x)?[f(n?1)(x)]?,(n?2,3,4?)

函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。㈢微分的概念1.微分：

f(x)在x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，

?y?A(x)??x?o(?x)

其中：

A(x)與?x無(wú)關(guān)，o(?x)是比?x較高

o(?x)lim?0階的無(wú)窮小量，即：?x?0

?x則稱y?f(x)在x處可微，記作：

dy?A(x)?x

dy?A(x)dx(?x?0)

f(x)

在

2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：

定理：

x處可微?f(x)在x處可導(dǎo)，

且：

3.微分形式不變性：

f?(x)?A(x)

dy?f?(u)dudy都具有一致的形式。

不管u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的

微分

§2.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容㈠中值定理

1.羅爾定理:

f(x)滿足條件:

?1在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)至少?2在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);??存在一點(diǎn)?,0?

?3.f(a)?f(b).?使得f(?)?0.yf?(?)f?(?)f(x)f(x)

aoξbxaoξbx

0.0.2.拉格朗日定理：f(x)滿足條件:

1在[a,b]上連續(xù)?，?在一點(diǎn)?，使得：?02在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)?；f(b)?f(a)f?(?)?b?a

0在(a,b)內(nèi)至少存0㈡羅必塔法則：（,0定理：

?型未定式）?f(x)和g(x)滿足條件：

limf(x)?0(或?）1o

limg(x)?0(或?）；

x?ax?a2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

g?(x)?0；

f?(x)3o

x?lima(?)g?(x)?A,（或?）

f(x)f則：x?lima(?)g(x)?x?lim?(x)a(?)g?(x)?A,（或?）

☆注意：1o

法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。

2o

若不滿足法則的條件，不能使用法則。

0?即不是

0型或

?型時(shí)，不可求導(dǎo)。

3o

應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。

4o

若

f?(x)和g?(x)還滿足法則的條件，

可以繼續(xù)使用法則，即：

f(x)f?(x)f??x?lima(?)g(x)?x?lima(?)g?(x)?x?lim(x)a(?)g??(x)?A

5o

若函數(shù)是

0??,???型可采用代數(shù)變

0??00形，化成

0或?型；若是

1,0,?型可

0?采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成

0或?型。

㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．切線方程和法線方程：

設(shè)：

y?f(x),M(x0,y0)

切線方程：

y?y0?f?(x0)(x?x0)

?）（或1y?y0??(x?x0),(f?(x0)?0)法線方程：f?(x0)2．曲線的單調(diào)性：⑴

f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；

f?(x)?0x?(a,b)?f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少；

⑵

f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；

f?(x)?0x?(a,b)?在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少

3.函數(shù)的極值：⑴極值的定義：

設(shè)

f(x)在(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)的一點(diǎn)；

x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)

若對(duì)于

x?x0，都有：

f(x0)?f(x)[或f(x0)?f(x)]則稱

f(x0)f(x)是的一個(gè)極大值（或微小值），

x0f(x)稱為的極大值點(diǎn)（或微小值點(diǎn)）。

⑵極值存在的必要條件：

定理：

1.f(x)存在極值f(x0)??f(x)?0?002.f?(x0)存在。?0

x0

稱為

f(x)的駐點(diǎn)

⑶極值存在的充分條件：定理一：

1.f(x)在x0處連續(xù)；?f(x0)是極值；?02.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；??x0是極值點(diǎn)。0?3.f?(x)過(guò)x0時(shí)變號(hào)。?

0x0f(x)x當(dāng)漸增通過(guò)時(shí)，由（+）變（-）；

則

f(x0)為極大值；

當(dāng)

x漸增通過(guò)

x0時(shí)，

f(x0)f(x)由（-）變（+）

；則為微小值。

定理二：

f(x0)是極值；1.f?(x0)?0；???0x0是極值點(diǎn)。2.f??(x0)存在。?

0若

f??(x0)?0f??(x0)?0，則

f(x0)f(x0)為極大值；

若，則為微小值。

☆注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。

4．曲線的凹向及拐點(diǎn)：

⑴若

f??(x)?0,x??a,b?；則f(x)在(a,b)內(nèi)是上凹的（或凹的）

，（∪）；

f??(x)?0,x??a,b?；則f(x)在(a,b)內(nèi)是下凹的（或凸的），（∩）；

0⑵若

⑶

?x0,f(x0)?稱1.f??(x0)?0，???02.f??(x)過(guò)x0時(shí)變號(hào)。?為f(x)的拐點(diǎn)。

5。曲線的漸近線：

⑴水平漸近線：

若limf(x)?A?y?A是f(x)?x?????或limf(x)?A?的水平漸近線。x????

⑵鉛直漸近線：

若lim?f(x)???x?C是f(x)?x?C??或lim?f(x)???的鉛直漸近線。x?C?

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

§3.1不定積分一、主要內(nèi)容

㈠重要的概念及性質(zhì)：

1．原函數(shù)：設(shè)：

f(x),F(x),x?D

若：

F?(x)?f(x)

f(x)F(x)則稱是的一個(gè)原函數(shù)，

并稱

F(x)?C是f(x)的所有原函數(shù),

其中C是任意常數(shù)。

2．不定積分：

函數(shù)

f(x)的所有原函數(shù)的全體，

f(x)的不定積分；記作：

稱為函數(shù)

?f(x)dx?F(x)?Cf(x)稱為被積函數(shù)；

其中：

f(x)dx稱為被積表達(dá)式；

x稱為積分變量。

?

3.不定積分的性質(zhì)：

⑴

或：

??f(x)dx??f(x)d??f(x)dx??f(x)dx?f?(x)dx?f(x)?C

⑵

或：

?df(x)?f(x)?C12

⑶

?[f(x)?f(x)???f(x)]dx??f(x)dx??f(x)dx????fn

12n(x)dx

—分項(xiàng)積分法

⑷

?kf(x)dx?k?f(x)dxf[?(x)]??(x)dx??(k為非零常數(shù))

4.基本積分公式：

㈡換元積分法：⒈第一換元法：（又稱“湊微元〞法）

?湊微元?f[?(x)]d?(x)

令t??(x)???f(t)dt?F(t)?CF[?(x)]?C

回代t??(x)常用的湊微元函數(shù)有：

??

1o

11dx?d(ax)?d(ax?b)(a,b為常數(shù)，a?0)

aa11m?1m?1xdx?dx?d(ax?b)m?1a(m?1)m2o

（m為常數(shù)）

1xedx?d(e)?d(ae?b)

axxx3o

1xadx?d(a),(a?0,a?1)

lna4o

1dx?d(lnx)x5o

sindx??d(cosx)cosxdx?d(sinx)

secxdx?d(tanx)cscxdx??d(cotx)

11?x222

6

o

dx?d(arcsinx)??d(arccosx)

1dx?d(arctax)n??d(arccotx)2

1?x2.其次換元法：

?f(x)dx??反代t??令x??(t)???f[?(t)]d?(t)

????(t)f[?(t)]dx?F(t)?C

F[?(x)]?C?1?1

(x)

其次換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，

其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：

1o

x?t,n為偶數(shù)時(shí),t?0

nn(當(dāng)被積函數(shù)中有

x時(shí))

?2

2o

x?asint,(或x?acosx),0?t?(當(dāng)被積函數(shù)中有

a?xa?x2222時(shí))

3o

?x?atant,(或x?acott),0?t??,(0?t?)22

2時(shí))

(當(dāng)被積函數(shù)中有

4o

?x?asect,(或x?acsct),0?t??,(0?t?)22

(當(dāng)被積函數(shù)中有

㈢分部積分法：1.分部積分公式：

x?a2時(shí))

?udv?

?u?v??vdu???u?vdx?u?v?u?vdx??

2.分部積分法主要針對(duì)的類型：

⑴

⑵

⑶

⑷

?P(x)sinxdx,?P(x)cosxdx?P(x)edx?P(x)lnxdx?P(x)arcsinxdx,?P(x)arccosxdx

x

⑸

?P(x)arctanxdx,?P(x)arccotxdx?esinbxdx,?ecosbxdxaxax

其中：

P(x)?a0x?a1xnn?1???an（多項(xiàng)式）

3.選u規(guī)律：

⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令

P(x)?u，P(x)?u，

其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多項(xiàng)選擇多〞。

⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令

其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多項(xiàng)選擇多〞。⑶在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)〞。

⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反〞。⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選〞。㈣簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：

lnx?u，

1.有理函數(shù)：

P(x)f(x)?Q(x)

其中

P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式。

P(x)f(x)?21?x2.簡(jiǎn)單有理函數(shù)：

⑴

P(x)f(x)?,1?x

⑵

P(x)f(x)?(x?a)(x?b)

⑶

P(x)f(x)?2(x?a)?b

§3.2定積分f(x)

一．主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)

1.定積分的定義：Oax1x2xi-1ξixixn-1bx

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?x?0i?1n??n?i??xi?1,xi?定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)，y

x軸下方的面積取負(fù)號(hào)。++a0-bx2.定積分存在定理：

設(shè)：y?f(x)x??a,b?

若：f(x)滿足以下條件之一:

1.f(x)連續(xù)，x??a,b?;?2.f(x)在?a,b?上有有限個(gè)第一類休止點(diǎn);

?3.f(x)在?a,b?上單調(diào)有界;則：f(x)在?a,b?上可積。若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：

1與積分變量形式無(wú)關(guān)，即?f(x)dx??f(t)dt;?aabb?a,b?可以任意劃分2?與在?a,b?上的劃分無(wú)關(guān)，即;3與點(diǎn)?i的選取無(wú)關(guān)，即?i可以在xi?1,xi上任意選取。

3.

牛頓——萊布尼茲公式：

???積分值僅與被積函數(shù)f(x)與區(qū)間[a,b]有關(guān)。

若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在?a,b?上的任意一個(gè)原函數(shù)：則：?f(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)a*牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋覓原函數(shù)及計(jì)算差量的問(wèn)題。4.原函數(shù)存在定理：

bba若f(x)連續(xù)，x??a,b?,則：?(x)??f(t)dt,a

xx??a,b?

?(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，且：??(x)?(?f(t)dt)??f(x)ax

5.定積分的性質(zhì)：

設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上可積，則：

1b??bakf(x)dx?k?f(x)dx

aabb

234???af(x)dx???f(x)dx

bb??f(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dx?aaab??aaf(x)dx?0cbac

5??baf(x)??f(x)dx??f(x)dx(a?c?b)

6??ba1dx?b?a

yyyf(x)g(x)1f(x)

0acbx0abx0abx

7f(x)?g(x),(a?x?b)則?f(x)dx??g(x)dxaabb

8估值定理：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab?其中m,M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值。

yyMf(x)f(x)m

0abx0aξbx9積分中值定理：若f(x)連續(xù)x??a,b?,則：必存在一點(diǎn)???a,b?,使?f(x)dx?f(?)?(b?a)a

（二）定積分的計(jì)算：1.換元積分

b

設(shè)f(x)連續(xù)，x?[a,b]，x??(t)

若??(t)連續(xù)，t???,??,

且當(dāng)t從?變到?時(shí)，?(t)單調(diào)地從a變到b,

?(?)?a,?(?)?b,b

???則：f(x)dx?f?(t)??(t)dt??

a??2.

分部積分

3.

?baudv?u?va??vdu

a廣義積分

bb

4.

?????f(x)dx??x0??f(x)dx????0f(x)dx

定積分的導(dǎo)數(shù)公式

?1（f(t)dt)?f(x)x?

a2[?

?(x)af(t)dt]?x?f??(x)????(x)

3[??2(x)?1(x)?(x)?f??1(x)???1?(x)f(t)dt]?x?f??2(x)???2x?a,x?b,(a?b)

(三)定積分的應(yīng)用

1.平面圖形的面積:

1由y?f(x)?0,與x軸所圍成的圖形的面積yf(x)

s??f(x)dx

ab

2由y1?f(x),by2?g(x),(f?g)與x?a,x?b所圍成的圖形的面積

s???f(x)?g(x)?dxa

3由x1??(y),

x2??(y),(???)

與y?c,y?d所圍成的圖形的面積

s????(y)??(y)?dycd

4.求平面圖形面積的步驟：

①.②.③.2.

求出曲線的交點(diǎn)，畫(huà)出草圖；

確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。旋轉(zhuǎn)體的體積

?1曲線y?f(x)?0,與x?a,x?b及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所

得旋轉(zhuǎn)體的體積：

2V??f(x)dxx?

a0abx

b2由曲線x??(y)?0,與y?c,y?d及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：

V???(y)dyy?

c

第四章多元函數(shù)微積分初步§4.1偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：㈠.多元函數(shù)的概念

3.二元函數(shù)的定義：

d2

z?f(x,y)(x,y)?D

定義域：D(f)

4.二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

1在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。

?（點(diǎn)(x0,y0)可除外）x?x0y?y0

2limf(x,y)?A則稱z?f(x,y)在(x0,y0)極限存在，且等于A。

2.

連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：

?1在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。

?2limf(x,y)?f(x0,y0)x?x0y?y0

?則稱z?f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)。

㈢.偏導(dǎo)數(shù)：

定義:f(x,y),在(x0,y0)點(diǎn)

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)fx?(x0,y0)?lim?x?0?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)fy?(x0,y0)?lim?y?0?y

fx?(x0,y0),fy?(x0,y0)分別為函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)。

z?f(x,y)在D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)記為：

?f(x,y)?zfx?(x,y)???z?x

?x?x?f(x,y)?zfy?(x,y)???z?y?y?y㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

若?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)

?A?x?B?y?o(?)

其中，A、B與?x、?y無(wú)關(guān)，o（?）是比

???x??y較高階的無(wú)窮小量。

是z?f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。

3.

全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

22

則:dz?df(x,y)?A?x?B?y

定理：若fx?(x,y),fy?(x,y)連續(xù)，(x,y)?D.

則：z?f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微且

dz?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy

㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.

設(shè)：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)

?z?f?u(x,y),v(x,y)?

?z?z?u?z?v則：?????x?u?x?v?x

?z?z?u?z?v?????y?u?y?v?y2.

設(shè)y?f(u,v),u?u(x),v?v(x)

?y?f[u(x),v(x)]

dy?ydu?ydv????dx?udx?vdx

㈥.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1.

設(shè)F(x,y,z)?0,z?f(x,y),且Fz??0

Fy?Fx??z?z則??,???xFz??yFz?

2.

設(shè)F(x,y)