線性代數(shù)作業(yè)第4次0

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數(shù)作業(yè)第4次0測驗作業(yè)(四)

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1．設向量組?1,?2,?3,?4是線性無關，?1??1??2，?2??2??3，?3??3??4，

?4??4??1，證明：向量組?1,?2,?3,?4線性相關。

解：要證：存在一組不全為零的數(shù)k1、k2、k3、k4，

使得k1?1＋k2?2＋k3?3＋k4?4＝0

k1?1＋k2?2＋k3?3＋k4?4＝0

＜＝＞k1（?1??2）+k2（?2??3）+k3（?3??4）+＜＝＞?1（k1＋k4）+

k4（?4??1）=0

?2（k1＋k2）+?3（k2＋k3）+?4（k3＋k4）=0

又由于向量組?1,?2,?3,?4是線性無關

?k1+k4=0?k1+k2=0?故?＜＝＞存在一組不全為零的數(shù)k1、k2、k3、k4

k2+k3=0???k3+k4=0所以，向量組?1,?2,?3,?4線性相關。

2．設向量組?1,?2,?3,?4線性相關，而?2,?3,?4,?5線性無關，證明：?1能由

?2,?3,?4,?5唯一地線性表示。

解：向量組?1,?2,?3,?4線性相關

＜＝＞存在一組不全為零的數(shù)k1、k2、k3、k4，使得

k1?1＋k2?2＋k3?3＋k4?4＝0（要證k1≠0）

（反證法）假設k1=0

1

上式化為k2?2＋k3?3＋k4?4＝0（k2、k3、k4不全為零）

→?2,?3,?4,?5線性相關與已知條件相矛盾

故假設不成立故k1≠0

所以，?1能由?2,?3,?4,?5線性表示

若??α1=l2α2?l3α3?l4α4?l5α5①

?α1=h2α2?h3α3?h4α4?h5α5②由①－②得：（l2－h(huán)2）?2＋（l3－h(huán)3）?3＋（l4－h(huán)4）?4＋（l5－h(huán)5）?5＝0由于?2,?3,?4,?5線性無關

?l2－h(huán)2=0?l3－h(huán)3=0?故?＜＝＞li=hi(i=2、3、4、5)

?l4－h(huán)4=0??l5－h(huán)5=0所以，其表示法唯一

綜上所述，?1能由?2,?3,?4,?5唯一地線性表示。

????2??1??2?????????3．設向量組?1??3?,?2????,?3??2?,?4??3?的秩為2，求?????的值。

?1??3??1??1?????????311??λ212??1311??1??????0????????解：??????3μ23?→?3μ23?→?0μ?9?1?1311??λ212??02?3λ1?λ2?λ????????13?1?????????????????????→?0??02?3λ?11μ?91?λ?????11?1??13??10?0?→?01?9?μ???3λ?22?λ????009?μ?(1?λ)2?λ????2?λ?0?μ?5?由于r（A）=2→?3λ?2→??

?(1?λ)?0λ?2??9?μ?2

?k??1??1???????4．當k=?時向量組?1??1?,?2??k?,?3???1?,線性相關？

?1???1??k???????k??k11??1?1k??1?1??????解：A??1k?1?→?1k?1?→?0k?1?k?1?

??0k?11?k2??1?1k??k11??????k??1?1k?1?1?????1?1?→?01?1?→?0?0k?11?k2??002?k?k2?????由向量組線性相關→r（A）＜3=2→2?k?k2=0→k=2ork=?1

所以，當k=2or?1時，向量組線性相關。

?1??2??1??3?????????5．求向量組?1??4?,?2???1?,?3???5?,?4???6?的一個最大無關組，并將其

?1???3???4???7?????????余向量用該最大無關組線性表示。

13??1213??1213??12??????解：A=?4?1?5?6?→?0?9?9?18?→?0112?

?1?3?4?7??0?5?5?10??0112????????1213??10?1?1?????01120232→??→???0000??0000?????所以，?1、?2為?1、?2、?3、?4的一個最大無關組。?3=－?1+?2，?4=－?1+2?2

?0??1??1???????6．求由向量組?1??1?,?2??0?,?3??1?所生成的向量空間的一組基，及該向量

?1??1??2???????空間的維數(shù)。

7．設向量組?1,?2,?3,?4線性相關，?4不能由?1,?2,?3線性表示，證明：向量組

?1,?2,?3的秩小于3。

解：設A=(?1?2

?3?4),B=（?1?2?3）

3

向量組?1,?2,?3,?4線性相關→r(A)＜s=4

而?4不能由?1,?2,?3線性表示→r(A)≠r(B)

?1??1??2??v?????????8．設向量組A:?1???1?,?2???2?,?3??u?,及向量b??1?，求u,v的值使得b

?4??5??10???1?????????能由向量組A線性表示。

12ν??112ν??1????ν?1?解：（Ab）=??1?2μ1?→?0?12?μ?4?510?1?2?4ν?1????01?2ν??112ν??11????→?0?1?2?μ?ν?1?→?0?1?2?μ?ν?1??01?2?4ν?1?4?μ?3