電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

電磁場的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.1電磁場物理模型的構(gòu)成理想化假設(shè)實際的電工、電子技術(shù)裝置電路模型(一種具體的物理模型)電路模型：理想電路元件(R、L、C)及其組合理想電壓源、電流源(e,i)分析問題以u，i為基本物理量給定激勵(e,i)求響應(yīng)(u,i)電路分析：第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一電磁場分析：理想化假設(shè)實際電磁裝置中的電磁現(xiàn)象和過程電磁場的物理模型電磁場的物理模型：連續(xù)媒質(zhì)的場空間(,,

及其相應(yīng)的幾何結(jié)構(gòu))理想化的場源(q,i)分析問題以

為基本物理量(場量)給定源量(q,i),求場分布(

)第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一以上電磁場與電路分析的求解過程均可歸結(jié)為(1)給出與所分析的物理模型對應(yīng)的基本規(guī)律性的數(shù)學(xué)描述（泛定方程）及其定解條件，即構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)運用相應(yīng)的分析計算方法；(3)解出數(shù)學(xué)模型中的待求物理量，即得所分析問題的確定解。第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.1.1源量兩類場源（電荷

q、電流

i）

1.電荷

q（Charge）

e=1.60217733×10-19C取決于電荷分布的不同形態(tài)，定義靜態(tài)分布的四種形式：

點電荷分布形式（pointcharge）

（

——源點的位矢）

第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

體電荷密度（volumechargedensity）

面電荷密度（surfacechargedensity）

線電荷密度（linechargedensity）第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.電流i（current）

定義一個與電流相關(guān)的點函數(shù)，作為產(chǎn)生場效應(yīng)的源量，體電流密度(簡稱電流密度)矢量點函數(shù)：方向：正電荷運動的方向

大?。旱?頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.1.2場量對應(yīng)于電場和磁場效應(yīng)的兩個基本場量(、)

1.電場強(qiáng)度

（electricfieldintensity）試體電荷qt>0

(正電荷)試體電荷幾何尺寸很小(“點”特性的描述)試體電荷電量很小，不足以影響所研究的電場分布第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.磁感應(yīng)強(qiáng)度（magneticfieldinduction）(1)洛侖茲力洛侖茲力

定義

方向，由決定第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(2)安培力公式磁場強(qiáng)度

電位移矢量

第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.1.3媒質(zhì)的電磁性能參數(shù)

反映媒質(zhì)在電場作用下的極化性能——介電常數(shù)

(F/m)

反映媒質(zhì)在電場作用下的導(dǎo)電性能——電導(dǎo)率

(1/m=S/m)

反映媒質(zhì)在磁場作用下的磁化性能——磁導(dǎo)率

(H/m)

C

R

L真空（自由空間）中電磁性能的特征參數(shù)

第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一光速第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.2.1標(biāo)量場的梯度GradientofScalarField1.2矢量分析與場論基礎(chǔ)設(shè)一個標(biāo)量函數(shù)(x，y，z)，若函數(shù)

在點

P可微，則

在點

P

沿任意方向

的方向?qū)?shù)為第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一納布拉算子第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一梯度的意義：

標(biāo)量場的梯度是一個矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向。第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例1.1電位場的梯度電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例1.2設(shè)一標(biāo)量點函數(shù)(1)該點函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標(biāo)量場。試求：(2)求該點函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處該方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一[解](1)由梯度定義,可解出待求P點的梯度為第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(2)第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

顯然，梯度描述了P點處標(biāo)量點函數(shù)的最大變化率，即系最大方向?qū)?shù)，故，恒成立。第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.2.2矢量場的通量與散度FluxandDivergenceofVectorField

對于一個矢量場

，通過空間某一曲面的通量為矢量場對該曲面的面積分。

通量：第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：(有正源)(無源)(有負(fù)源)第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

矢量場的散度：(1)有無電荷？(2)在該點的電荷分布的密度

？

第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

將S向P點收縮，即令其所界定的體積V→0（物理無限小），而求穿過該微小表面S的通量與V比值的極限，即數(shù)學(xué)上的處理方法：第24頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一矢量場的散度為一標(biāo)量；

該處線是連續(xù)的

該點有發(fā)出通量線的源（正源）

該點有匯集通量線的匯（負(fù)源）散度起到了檢測通量源的作用；

矢量散度值與所選坐標(biāo)系無關(guān)，但若以該矢量的分量表示該矢量的散度時，則數(shù)學(xué)表達(dá)式將因坐標(biāo)系不同而互異。第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

直角坐標(biāo)系下散度()的表達(dá)式：不失一般性，令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。設(shè)場量

僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)；

表達(dá)式的推導(dǎo)用圖第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

散度定理高斯定理建立了某一空間中的場與包圍該空間的邊界場之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.2.3矢量場的環(huán)量與旋度CirculationandCurlofVectorField矢量場

沿空間有向閉合曲線的線積分。

環(huán)量：

環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一無旋有旋第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

矢量場的旋度：(1)電流是否通過P點所在的微小表面S？(2)在P點上的電流密度有多大？

第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一旋度是一矢量；

旋度的方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿足右螺旋定則，并和獲得最大環(huán)量位置的面元的法線方向()相一致；矢量的旋度值與所選擇的坐標(biāo)系無關(guān)，但若以該矢量的分量形式來表示其旋度時，則數(shù)學(xué)表達(dá)式各異。第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

直角坐標(biāo)系下旋度()的表達(dá)式：設(shè)場量

僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)；為簡便起見，圍繞P點在xOy平面上作一很小的矩形積分回路，如圖所示。

表達(dá)式的推導(dǎo)用圖第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一同理

第36頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

斯托克斯定理建立了場域中某一區(qū)域的場與該區(qū)域邊界上場量之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)換。第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.2.4矢量分析常用的恒等式第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.2.5亥姆霍茲定理

若矢量場在無界空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則該矢量場唯一地由其散度和旋度所確定，且可被表示為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和，即標(biāo)量函數(shù)

矢量函數(shù)第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一其中

是源點()到場點()的距離；積分也對源點坐標(biāo)展開。算子是對源點坐標(biāo)進(jìn)行運算的；定理的內(nèi)涵：矢量場的特性取決于該矢量場的散度和旋度特性；給出了場量與場的散度源和旋度源之間的定量關(guān)系；對特定的電磁場，可分類予以定義，分析各自的規(guī)律性。

第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一分類：(1)無旋場(irrotationalfield)例如靜電場

從而由矢量恒等式

可定義（—電位函數(shù)）

勢量場，或位場(potentialfield)第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(2)無散場(無源場、管量場solenoidalfield)例如恒定電流的磁場第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(3)一般的場例如時變電磁場

第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.3電磁場的數(shù)學(xué)模型——麥克斯韋方程組MathematicalModel數(shù)學(xué)模型——將物理現(xiàn)象的固有特征及其與周圍事物相互間的關(guān)聯(lián)給以數(shù)學(xué)表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

宏觀、大范圍、大尺寸：積分形式小范圍、小尺寸：微分形式第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.3.1麥克斯韋方程組的積分形式1.電場中的高斯定理

數(shù)學(xué)語言的物理意義是，通過任意閉合面S的電位移矢量的通量，恒等于該閉合面所限定體積V內(nèi)自由電荷的代數(shù)和，即面積分中被積函數(shù)應(yīng)在閉合面S（高斯面S）上取值；高斯面上通量為零，并不意味著面上各處=0。第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.磁場中的高斯定理

線（磁力線）是無頭無尾的——磁通連續(xù)性原理

電場的通量線（電場線）有頭有尾磁場的通量線（磁場線）無頭無尾第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.法拉第電磁感應(yīng)定律楞次定律：閉合回路中的感應(yīng)電勢及其所產(chǎn)生的感應(yīng)電流總是企圖阻止磁通的變化。e~

假定正方向滿足右螺旋關(guān)系(1)第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(1)

e的計算

磁場不隨時間變化(恒定磁場)，導(dǎo)電回路相對于磁場有位移，即有“切割磁力線”的效應(yīng)存在——常稱作切割電動勢或發(fā)電機(jī)電動勢。第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一感應(yīng)場強(qiáng)

局外場強(qiáng)

第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)線回路不動，回路內(nèi)磁通隨時間變化，即

=(t)——常稱作變壓器電動勢。第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一以上兩者兼有，即導(dǎo)電回路運動，且，此時，對于感應(yīng)電動勢e，應(yīng)是以上兩種效應(yīng)的迭加。第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一(2)法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣產(chǎn)生電場的場源有兩種：電荷和變化的磁場

麥克斯韋把法拉第電磁感應(yīng)定律推廣到場域中任一假想閉合回路的情況（簡稱為數(shù)學(xué)環(huán)），提出了“渦旋電場”的假設(shè)，即只要與數(shù)學(xué)環(huán)相交鏈的磁通發(fā)生變化，即使沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，但在該回路中的任一點總有感應(yīng)電場存在，因此沿該數(shù)學(xué)環(huán)將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一例1.3電子回旋加速器(

加速器)可作為法拉第電磁感應(yīng)定律物理含義的實驗例證。電子回旋加速器的構(gòu)造原理圖

電子回旋加速器中電磁鐵由正弦電流激勵，在兩磁極中間放置一扁平環(huán)形真空室。該加速器內(nèi)運動電子的加速過程就是在該真空室內(nèi)由變動的磁場所產(chǎn)生的感應(yīng)電場來實現(xiàn)的。[解]第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)電子在真空室中運動是沿著半徑為R的圓周軌道進(jìn)行的。在正弦激磁電流由零到最大值的增長過程中(1/4周期)，磁場也將由零單調(diào)地增加到某一終值。在這一段時間內(nèi)，圓周軌道上呈現(xiàn)感應(yīng)電動勢當(dāng)磁場對圓周軌道中心呈對稱分布時，軌道上任一場點處的感應(yīng)電場強(qiáng)度值第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一電子槍射入的電子e(e<0)受到的沿圓周軌道切向的電場力電子受到的沿圓周軌道內(nèi)法向的磁場力此時，電子即由時變磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電場加速，并在向心的磁場力作用下，沿逆時針方向在圓周軌道上加速環(huán)行。因切向電場力Fe的作用等于切線方向上動量的變化率，即第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)電子射入真空室時，0＝0，且初速度v0遠(yuǎn)小于末速度。在這樣的初始條件下，上式積分得向心的磁場力Fm則被離心力所平衡，即以初始時刻分析，應(yīng)有第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

由此可知，為保證持續(xù)加速、能量不斷累積的電子始終沿著圓周軌道運動，工程設(shè)計要求軌道上各場點處的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須滿足一定條件，即該磁感應(yīng)強(qiáng)度值必須等于軌道所限定面上平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半。這一條件可由加強(qiáng)該面中心部分的磁場來實現(xiàn)。

當(dāng)設(shè)定激磁在1/4周期的時間內(nèi)，加速的電子能量可達(dá)幾億電子伏特(1eV＝1.60219×10-19J)。這時，移出高能電子，使之去轟擊一個“靶”時，即可產(chǎn)生X射線等。這一生動體現(xiàn)了麥克斯韋第二方程物理含義的裝置，被用作核物理研究、工業(yè)探傷和治療癌癥等。第61頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一4.全電流定律(1)位移電流的假設(shè)，即

電場中某點的位移電流密度（）等于該點電位