電磁學(xué)第一章

電磁學(xué)第一章第1頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一Textbook:電磁學(xué)（趙凱華陳熙謀）第2頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一1。電磁學(xué)（王楚等）Referencebooks:2.電磁學(xué)（大學(xué)物理通用教程，陳秉乾等）第3頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一Referencebooks:3.電磁學(xué)（趙凱華等）4.電磁學(xué)千題解（張志翔）5.電磁學(xué)專題研究（陳秉乾等）第4頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一6.電磁學(xué)（張玉民等，科技大學(xué)）7.電磁學(xué)（賈起民等，復(fù)旦大學(xué)）8.UniversityPhysics(盧德馨，南京大學(xué)）第5頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一一、學(xué)習(xí)電磁學(xué)的重要性2.研究化學(xué)、生物學(xué)的重要基礎(chǔ)；3.科學(xué)技術(shù)的理論基石。1.力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、固體物理、半導(dǎo)體物理、光電子學(xué)、激光物理、量子物理、地球物理、天體物理……電化學(xué)、量子化學(xué)、生物電、參量探測……電機(jī)、電器、電氣、通信、雷達(dá)、電腦、電測……主要目標(biāo)：培養(yǎng)正確分析問題解決問題的能力滲透到物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域：第6頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一二、研究內(nèi)容電磁學(xué)主要研究內(nèi)容為：1．電場：靜止電荷周圍存在的一種效應(yīng)，它主要表現(xiàn)為對帶電體有力的作用，這種效應(yīng)就是由電場產(chǎn)生的。2.磁場：在運(yùn)動(dòng)電荷或電流周圍除電場之外存在的另一種場，它表現(xiàn)為對磁鐵或載流導(dǎo)體有力的作用。由此可見電場與磁場都是以力的現(xiàn)象表現(xiàn)的，而力是矢量場，因此電場與磁場都是矢量場。靜電場：當(dāng)電荷的電荷量及其位置均不隨時(shí)間變化時(shí)所產(chǎn)生的場。恒定磁場：由恒定電流所產(chǎn)生的磁場。5.電路：電路是電磁學(xué)的一個(gè)組成部分，電路規(guī)律是電磁場規(guī)律在電路問題上的具體應(yīng)用．第7頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一6．時(shí)變電磁場：電荷及電流均隨時(shí)間改變，它們產(chǎn)生的電場和磁場也是隨時(shí)間變化的，而且時(shí)變的電場和時(shí)變的磁場可以相互轉(zhuǎn)換，兩者不可分割，它們構(gòu)成統(tǒng)一的時(shí)變電磁場。因?yàn)殡姶艌鍪鞘噶繄?，為了研究電磁場特性，?jīng)常應(yīng)用的基本數(shù)學(xué)工具是矢量運(yùn)算及分析。因此我們要掌握矢量分析的主要概念、定理、公式及其應(yīng)用。第8頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一三、學(xué)科特點(diǎn)及相關(guān)知識(shí)1.特點(diǎn)：理論性強(qiáng)概念抽象應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)較多2．相關(guān)知識(shí)：具備大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)的扎實(shí)基礎(chǔ)。第9頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一四、如何學(xué)好電磁學(xué)電磁學(xué)的特點(diǎn)：新概念多，公式多，單位多，定理多。辦法只有一個(gè)：認(rèn)真學(xué)課前認(rèn)真讀書，預(yù)習(xí)。課上認(rèn)真聽講，積極思考。課下認(rèn)真獨(dú)立完成作業(yè)。切實(shí)弄清物理概念；弄清每個(gè)定理，公式的應(yīng)用條件；多思考，提出問題，回答問題，多做練習(xí)。第10頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一§1.1靜電場基本現(xiàn)象和基本規(guī)律§1.2電場、電場強(qiáng)度§1.3靜電場的高斯定理§1.5靜電場中的導(dǎo)體§1.4電勢及其梯度§1.6電容和電容器第一章靜電場第11頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一第一章靜電場靜電場：

相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務(wù)：

闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計(jì)算方法，或者反之。

靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場。靜電場知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第12頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一§1靜電的基本現(xiàn)象和規(guī)律一、電荷1、摩擦起電古代對電荷的研究：古希臘：勒斯的摩擦吸輕物；漢代：磁石引針。物體由于摩擦有了吸引輕小物體的性質(zhì)，它就帶了電，有了電荷，這種帶電叫摩擦起電。2、電荷種類實(shí)驗(yàn)表明，自然界中只存在兩類電荷。正電荷：用絲綢摩擦過的玻璃棒上所帶的電荷稱為正電荷。負(fù)電荷：用毛皮摩擦過的硬橡膠棒所帶的電荷稱為負(fù)電荷。且同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引.物體帶電荷數(shù)量的多少，稱為電量，常用符號(hào)Ｑ表示。在國際單位制（SI）中，電量的單位是庫侖，符號(hào)為Ｃ第13頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3、電荷測量

（1）電量的測量

驗(yàn)電器靜電計(jì)（金屬球）（金屬箔）動(dòng)靜(a)驗(yàn)電器：張開情況可定性(b)靜電計(jì)：弧度刻尺上讀數(shù)，說明電量多少。可用于測量電位。圖1-1電量的測量第14頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（2）電荷正負(fù)判定已帶某種已知電荷張角變大張角變小同性異性圖1-2電荷正負(fù)的判定第15頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一二、靜電感應(yīng)電荷守恒定律1、靜電感應(yīng)

靜電感應(yīng)實(shí)質(zhì)上為電荷轉(zhuǎn)移的過程。(a)（b)(c)(d)

AB

第16頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一粒子的電荷是量子化的(chargequantization)

q=nee=1.60210-19Cn=±1、±2、±3…注：在宏觀電磁現(xiàn)象中電荷的不連續(xù)性表現(xiàn)不出來。1它們的迄今所知，電子是自然界中存在的最小負(fù)電荷，質(zhì)子是最小的正電荷。帶電量都是基本電荷e：e=1.60217733×10-19庫侖(C)庫侖是電量的國際單位。實(shí)際物體所帶電量只能是電子電量的整數(shù)倍。即q=±ne(n=1,2,…)。這稱為電荷的量子性.2.電荷的量子性第17頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3.電荷守恒定律(lawofconservationofcharge)：任何孤立體系的電量，正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變2例：在核裂變中：例：在核裂變中：例：在核裂變中：例：在核裂變中：電荷守恒定律適用于一切宏觀和微觀過程，是物理學(xué)中的普遍基本定律之一。第18頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一三、物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)導(dǎo)體與絕緣體1、物質(zhì)組成與原子結(jié)構(gòu)2、起電的物理解釋摩擦起電——用原子的玻爾模型說明：摩擦引起核外電子運(yùn)動(dòng)速度V變大，克服原子核的束縛而發(fā)生轉(zhuǎn)移。感應(yīng)起電——導(dǎo)體中自由電子在外電場力作用下從物體的一部分轉(zhuǎn)移至另一部分。第19頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3、物質(zhì)按導(dǎo)電性能分類

(1)

導(dǎo)體價(jià)電子—自由電子，晶格，原子實(shí)靜電感應(yīng)(2)絕緣體束縛電荷(自由電子很少)(3)半導(dǎo)體

多數(shù)載流子—電子（n型），空穴（p型）p-n結(jié)第20頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一四.庫侖定律(1)點(diǎn)電荷——理想模型當(dāng)帶電體本身線度比帶電體之間的距離小的多時(shí)，帶電體的形狀、大小、體積對相互作用力的影響可以忽略不計(jì)，這樣的帶電體。它是一種理想化的物理模型。(2)庫侖定律（1785年，庫侖通過扭稱實(shí)驗(yàn)得到）1785年庫侖在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷相互作用力的規(guī)律。庫侖定律表述如下：真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷q1、q2間的相互作用力的方向沿著它們的連線，同性相斥，異性相吸；作用力大小與電量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的平方成反比。第21頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一在真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2之間的相互作用力為：F稱為靜電力或庫侖力其中表示由施力電荷指向受力電荷的單位矢量。比例系數(shù)k由實(shí)驗(yàn)確定：K=9×109（N.m2）/C2比例系數(shù)k由實(shí)驗(yàn)確定：

式中ε0稱為真空電容率或真空介電常數(shù)。庫侖定律是直接從實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的規(guī)律，是靜電場理論的基礎(chǔ)。庫侖定律與牛頓萬有引力定律類似，也不是超距作用。按照現(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)，相互作用是由場以有限速度傳播的。第22頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注：(1)真空、點(diǎn)電荷間作用力。

真空——物理上指沒有原子或分子存在的空間，但并非一無所有；點(diǎn)電荷——當(dāng)帶電體的幾何尺寸遠(yuǎn)小于他們之間的距離時(shí),此帶電體可視為點(diǎn)電荷。（），象質(zhì)點(diǎn)一樣是客觀的抽象，是理想模型（抓住主要方面），具相對意義。(2)

靜止電荷

庫侖定律中的相對觀察者（或?qū)嶒?yàn)室）都處于靜止?fàn)顟B(tài)?？赏茝V之：靜止電荷對運(yùn)動(dòng)電荷的作用力仍滿足庫侖定律，反之不然。例：原子核→電子，吸引力。第23頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一小至的量級(jí)是可靠的。靜電力是萬有引力的倍量級(jí)。庫侖定律的距離平方反比律精度非常之高。若，則實(shí)驗(yàn)測出：(3)庫侖力為有心力，且與距離平方成反比。此雙層信息包含更深層次的含義：(4)庫侖定律是一條實(shí)驗(yàn)定律，是靜電學(xué)的基礎(chǔ)。(5)庫侖定律的適用范圍。第24頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(6)庫侖力滿足牛頓第三定律。

即

(7)若q1、q2在介質(zhì)中，介電常數(shù)=ro；空氣中：o

同號(hào),排斥力q1、q2q1、q2異號(hào),吸引力q1q2q1q2第25頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一五、靜電力的疊加原理

對于多個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在時(shí)，作用在任一個(gè)點(diǎn)電荷上的總靜電力等于其它各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用在該點(diǎn)電荷的靜電力的矢量和。稱為靜電力的疊加原理。對于由n個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、…、qn，根據(jù)疊加原理，它們作用在另一點(diǎn)電荷q0上的靜電力的合力為：：為由qi點(diǎn)電荷指向q0點(diǎn)電荷的單位矢量。１．電荷分立分布第26頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一6例如：邊長為的正方形頂點(diǎn)置四個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷，如圖1-5所示，求任一點(diǎn)電荷q所受的合力。

經(jīng)分析可知,q所受合力為圖示中三力之矢量和。

-qqaa-qqdqq0

圖１－５圖１－６第27頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2、電荷連續(xù)分布

其中各量含義參見圖1-6。若電荷連續(xù)分布于帶電體中，可將帶電體分成若干電荷元dq，則dq與q0間的靜電力：則整個(gè)帶電體對q0的作用力為：其中Ω指整個(gè)帶電體

３、體密度、面密度和線密度

當(dāng)電荷連續(xù)分布于一定體積內(nèi)時(shí)，在帶電體中某點(diǎn)周圍取一小體元dv，帶有電量dq，定義電荷的體密度為：(為標(biāo)量點(diǎn)函數(shù))

若某區(qū)域中各點(diǎn)的體密度相等，就說電荷在該區(qū)域是均勻分布的。第28頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一⑵、面密度若電荷連續(xù)分布于一定的曲面積上，在曲面上某點(diǎn)周圍取一小面元ds所含電量為dq定義電荷的面密度為：

(為標(biāo)量點(diǎn)函數(shù))若某區(qū)域中各點(diǎn)的面密度相等，就說電荷在該區(qū)域是均勻分布的。⑶、線密度若電荷連續(xù)分布于一棒上，而棒的橫截面的線度遠(yuǎn)小于棒上任一點(diǎn)到所研究的場點(diǎn)的距離時(shí)，可將棒看成一理想的帶電線，仿照電荷的體密度定義方法，定義電荷線密度：

(為標(biāo)量點(diǎn)函數(shù))若某區(qū)域中各點(diǎn)的面密度相等，就說電荷在該區(qū)域是均勻分布的。第29頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)（1）電荷是物質(zhì)的一種屬性：同性相斥，異性相吸，電荷守恒，量子化。

（2）庫侖定律電力疊加原理是靜止電荷相互作用的基本定律第30頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一§2靜電場、電場強(qiáng)度一、電場

庫侖定律給出了兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力，但并未說明作用的傳遞途徑，下面給予分析。

庫侖力如何傳遞？兩種觀點(diǎn)近距作用:認(rèn)為電荷周圍存在一種特殊的物質(zhì)稱為電場。認(rèn)為凡是有電荷的地方，電荷就在其周圍激發(fā)電場，而處于電場中的電荷都會(huì)受到電場給它的作用力。這種觀點(diǎn)被證明是正確的。即：超距作用:靜電力的傳遞既不需要中間媒質(zhì)，也不需要時(shí)間，從一個(gè)帶電體可直達(dá)另一個(gè)帶電體。后被證明是錯(cuò)誤的。

第31頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一近代物理學(xué)的發(fā)展證明，近距作用觀點(diǎn)是正確的，這個(gè)傳遞電力的中間媒介不是“以太”，而是靠電場以有限速度傳遞（磁力通過磁場），這個(gè)有限速度在真空中即光速：。2、場的概念在力學(xué)中已學(xué)過萬有引力場、重力場、彈性力場等，這里談電場。凡是有電荷的地方，圍繞電荷周圍空間即存在電場，即電荷在其周圍空間激發(fā)電場，且電場對處在其中的其它電荷施加力的作用。該作用僅由該電荷所在處的電場決定，與其它地方的電場無關(guān)，表明電力作用方式：第32頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一電荷q1F21電場電荷q2F12[說明]庫侖力不是超距力場是物質(zhì)存在的一種形式物質(zhì)性表現(xiàn)為具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量等靜電場對外表現(xiàn)有以下重要性質(zhì)：引入電場的任何帶電體都受電場作用力——電場力；帶電體在電場中移動(dòng)時(shí)，電場力對帶電體做功。第33頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一二、電場強(qiáng)度

運(yùn)用電場的重要性質(zhì)——對置于其中的電荷施力作用來定義場強(qiáng)，且用該電荷作為研究和檢測電場的工具，此電荷稱為試探電荷，而激發(fā)電場的電荷稱為場源電荷。如圖1-７，場點(diǎn)置試探電荷q0，檢測由場源區(qū)Q在場點(diǎn)P處之場的強(qiáng)弱（大小，方向）。rq0PQ圖１－７第34頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一1、試探電荷滿足條件：(1)電荷q0的電量應(yīng)足夠小，以致對場源電荷影響?。?/p>

(2)電荷q0的尺度應(yīng)盡可能小，以致精確定位于場點(diǎn)處。2、場強(qiáng)用庫侖力描述場是不合適的，但用力定義場是恰當(dāng)?shù)?，分析如下：場?nèi)任一確定點(diǎn)，試探電荷q0所受的電力與q0的大小有關(guān)，即電力由電場與試探電荷q0雙方共同決定，反映了兩方面因素，用此力描述場不能確切地反映場本身的屬性。

第35頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一３．電場強(qiáng)度將試探電荷q0放在靜電場中，它所受到的電場力，則與試探電荷電量之比稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度。注意：①電場強(qiáng)度反映了電場本身的性質(zhì)與有無試探電荷無關(guān)。②電場強(qiáng)度是一個(gè)矢量，它的大小等于單位電荷在該點(diǎn)所受電場力的大小，它的方向規(guī)定為正電荷在該點(diǎn)所受電場力的方向。且為矢量點(diǎn)函數(shù)。③電場強(qiáng)度的單位是伏每米，符號(hào)為V/m，也可用牛每庫，符號(hào)為N/C，而且１V/m=1N/C④點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度：在真空中，將點(diǎn)電荷Ｑ置于空間某點(diǎn)，將試探電荷q0置于場中一點(diǎn)Ｐ，則Ｐ點(diǎn)的電場強(qiáng)度為第36頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一E的大小只與距離r有關(guān)，所以在以Q為中心的每個(gè)球面上場強(qiáng)的大小相等。通常說，這樣的電場是球?qū)ΨQ的。⑤若電場中各點(diǎn)場強(qiáng)大小、方向都相同的電場稱為均勻電場。第37頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)E的計(jì)算：1)帶電粒子的電場+xyzqqoP求一帶電位于原點(diǎn)處的粒子的電場E。q在任意點(diǎn)P放入一點(diǎn)電荷qo根據(jù)庫侖定律受力：qoP點(diǎn)處的場強(qiáng)：>0q<0q

電場分布特點(diǎn)：1o的方向，處處是以q為中心的矢徑方向（或反方向）。E+q9第38頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一z+xyqqoP2o

q一定時(shí)，的大小只與r有關(guān)。在相同r的球面上大小相等。EE3o

rE4o電場中每一點(diǎn)都對應(yīng)有一個(gè)矢量E，這些矢量的總體構(gòu)成一個(gè)矢量場因此在研究電場時(shí)，不是只著眼于個(gè)別地方的場強(qiáng)，而是求它與空間坐標(biāo)的函數(shù)。P點(diǎn)處的場強(qiáng)：10第39頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一6o強(qiáng)調(diào)指出：并非與q0成反比，而是無關(guān)；此外不要受q0符號(hào)書寫上的影響，不能見到q0即認(rèn)定為試探電荷；場的概念至關(guān)重要，應(yīng)牢固建立，它是電磁學(xué)整體知識(shí)之基礎(chǔ)。5o點(diǎn)電荷之場

表明：點(diǎn)電荷的電場在空間上具有球?qū)ΨQ性分布。

第40頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一三、場強(qiáng)疊加原理1、疊加原理內(nèi)容設(shè)n個(gè)點(diǎn)電荷共同在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場為，P點(diǎn)置檢驗(yàn)電荷q0，據(jù)電場力疊加原理：由場強(qiáng)定義式可得合成電場為:即，一組點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的合場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)之矢量和。第41頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注意：若電荷連續(xù)分布則其中Ω指整個(gè)帶電體第42頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一下面對dq及幾何元的取法給予說明：

(1)電荷元dq的取法電荷連續(xù)分布，引用電荷密度描述（均以體分布為基礎(chǔ)）：

均是標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)。帶電面、帶電線均為理想模型，注意其滿足的適用條件。第43頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一則體電荷，面電荷和線電荷分布產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為：第44頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一四.場強(qiáng)的計(jì)算場強(qiáng)的定義；庫侖定律；場強(qiáng)疊加原理。依據(jù)：電荷系的場：點(diǎn)電荷的場：連續(xù)帶電體的場：第45頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)幾何元的取法：

在解決實(shí)際問題的計(jì)算中，要注意選用合適的坐標(biāo)系，會(huì)給計(jì)算帶來方便。例如：①球坐標(biāo)系——（）（為立體角）第46頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一②柱坐標(biāo)系——（）第47頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一③直角坐標(biāo)系——（）第48頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)用特例：如圖1-9中常見帶電體dq的取法：(a)帶電直線：(b)帶電圓環(huán)：(c)帶電圓盤或面：對于均勻帶電或分布，可取圓環(huán)帶上帶電。(d)帶電球體：第49頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一

對于均勻帶電或分布，可取球殼帶電元為：

帶電球面：Zz0

dq=λdzdq=Rdθλ

R0x

dθ⌒(a)帶電直線(b)帶電圓環(huán)

第50頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一環(huán)帶dq=2πrdrσ0xrR(c)帶電圓盤（面）(d)帶電球體、球面

第51頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例1.求點(diǎn)電荷系在空間任一點(diǎn)P處的電場。q1、

q2、…qkq1q2qk.Pqo解：設(shè)P點(diǎn)放一點(diǎn)電荷qo由電力疊加原理：P點(diǎn)的電場即：電場中一點(diǎn)的場強(qiáng)

=各點(diǎn)電荷在該點(diǎn)各自產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和qo受合力：場強(qiáng)疊加原理11第52頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例2.求電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。電偶極子：相隔一定距離的等量異號(hào)點(diǎn)電荷結(jié)構(gòu)。:表示負(fù)電荷到正電荷的矢量線段?！娕紭O矩pE-E+xyE解：p點(diǎn)的場強(qiáng)在p點(diǎn)取坐標(biāo)系：則：E=Ex顯然Ey=0E=r+q-q=–2E+cos12第53頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一E與r3成反比，比點(diǎn)電荷電場遞減的快。E

E在遠(yuǎn)處不變。是描述電偶極子屬性的物理量。pE-E+xyEr+q-q討論當(dāng)12同理，可得電偶極子軸線的延長線上的電場：13第54頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2)任意帶電體的電場E的計(jì)算P.r所有產(chǎn)生的電場：在任意點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場為：對連續(xù)分布的帶電體，可將其無限劃分成許多電荷元組成。14第55頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例3.求均勻帶電細(xì)棒中垂面上電場分布。.P已知：棒長L，線電荷密度解：設(shè)坐標(biāo)系，oy考慮對稱性將細(xì)棒分成一對對線元x顯然：方向沿X軸可見：當(dāng)L(或L>>X),則：方向沿徑向向外（或向內(nèi)）柱對稱電場-15第56頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例4.求一均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度E=？解：在圓環(huán)上任取電荷元由對稱性知垂直x軸的場強(qiáng)為0P已知：圓環(huán)半徑為R，帶電量為Q。xyzo若：→點(diǎn)電荷18第57頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2、受力的計(jì)算。

基礎(chǔ)公式：。例1：電偶極子在均勻電場中所受的力和力矩。第58頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（1）合力：，（2）合力矩：對0點(diǎn)產(chǎn)生的力矩為寫成矢量式為：。綜上可知在均勻電場中，電偶極子的運(yùn)動(dòng)行為是：只轉(zhuǎn)動(dòng)、不平動(dòng)。（若場非均勻，則會(huì)發(fā)生平動(dòng)）。第59頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例2：研究示波器中電子的電偏轉(zhuǎn)。質(zhì)量為m、電量為e的電子以初速v0進(jìn)入極板間均勻電場為的電場中，則參數(shù)方程為消去t后得軌跡方程為：第60頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一由圖中其余幾何尺寸，可求得屏上偏轉(zhuǎn)距,其中，段為拋物線、段為直線。第61頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一

§3高斯定理１．電場線

為了形象地描述電場分布，在電場中作出許多有方向的曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的場強(qiáng)方向一致，通常稱這些曲線為電場線或電力線。為了既能表示場強(qiáng)的方向，又能表示場強(qiáng)的大小，在畫電場線時(shí)作如下規(guī)定：使穿過垂直于場強(qiáng)方向的面元△S⊥的電場線條數(shù)ΔN與該面元的比值與該面元上的場強(qiáng)大小成正比。即：①、電場線是假想曲線，電場中實(shí)際并不存在。且其疏密程度反映了場強(qiáng)大小的分布情況。電力線可以借助一些實(shí)驗(yàn)方法顯示出來。２．靜電場的電場線有如下性質(zhì)：第62頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一②、電場線起自正電荷（或無窮遠(yuǎn)處），終于負(fù)電荷（無窮遠(yuǎn)處）。在無電荷處電場線不會(huì)中斷。③、任何兩條電場線在無電荷處不會(huì)相交且電場線不形成閉合曲線。④若帶電體中正、負(fù)電荷一樣多，則由正電荷出發(fā)的全部電力線都集中到負(fù)電荷上去。第63頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充：立體角的概念平面角：由一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線之間的夾角為半徑的弧長取一般的定義：線段元對某點(diǎn)所張的平面角單位：弧度第64頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一平面角立體角面元dS對某點(diǎn)所張的立體角：錐體的“頂角”對比平面角，取半徑為球面面元定義式單位球面度第65頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一計(jì)算閉合平面曲線對曲線內(nèi)一點(diǎn)所張的平面角弧度平面計(jì)算閉合曲面對面內(nèi)一點(diǎn)所張的立體角球面度第66頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3.電通量定義：通過電場中任一給定面的電力線總根數(shù)，就是該面的電通量，通常用E表示。20穿過面元ΔS的電通量穿過有限大曲面S的電通量

e電通量S注意：①電通量為一標(biāo)量，有正有負(fù)，與所選的法線方向有關(guān)。對閉合曲面，通常規(guī)定自內(nèi)向外為面元法線的正方向。所以如果電場線從曲面之內(nèi)向外穿出，則電通量為正，反之，如果電場線從外部穿入曲面，則電通量為負(fù)。②電通量不是點(diǎn)函數(shù)而是面函數(shù)。③通過閉合曲面的電通量：第67頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一表示凈穿出閉合面的電力線的總根數(shù)。2o引入電力線，只是為了形象理解電場E，實(shí)際上E是連續(xù)分布于空間。注：1o21A點(diǎn),<900,e為正(出)；B點(diǎn),>900,e為負(fù)(入)?！炯s定】：閉面外法線為正，則【例如】：（參見圖）閉面的電通量線穿出閉面通量為正；線穿入閉面通量為負(fù)。第68頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（１）穿過以點(diǎn)電荷q為中心的球面的電通量如圖1.16,設(shè)球面S的半徑為r，S

面上各處首先討論穿過閉合曲面的通量。穿過閉面S

的通量等于閉面包圍的電荷除以ε0處處沿S面法向，即圖1.16穿過以q為中心的球面的電通量+qS2、點(diǎn)電荷場中電通量示例

第69頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（２）穿過包圍點(diǎn)電荷q任意閉面的電通量在閉面S內(nèi)作一以q為中心的任意半徑的球面S”，見圖1.17。由（1）的結(jié)論可知，穿過S”

的電通量為q/ε0，元立體角dΩ內(nèi)的電通量為將dΩ錐面延長，在閉面S上截出一面元dSdS’dS”S”Sq圖1.17穿過包圍q的任意閉面的電通量dS設(shè)dS與q距離r，與

的夾角θ，則穿過dS的電通量而故則穿過閉面S

的通量等于閉面包圍的電荷除以ε0同樣，同S”處第70頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（３）穿過不包圍點(diǎn)電荷任意閉面的電通量q圖1.18穿過不包圍q的任意閉面的電通量由得則穿過閉面S

的通量等于閉面包圍的電荷除以ε0仍然，同上方法，如圖1.18，第71頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一綜上（４）穿過包圍多個(gè)點(diǎn)電荷閉面的電通量設(shè)閉面包圍n

個(gè)點(diǎn)電荷閉面上處處有法向分量或即則或穿過閉面S

的通量等于閉面包圍的電荷的代數(shù)和除以ε0第72頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一[說明](1)電場對任曲面的ΦE在數(shù)值上等于通過該曲面電力線的條數(shù)。(a)(b)第73頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)ΦE的有效性相當(dāng)于只一次穿過閉合面；第74頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3.真空中靜電場的高斯定理——靜電場的基本規(guī)律之一此定理是用電通量表示的電場與場源電荷關(guān)系的規(guī)律。(1)高斯定理：若S內(nèi)的電荷是連續(xù)分布：即：22靜電場中穿過任一閉面的通量等于閉面內(nèi)電荷的代數(shù)和除以真空的介電常數(shù)ε0第75頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一由格林公式可得——的散度第76頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一1、單個(gè)點(diǎn)電荷情況2、多個(gè)點(diǎn)電荷情況設(shè)空間有一組點(diǎn)電荷，則任一點(diǎn)的場為：

（場疊加原理）高斯定理概括：第77頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一又令一任意形狀的閉曲面S包圍電荷

而另外電荷在S之外。則第78頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一即分立電荷時(shí)，有3、電荷連續(xù)分布情況上述即高斯定理的數(shù)學(xué)表述。第79頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一它表明：通過任一閉合曲面S的電通量ΦE等于該閉合曲面所圍所有電荷電量的代數(shù)和除以ε0,與閉合曲面外的電荷無關(guān)。4、高斯定理的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)與說明(1)高斯定理是靜電場基本定理之一，反映了靜電場是有源場。(2)高斯定理給出了場與場源q間的一種聯(lián)系，這種聯(lián)系非直接。若=0，則ΦE=0，但不意味著S面上處處=0。僅指S內(nèi)電荷電量的代數(shù)和（可正、可負(fù)），而則指空間所有電荷激發(fā)場之合貢獻(xiàn)。第80頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一第81頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(3)一般地，不能用此求得每個(gè)場點(diǎn)的場強(qiáng)，僅當(dāng)電荷分布乃至場分布具有某種對稱性時(shí)，才能僅用此求得場。但求不出時(shí)切不可誤作該定理不成立。(4)高斯定理是從庫侖定律導(dǎo)出的，因而，此定理正確與否，是證明庫侖定律正確性的一種間接方法。(5)認(rèn)為高斯定理與庫侖定律完全等價(jià)或從高斯定理出發(fā)可導(dǎo)出庫侖定律的看法是欠妥的，庫侖定律比高斯定理包含更多信息。第82頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一【討論】：靜電場是有源場； （有勢場，保守力場，無旋場）電力線的連續(xù)性； （起始于正電荷，終止于負(fù)電荷； 不中斷，不閉合）兩電力線不相交； （電力管，密度與場強(qiáng)對應(yīng)）應(yīng)用：求解電場。 （詳見下一部分）第83頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一四、高斯定理的應(yīng)用

1、應(yīng)用高斯定理說明電力線的性質(zhì)。(1)說明電力線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。(2)說明電力線的疏密與大小的關(guān)系。2、解題示例(1)電荷分布乃至場分布具有一定對稱性時(shí)，可用此定理求空間的場分布。(2)選擇高斯面時(shí)，必須讓待求點(diǎn)在高斯面上，且能夠簡單求解該點(diǎn)的電場強(qiáng)度與高斯面的法線之間的夾角(一般是平行或垂直關(guān)系)——用高斯定理求解E只限于十分特殊而簡單情況第84頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一③計(jì)算；④計(jì)算；⑤應(yīng)用定理求的大小，結(jié)合方向得出。(2)解題步驟①分析場的對稱性，明確的方向；②選取合適的高斯面；(3)典型問題：已知電荷分布第85頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一常見應(yīng)用高斯定理求解的問題球?qū)ΨQ問題選擇與帶電球體、球面、球殼同心的球面為高斯面待求點(diǎn)應(yīng)選在高斯面上平面對稱問題選擇與帶電平面垂直的圓柱面為高斯面待求點(diǎn)應(yīng)選在高斯面上柱面對稱問題選擇與帶電柱面同軸的柱面為高斯面R第86頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)用高斯定理求E例1.用高斯定理求點(diǎn)電荷q的電場E。qr解：分析可知q的場是以其為中心的球?qū)ΨQ的，取以q為中心的球面為S面，S則：又：方向?yàn)閞.p利用上面的結(jié)論導(dǎo)出庫侖定律24第87頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一將電荷q'放在r處，則q'受力為：——庫侖定律1o兩定律以不同形式表示場源電荷與電場關(guān)系的同一客觀規(guī)律。2o兩者在反映靜電場性質(zhì)是等價(jià)的，但對運(yùn)動(dòng)電荷庫侖定律不成立。已求得點(diǎn)電荷的電場為：注：qrq'定義：E是單位正電荷受的力。導(dǎo)出庫侖定律：庫侖定律：已知q求E高斯定理：當(dāng)q對稱分布時(shí)求E。25第88頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例2.求均勻帶電球面的電場分布。設(shè)半徑為R，電量為+q。.pdqdEdE'dq'R解：取以r為半徑的同心高斯球面So方向?yàn)閞rrEoR26第89頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例3.求均勻帶電球的電場分布。設(shè)半徑為R，電量為+q。.pdqdEdE'dq'R解：取以r為半徑的同心高斯球面So方向?yàn)閞rrEoR方向?yàn)閞從例2、例3可見點(diǎn)電荷的電場在r0時(shí)，E27第90頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例4.用高斯定理求均勻帶電的無限長圓柱棒的電場分布,已知線電荷密度。解：取以棒為軸，r為半徑，高為h的高斯柱面。通過該面的電通量：00hr第91頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一[拓寬知識(shí)]半徑為R的均勻帶電體密度為ρ的長圓柱體。半徑為R的均勻帶電面密度為σ的長圓柱面。第92頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一[拓寬知識(shí)]厚度為2d、均勻帶電體密度為ρ的無限大平板，如圖1-25(a)。(3)組合無限大均勻帶電的平面，示例與說明見圖1-25(b)、(c)。(4)均勻帶電橢球體。橢球體內(nèi)、外場點(diǎn)處的場不能由上述高斯定理求出，但不意味著該定理不成立。 第93頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一圖1-25第94頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)高斯定理例解題步驟：（1）分析電場是否具有對稱性。（2）取合適的高斯面(封閉面)，即取在E相等的曲面上。（3）E相等的面不構(gòu)成閉合面時(shí)，另選法線的面，使其成為閉合面。（4）分別求出，從而求得E。29第95頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例5.一半徑為R、電荷密度為的均勻帶電球內(nèi)有一半徑為r的空腔，證明空腔內(nèi)為均勻電場。證明：取以r'為半徑，o'為心的高斯球面用高斯定理：E為均勻電場。Roro'30第96頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一證明：過空腔內(nèi)任一點(diǎn)P，作以r`為半徑,o為球心的高斯球面。.P用高斯定理：Roro'.P過空腔內(nèi)任一點(diǎn)P，作以r''為半徑，o'為心的高斯球面。同理可得在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場：P點(diǎn)的合場強(qiáng)：即腔內(nèi)為均勻電場！設(shè)想空腔內(nèi)充有+和的電荷，所有+構(gòu)成一完整的帶電球，31第97頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一§4電位及其梯度1.電場力的功⑴、點(diǎn)電荷電場的功在點(diǎn)電荷Ｑ所形成的電場中，將一試探電荷q0

從Ａ移到Ｂ點(diǎn)，當(dāng)試探電荷q0移動(dòng)dl時(shí)，電場力所做的功為：則q0由Ａ移到Ｂ時(shí)電場力所做的功為：由上式可見，電荷在點(diǎn)電荷的電場中移動(dòng)時(shí)，電場力所做的功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。⑵、任何靜電場的功設(shè)電場由q1、q2

、…、qnn個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的，電荷q0由Ａ點(diǎn)移動(dòng)到Ｂ點(diǎn)，電場力所做的功為：第98頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)點(diǎn)電荷的靜電場所做的功的特點(diǎn)，上式中的每一項(xiàng)皆與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。結(jié)論：靜電力所做的功只決定于初、末位置，與路徑無關(guān)。故靜電力為保守力，靜電場為有勢場。二、靜電場的環(huán)路定理靜電場強(qiáng)沿任一閉合路徑Ｌ的環(huán)路積分恒為零。即

證明：將試探電荷從Ａ點(diǎn)沿閉合回路Ｌ逆時(shí)針移動(dòng)一周，則靜電場力所做的功：由于電場力做功與路徑無關(guān)，故有：第99頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一因而有：證明完畢。利用它用反證法可以證明“電力線是不閉合的的性質(zhì)”。靜電場的高斯定理反映了靜電場的有源性，源頭就是激發(fā)靜電場的正負(fù)電荷；環(huán)路定理反映了靜電場為勢場，即靜電場的有勢無旋性。只有把它們結(jié)合起來才能全面描述靜電場的性質(zhì)。三、電勢和電勢差⑴、電勢能由于靜電場是保守力場，所以可引入電勢能概念。系統(tǒng)中保守內(nèi)力所做的功，數(shù)量上等于相對勢能增量的負(fù)值。當(dāng)試探電荷q0從靜電場中某一位置Ａ移到另一位置Ｂ時(shí)，電場力的功和電勢能的關(guān)系可表示為：其中WA

和WB

分別表示q0在位置Ａ和位置Ｂ處的電勢能。其中WA和WB分別表示q0在位置Ａ和位置Ｂ處的電勢能。第100頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一37注意：①電勢能也是一個(gè)相對量。它與零電勢能的選取有關(guān)。故是一點(diǎn)函數(shù)。②如選擇Ｂ點(diǎn)電勢能為零，B為參考點(diǎn)。即WB=0，則有：

通常，多取無窮遠(yuǎn)處電勢能為零或大地的電勢能為零，則q0電場中某點(diǎn)Ａ的電勢能為③將q0從Ａ點(diǎn)移到參考點(diǎn)時(shí)電場力的功等于該點(diǎn)相對參考點(diǎn)的電勢能。⑵、電勢電荷在電場中某點(diǎn)Ａ的電勢能與它的電量的比值，稱為該點(diǎn)的電勢，用符號(hào)φ表示。第101頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注意：①靜電場中某點(diǎn)的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)所具有的電勢能；或者把單位正電荷從該點(diǎn)移到零參考點(diǎn)的過程中電場力所作的功。②電勢是一個(gè)標(biāo)量、點(diǎn)函數(shù)、且與參考點(diǎn)的選取有關(guān)。一般常取無窮遠(yuǎn)處電勢為零或取地球的電勢為零。③單位為伏特（V）1V=1J/1C④在電場中，沿著電場線的方向，電勢將逐漸降低，同一電場線上，無電勢相同的兩個(gè)點(diǎn)。⑶、電勢差電場中兩點(diǎn)電勢之差稱為兩點(diǎn)間的電勢差（亦稱為兩點(diǎn)間的電壓），用符號(hào)Ｕ表示。則電場中Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的電勢差為：第102頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注意：①A、B間的電壓在數(shù)值上等于把單位正電荷從Ａ移到Ｂ點(diǎn)的過程中電場力所作的功?？梢婋妱莶畹拇笮∨c電勢零點(diǎn)的選取無關(guān)。若將電荷Q從A點(diǎn)移到B點(diǎn)電場力作的功為：

A=QU=Q（φA

–φB）②對一點(diǎn)談電勢，對兩點(diǎn)談電勢差。③點(diǎn)電荷的電勢：④電勢是標(biāo)量，有正負(fù)、高低之分。

⑤某點(diǎn)電勢的正負(fù)與該點(diǎn)電勢能的正負(fù)不一定相同。

結(jié)論：負(fù)場源電荷之場中遠(yuǎn)點(diǎn)電勢高(VP﹤0)正場源電荷之場中近點(diǎn)電勢高(VP﹥0)電勢高低第103頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一電勢零點(diǎn)的選?。弘姾煞植荚谟邢蘅臻g，取無窮遠(yuǎn)為U=0點(diǎn)。電荷分布在無限空間，取有限遠(yuǎn)點(diǎn)為U=0點(diǎn)。一般工程上，選大地或設(shè)備外殼為U=0點(diǎn)。電勢能高低

第104頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(4)電勢能和電勢的單位：在SI制中：電勢能——焦耳（J）電勢———伏特（V）(5)說明：（1）區(qū)別電勢與電勢能空間某點(diǎn)的電勢與試探電荷無關(guān)，反映電場本身的性質(zhì)；電勢能則與場中某點(diǎn)的大小及正、負(fù)有關(guān)，為場及試探電荷所共有。第105頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一（2）推論:正場源電荷的場中，近電荷處高；負(fù)場源電荷的情況則反之。ii)正電荷在電場力作用下從高電勢點(diǎn)移向低電勢點(diǎn)；負(fù)電荷則相反。iii)沿電力線方向電勢逐點(diǎn)降低。第106頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例13.在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電子在電場中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在1000v的電壓中加速，求電子獲得的速度。解：電場力作功由動(dòng)能定理:若電子經(jīng)過U=1v的電場：40第107頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，則由積分可知各點(diǎn)電勢將為無限大而失去意義。此時(shí)，我們可以選取某一距帶電直導(dǎo)線為的點(diǎn)為電勢零點(diǎn)，則距帶電直線為的點(diǎn)的電勢：例14、求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布已知場強(qiáng)為：方向垂直于帶電直線。電荷線密度由此例看出，當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢零點(diǎn)不能再選在無窮遠(yuǎn)處。第108頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2.電勢的計(jì)算(1)用定義法求U例15.真空中一半徑為R的球面，均勻帶電Q，求帶電球所在空間任意一點(diǎn)P的電位U=？解：由高斯定理已求得電場分布：設(shè)r，U=0P點(diǎn)處在球外r>R：P點(diǎn)處在球內(nèi)r<RE=0U=00R41第109頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一帶電球面的電勢分布：1o球內(nèi)電勢處處相等，均為：2o球面處U是連續(xù)。與電場分布比較：球內(nèi)E=0，是球面上各點(diǎn)電荷在球內(nèi)的場強(qiáng)迭加為0。球內(nèi)U0，是將單位正電荷從球內(nèi)移到無窮遠(yuǎn)電場力作功A0。RrEoR注：結(jié)論：42第110頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例15.半徑為R的無限長帶電圓柱，電荷體密度為，求離軸為r處的U=？R.pr解：由高斯定理求得各處的電場設(shè)r,U=0<0>0r=0處，U=Umax=設(shè)r=R處，U=043第111頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)用疊加法求U1）一個(gè)點(diǎn)電荷的電位：點(diǎn)電荷系的電位：在點(diǎn)電荷系的電場中任意點(diǎn).PP處的電位電勢疊加原理44第112頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2）連續(xù)帶電體的電位：+q.P取電荷元，其在任意點(diǎn)P處的電勢：rp電勢是標(biāo)量，積分是標(biāo)量迭加。

電勢迭加比電場迭加要簡便。注：整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)P處的電勢：45第113頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例16.點(diǎn)電荷q1=q2=q3=q4=410-9C,放置在一正方形的的四個(gè)頂角上，各頂角距中心5cm.求：(1)中心o點(diǎn)的電位,(2)將qo=110-9C從無窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場力作的功。o解：(1)各點(diǎn)電荷在o點(diǎn)處的電勢(2)由定義可知：將單位正電荷從無窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場力作的功為A=–Uo。將電荷qo從無窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場力作的功為：A=–qoUo=–28.810-11

J46第114頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例17.計(jì)算均勻帶電Q的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)P的電勢U=？RX解：取環(huán)上電荷元，其在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位相當(dāng)于點(diǎn)電荷dq=2rdr.P當(dāng)x=0，1當(dāng)x>>R，2若是一帶電圓盤？347討論：第115頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一四、等勢面⑴等勢面在電場中，由電勢相等的點(diǎn)組成的曲面稱為等勢面。上圖為正點(diǎn)電荷的等勢面和勻強(qiáng)場及一對等量異號(hào)電荷的等勢面，其中實(shí)線表示電場線，虛線表示等勢面?？梢园l(fā)現(xiàn)點(diǎn)電荷的等勢面為一族同心球面，而勻強(qiáng)磁場的等勢面是一族平行平面。⑵等勢面有如下性質(zhì)：①、在等勢面上任意兩點(diǎn)間移動(dòng)電荷時(shí)，電場力做功為零。因?yàn)榈葎菝嫔先我鈨牲c(diǎn)的電勢相等，電荷在這兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，電勢能不改變，所以電場力不作功。第116頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一②、等勢面與電場線處處正交。③、電場線總是從電勢較高處的等勢面指向電勢較低的等勢面。因?yàn)槲覀冎姥刂妶鼍€的方向電勢越來越低。④、若規(guī)定相鄰兩等勢面的電勢差相等，則由等勢面的疏密可以看出場強(qiáng)的大小。等勢面越密的地方，場強(qiáng)越大。

電場線和等勢面是分別從力的角度和能的角度描繪電場的兩種幾何圖形，由于電場線和等勢線處處正交，我們從已知的電場線可畫出等勢面，也可從等勢面畫出電場線。它們在描繪電場方面是完全等效的。第117頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一大?。旱扔谘氐葎菝娣ㄏ虻碾妱菰鲩L率即沿等勢面法向單位距離間的電勢差；方向：是該點(diǎn)電勢沿空間增加率最大的方向。(3)電勢梯度如圖1.46,相鄰等勢面a和b的電勢依次為U和U+dU且dU>0。因?yàn)閜abUU+dUφ圖1.46電勢梯度所以【定義】：電勢梯度矢量【討論】：或【注】：是矢量在方向的分量。第118頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(4)電勢梯度與電場強(qiáng)度由圖知?jiǎng)t即或pabUU+dUφ圖1.47電勢梯度與電場強(qiáng)度①靜電場中任一場點(diǎn)的場強(qiáng)方向與電勢增長率最大的方向相反；②靜電場中任一場點(diǎn)的場強(qiáng)大小與電勢增長率最大值相等。分量式或單位：矢量式第119頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(5)電勢與電場的微分關(guān)系常用坐標(biāo)系中，梯度表示為:第120頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(6)幾點(diǎn)說明①是一矢量，其方向與相反，而U是一標(biāo)量。②電勢公式與庫侖定律等價(jià)③與U并非直接關(guān)系PP－＋＋＋－q＋q＋q＋qE=0U≠0σ(a)但并非(b)但不一定第121頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例18.一個(gè)均勻帶電圓環(huán),半徑為R，電量為Q。求其軸線上任意一點(diǎn)的場強(qiáng)。X.Po解：根據(jù)點(diǎn)電荷電勢疊加，P點(diǎn)的電位P點(diǎn)的電場：方向沿X軸正向51第122頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一End【例5】：求電偶極子電勢與電場的分布。【解】：設(shè)電偶極子，任一點(diǎn)a距離中心r，極角θ，見圖1.51。a+q-q圖1.51電偶極子的電場r-r+θ與夾角α由圖代入上式得電場強(qiáng)度則電勢第123頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一即：E取決于U在該點(diǎn)的空間變化率而與該點(diǎn)U值的大小無關(guān)。2oE的又一單位：V/m=N/C3o求E的三種方法點(diǎn)電荷電場疊加：用高斯定理求對稱場：電勢梯度法：注：1o52第124頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一§1.5靜電場中的導(dǎo)體將實(shí)物按電特性劃分：導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體1.導(dǎo)體靜電平衡(1)靜電平衡：將金屬導(dǎo)體放在外電場E0中，導(dǎo)體中的自由電子在電場力作用下作宏觀的定向移動(dòng)，從而使導(dǎo)體中的正、負(fù)電荷重新分布。人們將這種導(dǎo)體內(nèi)的電荷因外電場的作用而重新分布的現(xiàn)象稱為靜電感應(yīng)。因靜電感應(yīng)而在導(dǎo)體表面出現(xiàn)的正、負(fù)電荷叫感應(yīng)電荷。第125頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一1o導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷，在電場力作用下移動(dòng)，從而改變原有的分布。導(dǎo)體在電場中的特點(diǎn)：2o電荷分布不同，影響電場分布。導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)的場強(qiáng)等于0。反證法：則該處有導(dǎo)體未達(dá)靜電平衡。(2)導(dǎo)體靜電平衡條件：第126頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一此力將驅(qū)動(dòng)電子運(yùn)動(dòng)例如：在均勻場放入一導(dǎo)體的情況表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷電荷不動(dòng)電荷積累到一定程度達(dá)靜電平衡注意：導(dǎo)體內(nèi)部的場強(qiáng)是指一切電荷（既包括導(dǎo)體外也包括導(dǎo)體上的電荷）產(chǎn)生的合場強(qiáng)。當(dāng)然，當(dāng)外電場發(fā)生改變時(shí)，這種靜電平衡也會(huì)隨之破壞，導(dǎo)體上的電荷又將重新分配，達(dá)到新的靜電平衡。第127頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3）推論：1.導(dǎo)體是等位體,導(dǎo)體表面是等位面。1.2.導(dǎo)體上電荷分布(1)體內(nèi)無凈電荷(=0)，電荷只分布在導(dǎo)體外表面上證明：體內(nèi)無空腔1圍任一點(diǎn)P作高斯面S，由高斯定理得：即：體內(nèi)無凈電荷！.p2.導(dǎo)體表面任何一點(diǎn)的場強(qiáng)都垂直表面。(因電場線處處與等勢面正交）第128頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(2)體內(nèi)有空腔，腔內(nèi)無其它帶電體電荷全分布在導(dǎo)體外表面上。在靜電平衡下,內(nèi)表面是等位面,電位為U在腔內(nèi)作另一等位面U'與假設(shè)相矛盾則：E腔內(nèi)=0如圖取高斯柱面S，則有：內(nèi)表面無凈電荷電荷全分布在導(dǎo)體外表面上。第129頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注意：①導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度不單是由該表面處的電荷所激發(fā)，它是導(dǎo)體面上所有電荷以及周圍其它帶電體上電荷所激發(fā)的合場強(qiáng)。②帶電導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)體表面的電荷分布的定量研究是非常困難的。因?yàn)閷?dǎo)體表面的電荷分布不僅與導(dǎo)體本身的形狀有關(guān)，而且還與導(dǎo)體周圍的環(huán)境有關(guān)系。③實(shí)驗(yàn)表明，如把一定量的電荷放到一非球形的孤立導(dǎo)體上，當(dāng)達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體是一個(gè)等勢體，表面為一等勢面。在點(diǎn)A附近，表面凸出而尖銳，曲率半徑較小，其電荷面密度及電場強(qiáng)度較大；而在B點(diǎn)附近表面較平坦，曲率半徑較大，其電荷面密度及電場強(qiáng)度較小。表面凹進(jìn)去的地方（曲率為負(fù)），面電荷密度更小。但應(yīng)注意，孤立導(dǎo)體表面的電荷密度與曲率之間并不存在單一的函數(shù)關(guān)系。孤立導(dǎo)體表面的電荷密度與曲率尖端附近的場強(qiáng)最強(qiáng)。第130頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(3)導(dǎo)體表面上各處的電荷密度與電場強(qiáng)度E的關(guān)系在導(dǎo)體表面上任取面積元S，該處電荷面密度作底面積為S的高斯圓柱面，軸線垂直S則有：00注即：導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)E正比于該點(diǎn)的電荷面密度1)并不給出的分布。的分布一般比較復(fù)雜。2)該點(diǎn)處的電場E，是所有電荷產(chǎn)生的。第131頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(4)電荷面密度與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系一般導(dǎo)體電荷的分布與導(dǎo)體形狀有關(guān)附近其它帶電體有關(guān)孤立導(dǎo)體：在給定電荷情況下電荷分布有如下定性規(guī)律實(shí)驗(yàn)結(jié)論：面電荷密度正比于表面曲率即：（表面凸起處）（表面較平坦處）（表面凹進(jìn)處）E表面尖端處，E較大表面平坦處，E較小表面凹進(jìn)處，E最弱++++++++++++++++++++當(dāng)曲率很大的尖端E很強(qiáng)尖端放電除塵器避雷針……第132頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2.尖端放電帶電導(dǎo)體的尖端，電荷面密度大，場強(qiáng)較高。⑴尖端放電由于帶電尖端附近的電場強(qiáng)度特別大，在強(qiáng)電場的作用下尖端附近的空氣容易被電離成正、負(fù)離子，與尖端上的電荷同號(hào)的離子受到排斥而離開尖端，異號(hào)的離子受到吸引而趨向尖端，與尖端上的電荷中和，這等效于電荷從尖端放出，這就是尖端放電。在電場不太強(qiáng)的情況下，放電是在比較平穩(wěn)地?zé)o聲無息地進(jìn)行的。如陰雨潮濕的天氣時(shí)?？稍诟邏狠旊娋€表面附近看到淡藍(lán)色輝光的電暈，這就是平穩(wěn)的尖端放電。但在電場很強(qiáng)的情況下，就會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)烈的尖端放電，會(huì)發(fā)出耀眼的火花，并伴有“啪、啪”的聲響。第133頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一+高壓場離子顯微鏡(FIM)金屬尖端的強(qiáng)電場的應(yīng)用一例接真空泵或充氦氣設(shè)備金屬尖端原理：樣品制成針尖形狀，針尖與熒光膜之間加高壓，樣品附近極強(qiáng)的電場使吸附在表面的原子電離，氦離子沿電力線運(yùn)動(dòng),撞擊熒光膜引起發(fā)光，從而獲得樣品表面的圖象。熒光質(zhì)導(dǎo)電膜接地第134頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一3.靜電屏蔽以靜電平衡為前提在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導(dǎo)體外面的帶電體對空腔導(dǎo)體內(nèi)部的電場分布不會(huì)產(chǎn)生任何影響的現(xiàn)象。⑵完全靜電屏蔽當(dāng)空腔接地時(shí)，腔內(nèi)、腔外電場互不影響。封閉的空腔將腔內(nèi)、腔外分成兩個(gè)完全獨(dú)立的靜電系統(tǒng)的現(xiàn)象。(1)靜電屏蔽靜電屏蔽的原理在生產(chǎn)技術(shù)上有許多的應(yīng)用。為了避免外界電場對一些精密電磁測量儀器的干擾，常在這些儀器外面安裝有金屬制的外殼（網(wǎng)、罩），起靜電屏蔽的作用。第135頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一(1)空腔內(nèi)有帶電體的導(dǎo)體殼證明：由高斯定理：得證由電荷守恒：+qQ+q設(shè)導(dǎo)體帶電荷Q，空腔內(nèi)有一帶電體+q，則導(dǎo)體殼內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為0。在導(dǎo)體殼內(nèi)作一高斯面SS-q第136頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一+qQ+qQ+qQS+q2o若將腔內(nèi)帶電體與導(dǎo)體殼連接,會(huì)出現(xiàn)什么情況？腔內(nèi)無電荷分布：E內(nèi)=0屏蔽外場3o若將導(dǎo)體殼接地，又會(huì)出現(xiàn)什么情況？屏蔽內(nèi)場導(dǎo)體殼外：E外=0討論1o腔內(nèi)+q所處位置不同，對內(nèi)外表面電荷分布及電場分布的影響。第137頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一在靜電平衡的條件下：屏蔽外場E=0在外電場中，導(dǎo)體殼內(nèi)和腔內(nèi)無電場，腔內(nèi)物體不會(huì)受外界影響E=0當(dāng)腔內(nèi)有帶電體時(shí)，將殼接地，腔內(nèi)帶電體的電場對殼外無影響屏蔽內(nèi)場+qQ(3)靜電屏蔽+q第138頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例1.一金屬平板，面積為S帶電Q，在其旁放置第二塊同面積的不帶電金屬板。求(1)靜電平衡時(shí)，電荷分布及電場分布。(2)若第二塊板接地？忽略邊緣效應(yīng)。解：(1)設(shè)四個(gè)面上電荷密度為1234則有：如圖取高斯柱面可得：導(dǎo)體內(nèi)任意一點(diǎn)P，其電場E=0可得：聯(lián)立求解.P第139頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一按電場疊加原理可求得：(2)第二板接地則與大地構(gòu)成一導(dǎo)體同理可得：聯(lián)立求解：.P第140頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例2.半徑為R的金屬球與地相連接，在與球心相距d=2R處有一點(diǎn)電荷q(>0)，問球上的感應(yīng)電荷q'=?解：利用金屬球是等位體球體上處處電位:U=0球心處：Uo=0q'=q？第141頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一例3金屬球A與金屬球殼B同心放置求:1)電量分布已知：球A半徑為帶電為金屬殼B內(nèi)外半徑分別為帶電為2)球A和殼B的電勢第142頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一解：1)導(dǎo)體帶電在表面球A的電量只可能在球的表面殼B有兩個(gè)表面電量可能分布在內(nèi)、外兩個(gè)表面由于AB同心放置仍維持球?qū)ΨQ電量在表面均勻分布第143頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一球A均勻分布著電量由高斯定理和電量守恒可以證明殼B的電量分布是相當(dāng)于均勻帶電的球面相當(dāng)于一個(gè)均勻帶電的球面第144頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一證明殼B上電量的分布：在B內(nèi)緊貼內(nèi)表面作高斯面面S的電通量高斯定理電荷守恒定律第145頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一利用疊加原理等效:在真空中三個(gè)均勻帶電的球面第146頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一在SI制中，電容的單位為：法拉?！?.6電容和電容器一、孤立導(dǎo)體的電容1、定義:

對于一孤立導(dǎo)體，其電勢大小與其帶電量之間成正比。孤立導(dǎo)體的電容：孤立導(dǎo)體帶電量與其電勢的比。（C與q、無關(guān)，取決于幾何結(jié)構(gòu)）2、單位：常用單位：第147頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一注意：⑴電容是描述導(dǎo)體本身性質(zhì)的物理量，僅與導(dǎo)體本身的大小尺寸、形狀等有關(guān)與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)。⑵物理意義：孤立導(dǎo)體電勢每升高（降低）單位電勢時(shí)所需的電量。⑶電容的單位為法拉，符號(hào)為F，但在實(shí)際中由于法拉太大，常用微法（μF）或皮法（pF）作為電容的單位，它們之間的換算關(guān)系為：

1F=106μF=1012pF⑷對于孤立的導(dǎo)體球的電容為

C=4πε0R第148頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一二、電容器實(shí)際上，孤立導(dǎo)體并不存在，它只是一個(gè)理想的模型。⑴電容器：由兩個(gè)相互靠近的導(dǎo)體組成的導(dǎo)體組，使得一個(gè)導(dǎo)體上電荷發(fā)出的電場線都終于另一個(gè)導(dǎo)體上，兩導(dǎo)體帶有等值而異號(hào)電荷。這樣的一對導(dǎo)體組稱之為電容器。兩導(dǎo)體稱為電容器的兩極板。⑵電容器的電容：兩導(dǎo)體中任一個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷Q與兩導(dǎo)體間電勢差U的比值。注意：①電容是反映電容器本身性質(zhì)的物理量，它與電容器本身的結(jié)構(gòu)、兩極板的形狀、大小、極板間的距離及極板間的電介質(zhì)有關(guān)，與極板是否帶有電荷無關(guān)。第149頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一②電容是描述電容器容納電荷或儲(chǔ)存電能的能力的物理量。③任何導(dǎo)體和導(dǎo)體組都有電容。電容器在實(shí)際中（主要在交流電路、電子電路中）有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)你打開任何電子儀器或裝置（如收音機(jī)、示波器等）的外殼時(shí)，就會(huì)看到線路里有各種各樣的元件，其中不少是電容器。實(shí)際的電容器種類繁多。通常在電容器兩金屬極板間還夾有一層絕緣介質(zhì)（叫做電介質(zhì)）。絕緣介質(zhì)也可以是空氣或真空。按兩金屬極板間所用的絕緣介質(zhì)來分，有真空電容器、空氣電容器、云母電容器、紙質(zhì)電容器、油浸紙介電容器、陶瓷電容器、滌綸電容器、電解電容器、聚四氟乙烯電容器、鈦酸鋇電容器等；按其電容量的可變與否來分，有可變電容器、半可變或微調(diào)電容器、固定電容器等。但是，常用的各種類型的電容器的基本結(jié)構(gòu)相同，都由兩片面積較大的金屬導(dǎo)體極板中間夾一層絕緣介質(zhì)組合而成。

第150頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一④

實(shí)用中，電容器對屏蔽要求并不如上述完全封閉那么高；⑤若不封閉,則公式中的Q指兩極等勢時(shí)需從一極板至另一極板所遷移的電量。第151頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一2.幾種特殊電容器及其電容平行板電容器：由兩塊相互平行，中間充滿介質(zhì)的導(dǎo)體板組成的電容器。平行板電容器的電容：當(dāng)導(dǎo)體板間的介質(zhì)為真空時(shí)：，可以看出：圓柱形電容器：由兩個(gè)中間充滿介質(zhì)的同軸圓柱面組成電容器如圖取柱狀高斯面：柱狀電容器的電容：第152頁，共167頁，2023年，2月20日，星期一介質(zhì)為真空時(shí)球狀電容器：由兩個(gè)同心球面組成的電