統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題（大題）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題（大題）其次章

眾數(shù)的計(jì)算

例：某班50名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)分組如下表，要求分別用下限公式和上限公式計(jì)算眾數(shù)。按考試成績(jī)分組（分）學(xué)生人數(shù)（人）60以下60—7070—8080—9090以上合計(jì)212259250[解法一]：利用下限公式計(jì)算眾數(shù)?∵考分在70-80分這一組出現(xiàn)的學(xué)生人數(shù)（頻數(shù)）最多。?∴70-80這一組就是眾數(shù)組。于是：

?L=70f=25f-1=12f+1=9i=10

MO?L??f?f???f?f??i?1?1f?f?1?70?25?12?10?74.48?25?12???25?9?

[解法二]：利用上限公式計(jì)算眾數(shù)

?∵考分在70-80分這一組的學(xué)生人數(shù)（頻數(shù)）出現(xiàn)次數(shù)最多。?∴70-80分這一組就是眾數(shù)組。于是：

?S=80f=25f-1=12f+1=9i=10

MO?S??80??f?f???f?f??i?1?1f?f?125?9?10?74.48?25?12???25?9?

中位數(shù)的計(jì)算

例：某班50名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)組距分組資料如下表，要求分別采用下限公式和上限公式計(jì)算中位數(shù)。按考試成績(jī)分組學(xué)生人數(shù)累計(jì)頻數(shù)（分）（人）F向上累計(jì)向下累計(jì)60以下60—7070—8080—9090以上合計(jì)（∑）212259250214394850——504836112——[解法一]：用下限公式計(jì)算中位數(shù)（Me）?中位數(shù)位置=∑F/2=50/2=25由于：向上累計(jì)頻數(shù)39剛好大于中位數(shù)位置25，所以39所在組70-80分這一組就是中位數(shù)所在組。于是：L=70Sm-1=14fm=25i=10

Me?L?2?70??F?fmSm?1?i

25?14?10?70?4.4?74.425[解法二]：用上限公式計(jì)算中位數(shù)（Me）中位數(shù)位置=∑F/2=50/2=25

1

由于：向下累計(jì)頻數(shù)36剛好大于中位數(shù)位置25，所以：36所在組70-80分這一組就是中位數(shù)所在組。于是：S=80Sm+1=11fm=25i=10

?FM?Sm?1e?S?2f?im

?80?25?1125?10?80?5.6?74.4簡(jiǎn)單均值的計(jì)算

簡(jiǎn)單均值——主要適用于：“未分組整理的原始數(shù)據(jù)〞的計(jì)算。設(shè)：一組數(shù)據(jù)為：X1X2XN或x1x2?xn則：簡(jiǎn)單均值的計(jì)算公式為：

?NXi總體均值：

X?X1?X2?...?XN?i?1?NN?XN

?n?...?xi樣本均值：

x?x1?x2nn?i?1xn

[例]：已知10名成年人的身高資料如下（單位：厘米）：166169172177180170172174168173

求：這10名成年人的身高的均值。[解]：這10名成年人的身高的均值

X??XN?166?169?172?177?180?170?172?174?168?17310

?172110?172.1厘米加權(quán)均值的計(jì)算

單變量分組數(shù)據(jù)計(jì)算均值

即：利用“一個(gè)變量〞作為“一組〞的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算“均值〞。

Kii總體加權(quán)均值：X?X1F1?X2F2?...?XKFKi?1F?F???XF??XF12FK?Ki?F

i?1Fk樣本加權(quán)均值：x?x1f1?x2f2??xkfiik??i?1xff?f??fk??xf

12k?i?fi?1f[例]：某車間100名工人日產(chǎn)量數(shù)據(jù)分組及有關(guān)計(jì)算如下表，要求計(jì)算這100名工人的平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量件數(shù)分組（件）（X）工人人數(shù)（人)各組總產(chǎn)量（件）（XF)(F)2015300222044024409602625650合計(jì)（∑）∑F=100∑XF=2350[解]：100名工人平均日產(chǎn)量為：2

XF2350?X???23.5?F100[例]：某企業(yè)青年班組每月獎(jiǎng)金分組數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算如下表，要求計(jì)算平均獎(jiǎng)金。月獎(jiǎng)金分組組中值工人人數(shù)（人）F各組獎(jiǎng)金總額（元）X（元）XF500—600600—700700—800800—900900—1000∑550650750850950——1010304010100550065002250034000950078000[解]：該青年班組月平均獎(jiǎng)金為X???XF?F

78000?780（元）100加權(quán)均值公式變形后的計(jì)算

XFFX??F?XF?????F??X?FX?1?F?F?F?F簡(jiǎn)單算術(shù)均值〞是“加權(quán)算術(shù)均值〞的特別形式。即：當(dāng)：權(quán)數(shù)F1=F2=?=FK=F時(shí)，則：

X??XF?XF?...?XF?FF?F?F11K12KK?F??XN?F??X

N例：某車間100名工人日產(chǎn)量的數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算如下表，要求計(jì)算平均產(chǎn)量。日產(chǎn)量分組（件）X各組工人人數(shù)比重（%）F/∑FX·F/∑F20153.0022204.4024409.6026256.50∑100解：根據(jù)表中計(jì)算可得，平均日產(chǎn)量如下：23.50X??X??23.50F?F

幾何均值

例：某廠有4個(gè)流水作業(yè)車間，。某月它們的產(chǎn)品合格率分別為：98%、97%、95%和90%，則各車間產(chǎn)品的平均合格率為

Gm?498%?97%?95%?90%?94.95%加權(quán)幾何平均數(shù)的計(jì)算

?適用條件：適用于各變量值出現(xiàn)次數(shù)不一致的場(chǎng)合。

3

Gm???計(jì)算公式為：

NFXF?XF?...?XF12N12NFi??F?Xii?1

例：某市GDP1995-1996兩年的的平均發(fā)展速度為108%，1997-1998兩年的平均發(fā)展速度為107.9%，1999年的平均發(fā)展速度為107.8%。則該市1995-1999年5年的平均發(fā)展速度為：.

G?m5?108%???107.9%???107.8%?

221.?107.9%幾何平均數(shù)與均值的關(guān)系

“幾何均值〞可以看作是“均值〞的一種變形。

X?X??X??X1?X2...XN?1?lgG??lgX?lgX...?lgX?Gm?N1N12NmN12N?lgGm??lgXN可以看出：幾何均值的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。

第四章抽樣與抽樣分布樣本均值的抽樣分布

例2：一個(gè)具有n=64個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本抽自于均值等于20，標(biāo)準(zhǔn)差等于16的總體。（1）給出的抽樣分布（重復(fù)抽樣）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。（2）描述的抽樣分布的形狀。你的回復(fù)依靠于樣本容量嗎？（3）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量Z對(duì)應(yīng)于的值。（4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量Z對(duì)應(yīng)于的值。解：（1）樣本均值的抽樣分布的均值=樣本均值的數(shù)學(xué)期望=總體均值。即：E?x??μ?20

在重復(fù)抽樣的狀況下，樣本均值的方差為總體方差的1/n。即：

σ16??σxn64?4

222（2）由于n?64?30屬于大樣本，所以根據(jù)中心極限定理可知，樣本均值的抽樣分布近似聽(tīng)從均值為

20，方差為4的正態(tài)分布。我的回復(fù)是依靠于樣本容量的。

（3）當(dāng)x?15.5時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的值：Z?x?μ15.5?20?4.5????2.25

2σn1664x?μ23?203（4）當(dāng)x?23時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的值：Z????1.5

σn16642

第五章參數(shù)估計(jì)總體均值區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)例1：（正態(tài)總體-方差已知）某種零件的長(zhǎng)度聽(tīng)從正態(tài)分布，現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4厘米。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，該批產(chǎn)品的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.15厘米。要求以95%的置信度估計(jì)該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間。例1解：依題意得：零件長(zhǎng)度X→N(μ,0.152)

n=9,x?21.4,σ=0.15，1-α=0.95，α=0.05

查P434的“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表〞得出“臨界值〞為：Zα/2=Z0.05/2=Z0.025=Z1-α/2=Z1-0.025=Z0.975=1.96于是：

抽樣平均誤差：

??x???n?0.15?0.0594

抽樣極限誤差：

????Z??????1.96?0.05?0.098

x2x區(qū)間估計(jì)例2：（總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本、總體方差已知）某財(cái)經(jīng)大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查得到他們平均每天參與體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。又知總體方差為36（分鐘)2，試以95%的置信水平估計(jì)該財(cái)經(jīng)大學(xué)全體學(xué)生每天平均參與體育鍛煉時(shí)間的置信區(qū)間。例2解：由于總體的分布形式未知，且總體方差σ2=36(分鐘)2已知，且樣本容量n=100>30為“大樣本〞，故可以近似地認(rèn)為：總體X聽(tīng)從N(μ，σ2/n),依題意知道：x?261???0.95

查表得到：??1.96，于是：

Z2366??x??Z?2???x?抽樣平均誤差：??x?????0.6抽樣極限誤差：

10n100?1.96?0.6?1.176?區(qū)間估計(jì)例3：（總體分布未知或非正態(tài)總體且大樣本、總體方差未知）

在大興安嶺林區(qū)，隨機(jī)抽取了120塊面積為1公頃的樣地，根據(jù)調(diào)查測(cè)量求得每公頃林地平均出材量為88（m3)，標(biāo)準(zhǔn)差為10（m3）,試在99%的置信水平下估計(jì)大興安嶺林區(qū)每公頃地平均出材量的置信區(qū)間。例3解：總體分布形式和總體方差σ2均未知，但由于n=120>30,屬于大樣本，故可近似地采用正態(tài)分布處理，并用樣本方差代替總體方差。依題意又知：s?10??0.011???0.99查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：

?1???1?0.005?0.995?2.58??0.01?0.005Z2Z2ZZ2ZZn??x??Z?2???x?于是抽樣平均誤差：抽樣極限誤差

S10?2.58?0.9129?2.355???0.9129n120（允許誤差）

區(qū)間估計(jì)例4（正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本）設(shè)某上市公司的股票價(jià)格聽(tīng)從正態(tài)分布，為了把握該上市公司股票的平均價(jià)格狀況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了26天的交易價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，測(cè)得平均價(jià)格為35元，方差為4(元2)，試以98%的置信度估計(jì)該上市公司股票平均交易價(jià)格的置信區(qū)間。

例5解：由于總體聽(tīng)從正態(tài)分布，但n=2630屬于“大樣本〞，所以“樣本標(biāo)準(zhǔn)差S〞近似聽(tīng)從“正態(tài)分布〞。又知：S=0.081-α=0.95,α=0.05查表得：Zα/2=Z0.025=Z1-α/2=Z0.975=1.96

某自動(dòng)車床加工的某種零件長(zhǎng)度X，X→N(μ,σ2)，現(xiàn)隨機(jī)抽查16個(gè)零件，測(cè)得其方差為0.00244(mm)2，試以

5

95%的置信度估計(jì)該種零件方差的置信區(qū)間。

解：S2=0.002441-α=0.95，α=0.05，α/2=0.025查“χ2分布表〞得：χ20.025(16-1)=χ20.025(15)=27.488χ21-0.025(16-1)=χ20.975(15)=6.262

第六章假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

一、提出原假設(shè)和備擇假設(shè)二、從所研究總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本三、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布

形式四、選擇顯著性水平，確定臨界值五、作出決策（或結(jié)論）

總體均值假設(shè)檢驗(yàn)例1：（正態(tài)總體、總體方差已知、雙側(cè)檢驗(yàn)）

某廠生產(chǎn)銅絲，其主要質(zhì)量指標(biāo)為折斷力X，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計(jì)，可假定X～N(570,82)。今新?lián)Q材料生產(chǎn)，抽取的樣本值為：578、572、570、568、572、570、570、572、596、584（斤），欲檢驗(yàn)“新材料生產(chǎn)的銅絲的折斷力X〞有無(wú)明顯變化。（假定方差σ2=82仍保持不變，α=0.05）例1解：依題意樣本均值為：

n578?572?570?568?572?570?570?572?596?584?

10?575.2問(wèn)題可歸結(jié)為正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：原假設(shè)H0:μ=570備擇假設(shè)H1：μ≠570由于銅絲折斷力X聽(tīng)從正態(tài)分布且總體方差σ2=82已知，故可以采用“Z檢驗(yàn)法〞。

總體均值假設(shè)檢驗(yàn)例2：（正態(tài)總體、總體方差已知、左側(cè)檢驗(yàn)）

完成生產(chǎn)線上某件工作所需的平均時(shí)間不少于15.5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為3分鐘，對(duì)隨機(jī)抽選的9名職工講授一種新方法，訓(xùn)練期終止后這9名職工完成此項(xiàng)工作所需的平均時(shí)間為13.5分鐘，這個(gè)結(jié)果是否提供了充分證據(jù)，說(shuō)明用新方法所需的時(shí)間短？設(shè)α=0.05，并假定完成這件工作的時(shí)間聽(tīng)從正態(tài)分布。例2解：要檢驗(yàn)的假設(shè)為：

原假設(shè)H0：μ≥15.5備擇假設(shè)H1:μ18.3

由于總體聽(tīng)從正態(tài)分布且總體方差已知，故可用“Z檢驗(yàn)法〞。

6

x?x?總體均值假設(shè)檢驗(yàn)例4：（正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本、雙側(cè)檢驗(yàn)）某車床加工一種零件，要求長(zhǎng)度為150mm，現(xiàn)從一批加工后的這種零件中隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位：mm)為：147150149154152153148151155，假使零件長(zhǎng)度聽(tīng)從正態(tài)分布，問(wèn)這批零件是否合格？（α=0.05）

例4解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到：樣本均值x?151，樣本方差

s2?7.5,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=2.739，n=950

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t：t?x?μ0Sn?56?50?3.09

817當(dāng)α=0.01時(shí)，查“t分布表〞得出臨界值為：由于：t?3.09?t?n?1??2.5835

αt?n?1??t?17?1??t?16??2.5835

α0.010.01所以：應(yīng)拒絕H0而接受H1，可以認(rèn)為該公司應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差超過(guò)50元。

總體均值假設(shè)檢驗(yàn)例6：（正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本、左側(cè)檢驗(yàn)）

某番茄罐頭中，維生素C的含量X聽(tīng)從正態(tài)分布，按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，維生素C的含量不得少于21mg?，F(xiàn)從一批罐頭中隨機(jī)抽取17罐，測(cè)得樣本均值x?23mg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3.98，試問(wèn)該批罐頭中維生素C的含量是否貼合標(biāo)準(zhǔn)？（α=0.05）

例6解：此題屬于正態(tài)總體、總體方差未知且小樣本（n=175，屬于大樣本，故采用Z檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

Z?p?P0p?1?p?n?0.7?0.8?0.1???2.670.037420.7?0.31507

對(duì)于給定的顯著性水平α=0.05，查“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表〞得出臨界值由于：Z??2.67??Zα2?1.96

Zα2??1.96或Z?2.67?Zα?1.96

2所以：應(yīng)拒絕H0而接受H1，由此可以判定：業(yè)務(wù)科長(zhǎng)的說(shuō)法不可信，即參與保險(xiǎn)的戶數(shù)不足80%。

總體比率假設(shè)檢驗(yàn)例2：

某生產(chǎn)商向供應(yīng)商購(gòu)一批西紅柿，雙方規(guī)定若優(yōu)質(zhì)西紅柿的比例在40%以上按一般市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)，否則按低于市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了100個(gè)西紅柿，只有34個(gè)為優(yōu)質(zhì)品。于是，生產(chǎn)商欲按低于市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)，而供應(yīng)商則認(rèn)為樣本比例不足40%是由隨機(jī)因素引起的。請(qǐng)用α=0.05進(jìn)行檢驗(yàn)并加以說(shuō)明。

例2解：依題意，可建立如下假設(shè)H0:P≥0.4H1:P5，屬

0.34?0.4?0.06???1.270.04737p?1?p?0.34?0.66n100當(dāng)α=0.05時(shí)，查“正態(tài)分布表〞得出左側(cè)檢驗(yàn)臨界值：?Z??1.645α于大樣本，故采用“Z檢驗(yàn)法〞。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：Z?p?P0?由于：Z??1.27??Zα??1.645

所以：接受原假設(shè)H0而拒絕備擇假設(shè)H1，即：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)還不能認(rèn)為優(yōu)質(zhì)西紅柿的比例顯著地低于40%，故而生產(chǎn)商仍應(yīng)按一般市場(chǎng)價(jià)格收購(gòu)。

第七章方差分析

單因素方差分析的步驟

一、提出假設(shè)二、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F三、對(duì)于給定的顯著性水平，查F分布表得出F臨界值四、列出方差分析表五、作出接受或拒絕原假設(shè)的決策

單因素方差分析舉例

欲考察包裝顏色對(duì)產(chǎn)品銷量的影響。現(xiàn)將不同包裝顏色的同種產(chǎn)品放到四家銷售條件基本一致的商店銷售，進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，其結(jié)果及水平均值和總均值的計(jì)算如下表：

試分析包裝顏色對(duì)產(chǎn)品銷量有無(wú)顯著影響？（α?0.05）例解：①提出假設(shè)原假設(shè)

μ?μ?μH：0123即：產(chǎn)品包裝顏色對(duì)產(chǎn)品銷售量沒(méi)有顯著影響

備擇假設(shè)

μ、μ、μH：1123不完全相等即：產(chǎn)品包裝顏色對(duì)產(chǎn)品銷售量有顯著影響

②計(jì)算水平均值和總均值

8

紅色的水平均值黃色的水平均值藍(lán)色的水平均值n1n3n2xi1i2??i?1x1n?14?10?11?9xi3??i?1x?8?6?5?13

x??i?1x8?14?3?714

n342n?4

2?44204?11?4?5?324?8全部數(shù)據(jù)的總均值?n1xn2n3i1??xi2??i3x?i?1i?1i?1xn?44?32?201?n2?n34?4?4

?9612?8③計(jì)算離差平方和：SST的計(jì)算

rnjSST???j?1i?1?xij?x?2??14?8?2??10?8?2??11?8?2??9?8?2??8?8?2??14?8?2??3?8?2??7?8?2??8?8?2??6?8?2??5?8?2??1?8?2?174SSE的計(jì)算

rnjSSE????2j?1i?1?xijxj???2222???14?11???10?11???11?11???9?11??????2222???8?8???14?8???3?8???7?8???????8?5?2?222???6?5???5?5???1?5?????14?62?26?102注意：用每一列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，與其列均值離差平方，然后求和！

SSA的計(jì)算

rnjSSA???j?1i?1?x2r2j?x???nj?j?1?xj?x??4??11?8?2?4??8?8?2?4??5?8?2

?36?0?36?72是各列的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別乘以各自列均值與總均值的離差平方，然后求和④自由度的確定

9

SST的自由度?n-1?(4?4?4)-1?11SSE的自由度?n-r?(4?4?4)-3?9SSA的自由度?r-1?3-1?2注意n-1=(r-1)+(n-r)=2+9=11若不等，說(shuō)明計(jì)算有誤！⑤計(jì)算平均平方：組間方差和組內(nèi)方差

組間方差MSA?離差平方和自由度?SSAr?1?723?1?36（SSA的平均平方）

組內(nèi)方差MSE?離差平方和自由度?SSEn?r?10212?3?11.33(SSE的平均平方）注意：與前面的方差計(jì)算的基本思想是完全一致的！

⑥計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值

統(tǒng)計(jì)量F?組間方差SSA/?r?1?組內(nèi)方差?SSE/?n?r??MSA72/236

MSE?102/9?11.33?3.18聽(tīng)從Fα?2,9?⑦列出方差分析表方差來(lái)源離差平方和SS自由度平均平方F值dfMS組間差異SSA=72r-1=2MSA=36F=3.18組內(nèi)差異SSE=102n-r=9MSE=11.33n-1=11——總差異SST=174——————⑧作出決策對(duì)于給定的顯著性水α平?0.05，查F分布表得出臨界值:Fα?r?1,n?r??F0.05?2,9??4.26?F?3.18?Fα?r?1,n?r??4.26?應(yīng)不拒絕原假設(shè)H0而拒絕備擇假設(shè)H1，即：

檢驗(yàn)得知μ1?μ2?μ3，說(shuō)明產(chǎn)品包裝顏色對(duì)產(chǎn)品銷售量沒(méi)有顯影著響。

第八章相關(guān)與回歸分析相關(guān)系數(shù)

例：隨機(jī)抽取某班10同學(xué)的身高和體重資料如下表，要求計(jì)算相關(guān)系數(shù)。學(xué)生身高x體重yx2y2xy10

ABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600272137214900422533032742680007776902010292100808840104921218011440955461670570279220Σ解：10名同學(xué)身高和體重的相關(guān)系數(shù)為：r?n?xy??x??y2n?x??x?n?y??y10?95546?1670?57010?279220???22??2??1670??210?33032??570?2

?0.8418?0.8計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：這10名同學(xué)的身高和體重之間呈高度的線性正相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

例：以前面10名同學(xué)身高和體重的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)為例（α=0.05）

對(duì)于給定的顯著性水α平?0.05，解：提出假設(shè)H0：ρ?0，H1：ρ?0根據(jù)前題計(jì)算可知：?r0.8418，n?10則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t?rn?21?r2查表得臨界值t?n?2??tα20.025?10?2??t0.025?8??2.31?8??2.31

?t?4.411?t0.025?0.8418?10?21??拒絕原假設(shè)，說(shuō)明樣相本關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)2?0.8418?上顯著的，亦即:這10名同學(xué)的身高和體重之間存在顯著的線相性關(guān)關(guān)系。?4.411[例]：假設(shè)對(duì)15戶居民家庭的人均月收入和人均月食品消費(fèi)支出進(jìn)行調(diào)查，試就表中資料計(jì)算簡(jiǎn)單樣本線性相

關(guān)系數(shù)，并進(jìn)行檢驗(yàn)。

例解（1）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)

11

r??n?xy??x??yn?x2?(?x)2n?y2?(?y)215?44632?1516?423?15?163654?1516??15?12311?423?22?0.9414?0.8計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：人均收月入(x)與食品支出(y)之間呈高度的線性正相關(guān)系。

（2）樣本相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)提出假設(shè)：H0:ρ=0,H1:ρ≠0

t?rn?21?r2?0.9414?15?21?0.94142?19.5786

對(duì)于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表，得出臨界值t(a/2)=t(0.025)(15-2)=2.1604∵|t|=19.5768>α?n?2??2.1604

t2∴拒絕原假設(shè)H0，說(shuō)明樣本線性相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。

回歸系數(shù)的估計(jì)

例：仍以前面10名同學(xué)身高和體重的有關(guān)資料，擬合樣本線性回歸方程。

根據(jù)前體表中計(jì)算可：知n?10,?x?1670,?y?570,?x?279220,于是樣本線性回歸方為程：???123.19?1.079xy?xy?95546,則：???123.19，式中：αn?xy??x?y10?95546?1670?570?β??為樣本回歸直線在縱上軸的截距，n?x???x?10?279220??1670?2222?1.079yx5701670???α??β??1.079??nn10102??1.079說(shuō)明身高每βx增加1厘米，體重平均增加1.079千克。??123.19可決系數(shù)

例：仍以前面10名同學(xué)的身高和體重資料為例計(jì)算樣本可決系數(shù)（r2）

前面計(jì)算可知：?n10,?x?1670,?y?570,?y?33032,?y????570SST???y?y???y??33032??542n10SSE??e???y?y????y?α??y?β??xy2222222i2?x2??1.079則：???123.193,?279220,αβ?xy?95546,?33032?(?123.193)?570?1.079?95546?157.876樣本可決系數(shù)SSRSSE157.876?1??1??1?0.2913?0.7087rSSTSST542???123.193?1.079x的擬合程計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：樣本歸回方程y度2

?較高，代表性較好?；貧w系數(shù)顯著性檢驗(yàn)

例1：仍以前面10名同學(xué)的身高和體重資料為例，進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

12

第一步：提出假設(shè)H0：β?0H1：β?0其次步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z。前面計(jì)算可知：?x2?279220,?x?1670,n?10則回歸系數(shù)β?的標(biāo)準(zhǔn)差為：2σ20β???σσ2?x?x?2???x?2?2?x2?

n279220??1670?10?0.246則統(tǒng)計(jì)量Z?β??ββ??01.079σ???4.39β?σβ?0.246第三步：對(duì)于給定的著顯性水平α?0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨出界值Zα2?1.96第四步：作出決策。?Z?4.39?Z

α2?1.96...?拒絕原假設(shè)，說(shuō)明身x和高體重y之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。

例2：仍以前面10名同學(xué)的身高和體重資料為例，進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

第一步：提出假設(shè)H0：β?0H1：β?0其次步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z。前面計(jì)算可知：?x2?279220,?x?1670,n?10則回歸系數(shù)β?的標(biāo)準(zhǔn)差為：222β??S則統(tǒng)計(jì)量??x?x?2?S??4.44?x2?x?22??279220???1670?n10t?β??ββ??01.079β??0.244σ?σ??4.42β?0.244第三步：對(duì)于給定的著顯性水平α?0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨出界值tα2?n?1??t0.025?10?1??2.2622第四步：作出決策。

?t?4.42?t0.025?9??2.2622?拒絕原假設(shè)，說(shuō)明身x和高體重y之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。

線性關(guān)系檢驗(yàn)步驟

1.提出假設(shè)H0：?1=?2????p=0線性關(guān)系不顯著H1：?1，?2，?，?p至少有一個(gè)不等于02.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F

13

σSSRpF??SSEn?p?12???y?y?ii?1np~F(k,n?k?1)

??yi?1ni???y2n?k?13.確定顯著性水平?和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出臨界值F?

4.作出決策：若F>F?，拒絕H0

回歸系數(shù)的檢驗(yàn)

1.提出假設(shè)H0：bi=0(自變量xi與因變量y沒(méi)有線性關(guān)系)H1：bi?0(自變量xi與因變量y有線性關(guān)系)

?β2.計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量tt?i~t(n?k?1)

Sβ?i3.確定顯著性水平?，并進(jìn)行決策?t?>t???，拒絕H0；?t?（3）計(jì)算三種商品的帕氏銷售量綜合指數(shù)

Iq??pq?pq1110?19000?100%15960?119.05%計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：三種商品的銷售量報(bào)告期與基期相比總的增長(zhǎng)（上升）或者平均增長(zhǎng)（上升）了19.05%，在

價(jià)格不變的狀況下，使得銷售額增加的絕對(duì)額=Σp1q1-Σp1q。=19000-15960=3040元。（4）計(jì)算三種商品的帕氏價(jià)格綜合指數(shù)

Ip??pq?pq1011?19000?100%18600?102.15%計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：三種商品的價(jià)格報(bào)告期與基期相比總的增長(zhǎng)（上升）或平均增長(zhǎng)（上升）了2.15%，在商品

銷售量不變的狀況下，使得銷售額增加的絕對(duì)額=Σp1q1-Σp0q1=15960-15560=400元。

?拉氏指數(shù)—采用了基期加權(quán)

?帕氏指數(shù)—?jiǎng)t采用了報(bào)告期加權(quán)

例1：某公司三種商品的有關(guān)資料及其計(jì)算表如下：商計(jì)銷售量（q)價(jià)格（元）p銷售額(萬(wàn)元）品名量單基期報(bào)告期基期報(bào)告期基期報(bào)告期假定稱位q0q1p0p1q0p0q1p1q1p0甲件乙丙米臺(tái)1003002001503001805080100559098500024000200004900082502700017640528907500240001800049500Σ要求：利用指數(shù)體系，進(jìn)行三種商品銷售額變動(dòng)的因素分析。例1解：（1）計(jì)算三種商品的銷售額總指數(shù)

Iqp??qp?qp1010?52890?100%49000?107.94%計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：三種商品的銷售額報(bào)告期與基期相比總的增長(zhǎng)（或平均增長(zhǎng)）了7.94%