簡單的三角恒等變換習題

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一、選擇題

1．(文)設(shè)函數(shù)f(x)?cos(x?2?)?sin2(x?),x?R,則函數(shù)f(x)是(A)44?A．最小正周期為?的奇函數(shù)B．最小正周期為?的偶函數(shù)C．最小正周期為

?2的奇函數(shù)D．最小正周期為

?2的偶函數(shù)

(理)函數(shù)y?sin2x?sinxcosx的最小正周期T?(B)A．2?

?

B．?

C.

?2D.

?32．設(shè)向量a?(cos?,32,則cos2??(B))的模為2212C．

A．?14B．?12D．323．已知tanA.

?2?3,則cos??(B)

45

C.

45B．?4152

D．?354．在?ABC中，若sinAsinB?cosC,則?ABC是(B)2A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形5．函數(shù)f(x)?2sin(x?A.

?2)?|cosx|的最小正周期為(C)

C．2?

D．4?

?2B．?

6．若sinx?cosx?1,x?(0,?),則sinx?cosx?(D)3A．?173B．?173C．

13D．

1737．(文)在銳角?ABC中，設(shè)x?sinAsinB,y?cosAcosB,則x,y的大小關(guān)系是(D)A．x≤yB．x＜yC．x≥y

D．x＞y

π

[解析]∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故應(yīng)選D.

2

(理)在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,假使cos(2B?C)?2sinAsinBc

2

B．a(chǎn)?baD．b?c2222[解析]∵cos(2B＋C)＋2sinAsinB0，∴0，

22a2＋b2－c2

由余弦定理得，cosC＝0)的圖象與直線y?m相切，相鄰切點之間的距離為

??.2(1)求m和a的值；

(2)若點A(x0,y0)是y?f(x)圖象的對稱中心，且x0?[0,[解析](1)f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax＝

1－cos2axπ13

2ax＋?＋，－sin2ax＝－sin?6?2?22

?2],求點A的坐標．

由題意知，m為f(x)的最大值或最小值，13

所以m＝－或m＝，

22

π

由題設(shè)知，函數(shù)f(x)的周期為，∴a＝2，

213

所以m＝－或m＝，a＝2.

22

π14x＋?＋，(2)∵f(x)＝－sin?6?2?

ππ

4x＋?＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴令sin?6??6kππ

∴x＝－(k∈Z)，

424

kπππ

由0≤－≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，

42425π1??11π1?因此點A的坐標為??24，2?或?24，2?.

(理)設(shè)向量a?(sinx,1),b?(1,cosx),記f(x)?a?b,f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)F(x)?f(x)f(x)?f(x)的最大值和最小正周期；

/2????/1?2sin2x(2)若f(x)?2f(x),求的值．2cosx?sinxcosx/[解析](1)f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，

π2x＋?，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋2sin?4??πππ

∴當2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)時，F(xiàn)(x)max＝1＋2.

4282π

最小正周期為T＝＝π.

2

(2)∵f(x)＝2f′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，1

∴cosx＝3sinx，∴tan