上海市寶山區(qū)2023屆高三下學(xué)期期中適應(yīng)性練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題及參考答案

寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3．在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分．1.已知集合,則2.不等式的解集為3.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為4.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）,則實(shí)數(shù)5.已知數(shù)列的遞推公式為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式6.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（結(jié)果用數(shù)字作答）7.從裝有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為，則8.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為9.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則10.如圖是某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖，則11.已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12.已知非零平面向量不平行，且滿足，記，則當(dāng)與的夾角最大時(shí)，的值為二（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13.若，，則是的（）條件充分非必要必要非充分充要既非充分又非必要14.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（

） 將正整數(shù)分解為兩個(gè)正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如,其中即為的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）在空間直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)、和動(dòng)點(diǎn)．若△的面積為，以為頂點(diǎn)的錐體的體積為，則的最大值為（

） 三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，底面，與底面所成的角為，是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）證明：平面，并求點(diǎn)到平面的距離.PPABCDOE-19．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù).4681012202884(1)試建立與的線性回歸方程；(2)研究人員進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在供銷平衡的條件下，市場(chǎng)銷售價(jià)格會(huì)波動(dòng)變化.經(jīng)分析,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格（萬(wàn)元）是一個(gè)與產(chǎn)量相關(guān)的隨機(jī)變量，分布為假設(shè)產(chǎn)品月利潤(rùn)=月銷售量×銷售價(jià)格－成本.（其中月銷售量=生產(chǎn)量）根據(jù)（1）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，月利潤(rùn)的期望值最大？最大值為多少？20．（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分）已知拋物線：（1）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、(均不與點(diǎn)重合)，且以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程中，當(dāng)取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)的直線族（不含軸）.記直線族(其中)為，直線族(其中)為.(1)分別判斷點(diǎn),是否在的某條直線上，并說(shuō)明理由；(2)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)，點(diǎn)不在的任意一條直線上，求的取值范圍（用表示）；(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求的包絡(luò)和的包絡(luò).寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷參考答案2.3.4.5.6.8.9.10.11.12.14.15.16.17.解：……2分最小正周期……4分當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).……6分當(dāng)即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).……8分方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于和直線的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).……10分，則，……12分由圖知……14分18.解（1）：取的中點(diǎn),連接.由是的中點(diǎn),得，所以是異面直線與所成角(或其補(bǔ)角)，在中，于是,在等腰中，，則.在正和正△中,，所以異面直線與所成角的大小是.（2）證明：易知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn).從而又所以平面從而點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離因?yàn)閺亩衷O(shè)點(diǎn)到平面的距離為由得，計(jì)算得所以點(diǎn)到平面的距離為另解2：以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在中,于是（1）是的中點(diǎn)，則，于是設(shè)的夾角為,有,所以異面直線與所成角的大小是.(2)設(shè)是平面一個(gè)法向量，由,令則，得因?yàn)?，則所以平面設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則即點(diǎn)到平面的距離為.19.解：（1）設(shè)線性方程為……2分代入公式或應(yīng)用計(jì)算器求得回歸系數(shù)……4分所以與的線性回歸方程為，……6分（2）設(shè)月利潤(rùn)為，則，則的分布列為從而，，……12分易知函數(shù)在上是增函數(shù)，故.……14分即產(chǎn)量為件時(shí)，月利潤(rùn)期望最大，最大值為萬(wàn)元.……16分20.解：（1）焦點(diǎn)準(zhǔn)線……3分（2），則直線的方程為，……4分代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得設(shè)，則由韋達(dá)定理得……6分由拋物線定義可知，所以線段的長(zhǎng)為.……8分另解：用弦長(zhǎng)公式求解，相應(yīng)給分.（3）假設(shè)存在定點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)(均不與點(diǎn)重合)，以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則……9分設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得：設(shè)，由韋達(dá)定理得……11分整理得對(duì)任意的恒成立，……15分只需此時(shí)Δ所以存在定點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)的直線與與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)(均不與點(diǎn)重合)，以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)……16分另解：借助計(jì)算，則相應(yīng)給分。21.解：（1）將代入得關(guān)于的方程，解為，故點(diǎn)在的直線上.…2分將代入得關(guān)于的方程化簡(jiǎn)得無(wú)實(shí)數(shù)解，故不在的任意一條直線上.…...4分（2）若點(diǎn)不在的任意一直線上,則關(guān)于的方程無(wú)解…...6分令，則.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以，.…...8分所以.…...10分（3）由（2）的結(jié)論猜測(cè)的包絡(luò)是曲線.…...11分，解，得.在曲線上任取一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程是即.而對(duì)任意的，的確為曲線的切線.故的包絡(luò)是曲線.