李心燦給中學教師版數學與創(chuàng)新思維

李心燦給中學教師版數學與創(chuàng)新思維第1頁/共114頁

教育部的一個報告指出：

“實施素質教育重點是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神為主?！?/p>

第2頁/共114頁

恩格斯指出：

“一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?/p>

創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動是在相應的創(chuàng)造性思維的支配下，所進行的一種積極的能動的活動。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動的核心和靈魂。第3頁/共114頁R·培根指出：“數學是打開科學大門的鑰匙?！盚·G·格拉斯曼說：“數學除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理外，它還有另一個訓練全面考查科學系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能?！盢·A·考特認為：“數學是人類智慧王冠上最燦爛的明珠?！钡?頁/共114頁K·L·米斯拉指出：“數學是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利?！敝臄祵W家A·賽爾伯格指出：“……數學的內容一定要重新斟酌。應該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人振奮的內容。”塞爾伯格第5頁/共114頁著名數學家J·P塞爾指出：

“關于學生，關鍵是要讓他們明白數學是活生生的，而不是僵死的，講數學的傳統(tǒng)方法有個缺陷，即教師從不提及這類問題，這很可惜。在數論中有許多這類問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們：當然包括費馬大定理，還有哥德巴赫猜想，以及無限個形如n2+1的素數的存在性。你可以隨意講一些定理而不加證明塞爾第6頁/共114頁

因此我認為：數學教學不但應該傳授數學知識，還應該培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。第7頁/共114頁

講五個問題一、歸納思維二、類比思維三、發(fā)散思維四、逆（反）向思維五、（數學）猜想我將結合初等數學、高等數學和數學史上一些著名問題來講第8頁/共114頁一、歸納思維

歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。

著名數學家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都歸功于歸納方法…牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果?！?/p>

“在數學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比?！?/p>

著名數學家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?/p>

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著名數學家沃利斯說：“我把（不完全的）歸納和類比當作一種很好的考察方法，因為這種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．”第10頁/共114頁

歸納是在通過多種手段（觀察、實驗、分析……）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法?；蛘哒f，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質的東西的抽象化思維。也可以說，歸納是在相似中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由個別中發(fā)現(xiàn)一般。第11頁/共114頁

從數學的發(fā)展可以看出，許多新的數學概念、定理、法則、……的形式，都經歷過積累經驗的過程，從大量觀察、計算……,然后歸納出其共性和本質的東西，例如：哥德巴赫猜想，費馬猜想，素數定理等。第12頁/共114頁歸納的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素數*。

10，20，30都是偶數。是否兩個奇素數之和都是偶數呢？這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數，都能分解為兩個奇素數之和嗎？第13頁/共114頁6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……這樣下去總是對的嗎？即任何一個大于4的偶數都是兩個奇素數之和？大于4的偶數=奇素數+奇素數？（哥德巴赫猜想）第14頁/共114頁60=3+57（57=19×3，不是素數）

60=5+55（55=11×5，不是素數)

？！60=7+53（7和53都是素數）…….

一直到現(xiàn)在還沒有一個人推翻它，但也還沒有一個人證明它。

第15頁/共114頁

哥德巴赫提出這個問題時，歐拉在1742年6月30日的回信中說：他相信這個猜想，但他不能證明。于是引起了很多人研究它，但在120年間，一直沒有多大進展。

直到20世紀20年代，才開始有了眉目，挪威數學家布朗（V.Brun）用“篩法”證明了：任何一個大于4的偶數：

A=[a1×a2×…×a9]+[b1×b2×…×b9],(9+9)

其中ai,bi(i=1,2,3…9)都是素數，才為這個猜想的證明開辟了道路。第16頁/共114頁1924年拉德馬哈爾證明了（7+7）；1932年愛斯爾曼證明了（6+6）；1938年

布赫斯塔勃證明了（5+5）,1940年又證明了（4+4）；1956年

維諾格拉多夫證明了（3+3）；1956年

王元證明了（3+4）；1957年王元證明了（2+3）；1962年潘承洞證明了（1+5）；同年王、潘又證明了（1+4）；第17頁/共114頁1965年

布赫斯塔勃、維諾格拉多夫、龐比利證明了（1+3）；1966年陳景潤證明了（1+2）；(發(fā)表在《中國科學》(1973.P.111-128)

第18頁/共114頁1.吳文俊說：哥德巴赫猜想是一場攻堅戰(zhàn)和接力賽。2.

解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎。3.

王元1956年證得：大偶數=3+4；

1957年又得出：大偶數=2+3。4.

潘承洞1962年證得：大偶數=1+4。5.

陳景潤1966年證得：大偶數=1+2；1972年潘、王、丁夏畦簡化了陳的證明。第19頁/共114頁

蘇步青說：

要想取得1+1就得把世界上八十多種方法融會貫通，博取眾長。1998年利用超級計算機，驗證這個猜想對于每一個小于4×1014的偶數都是正確的。但沒有一項計算技術可以對直至無窮的每一個偶數確認這個猜想成立。關鍵是要找出一個抽象嚴格的證明。

這是數學向人類智慧的挑戰(zhàn)!第20頁/共114頁

這個猜想吸了不少人,2000年3月中旬：英國一家出版社懸賞100萬美元征“哥德巴赫猜想”之解，時限兩年,截止日期定在2002年3月20日。

(獎金比中國最高科學獎還高、Nobel獎)第21頁/共114頁第22頁/共114頁二項式系數

(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=

…….(u+v)n=第23頁/共114頁12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形第24頁/共114頁12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形第25頁/共114頁111121133114641151010511615201561

宋朝數學家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數三角形的構造法，并說賈憲用此術。楊輝三角形第26頁/共114頁

科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數學家》中說：我在6、7歲時我已經感受到數學歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：

他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在《春燕》雜志上。第27頁/共114頁問題：考察表

按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當數學式子表示出來，而且試證明它。問題：下述結論是否成立？第28頁/共114頁在高等數學中，許多重要結果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數的n

階導數，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數，再歸納出n

階導數的表達式。解從而歸納出第29頁/共114頁解因為因而歸納得到第30頁/共114頁二、類比思維

著名日本物理學家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W家康德指出：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！鳖惐仁歉鶕蓚€（或多個）對象內部屬性、關系的某些方面相似，而推出它們在其它方面也可能相似的推理。簡單地說，類比就是由此去發(fā)現(xiàn)彼（或由彼去發(fā)現(xiàn)此）。

第31頁/共114頁

類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學家的重視與青睞。例如：

著名天文學、數學家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師它能揭示自然的奧秘……?！?/p>

著名數學家、教育學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！钡?2頁/共114頁在平面解析幾何中直線的截距式是：在平面解析幾何中,兩點的距離是：在空間解析幾何中,兩點的距離是：

在空間解析幾何中平面的截距式是：第33頁/共114頁

在平面解析幾何中圓的方程是：

(x-a)2+(y-b)2=R2

在空間解析幾何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

等等。第34頁/共114頁②萊布尼茨公式將他們比較可以看出:把①中右端K次冪換成K階導數(零階導數理解為函數本身),把①中u+v換成uv,n次冪換成n階導數既為②.(拉格朗日17歲)牛頓二項式展開公式①第35頁/共114頁

費馬猜想：

X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整數，n<m;X3+Y3=Z3

是否有正整數解？

X4+Y4=Z4

是否有正整數解？

Xn+Yn=Zn,n>2是否有正整數解？第36頁/共114頁

ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z為正整數)=====zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n>2)(Wiles1994)第37頁/共114頁歐拉猜想：下述方程沒有整數解：沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：后來人們又發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的例子：今天我們能容易地用一個簡單的程序尋找反例．在沒有計算機的年代，很難舉出這樣的反例！第38頁/共114頁多元函數與單元函數

在學習多元函數的微分學和積分學時，應注意與已經學習過的一元函數的微積分相應的概念、理論、方法進行類比。例如：第39頁/共114頁

特別應該將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。若將牛頓——萊布尼茨公式

視為，它建立了一元函數f(x)在一個區(qū)間的定積分與其原函數F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；第40頁/共114頁通過類比，就可將格林公式

視為，它建立了二元函數在一個平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；第41頁/共114頁通過類比，就可將高斯公式

視為，它建立了三元函數在一個空間區(qū)域上的三重積分與其“原函數”在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；第42頁/共114頁通過類比，就可將斯托克斯公式

視為，它建立了三元函數在一個空間曲面S上的曲面積分與其“原函數”在區(qū)域邊界曲線L上的曲線積分之間的聯(lián)系。第43頁/共114頁

若引入“外微分運算”，就可將格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓-萊布尼茨公式的高維推廣.并都可以用一個簡單的形式統(tǒng)一表示為第44頁/共114頁

實踐證明：在學習過程中，將新內容與自己已經熟悉的知識。進行類比，不但易于接受、理解、掌握新知識，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費馬猜想）

第45頁/共114頁三、發(fā)散思維

所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。第46頁/共114頁

數學中“一題多解”最著名的例子,是幾何學中關于“勾股定理”的證法。

勾股定理(被譽為“千古第一定理”):

一個直角三角形的斜邊c的平方等于另外兩邊(a,b)的平方和。即

a2+b2=c2

這個定理人們用不同的方法,給出了370多個證明。第47頁/共114頁這個定理的重要性在于：1.它是聯(lián)系“數”與“形”的第一個重要定理；2.它導致了不可公約量的發(fā)現(xiàn)（第一次數學危機）；3.它開始把數學由計算與測量的技術擴大到證明與推理的科學；4.它是最早得出完整解的不定方程，并引導到各式各樣的不定方程，包括費馬大定理。第48頁/共114頁1.在歐幾里得的<幾何原本>中,給出了一種歐幾里得的證明:AHKCBDEFGIL因此同理兩式相加即得定理。第49頁/共114頁2.我國趙爽(約222年)在<周髀算經>的注釋中給出的證明：ab等于兩直角三角形的面積(b-a)2為中心正方形的面積，顯然，有2ab+(b-a)2=c2，化簡，即可得證。ABCbcaa-b弦圖第50頁/共114頁3.大正方形的面積:(a+b)2=a2+2ab+b2又等于:4ab/2+c2=2ab+c2從而得證.ababaabcc第51頁/共114頁美國A.菲爾德總統(tǒng)：SABED=SBCE

+SABC+SDCE4.最令人感興趣的證法之一

他證明時,只是一位議員,是他和其他議員討論數學問題時想出來的,發(fā)表在《新英格蘭教育雜志》上。第52頁/共114頁5.2000年12月1日山東青島市即墨一中高二六班李亮同學的證明:思考：他的證明對否？好不好？ACBDabcBD+AD=AB=c

第53頁/共114頁數學王子—高斯

高斯被譽為：“能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星空和深奧數學的天才”和“數學王子”。第54頁/共114頁

特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對‘代數基本定理’，先后給出了4種不同的證明；他對數論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’是數論中的一塊寶石，數論的酵母，是黃金定理）。

歐拉勒讓德第55頁/共114頁第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導致數論的新方向。其后19世紀多位數論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。第56頁/共114頁

有人曾問高斯：“你為什么能對數學作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數學真理，他也會作出同樣的發(fā)現(xiàn)?！备咚惯€說：“絕對不能以為獲得一個證明以后，研究便告結束，或把另外的證明當作多余的奢侈品?！?/p>

“有時候一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)?！备咚惯@些言行，很值得我們學習和深思。第57頁/共114頁

因此，我們在高等數學教學中，應利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓練發(fā)散思維，下邊我們舉幾個例子：

第58頁/共114頁一題多解：計算第59頁/共114頁一題多變：

得知它是全微分方程，從而用全微分方程的解法求出其通解；求微分方程通解變形為：由于：第60頁/共114頁一題多變：求微分方程通解變形為：

得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；第61頁/共114頁一題多變：求微分方程通解變形為：

發(fā)現(xiàn)它是伯努利方程，從而令z=y2，化為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解?！陡叩葦祵W一題多解200例選編》

（產品：手表、收音機、電視機等）

第62頁/共114頁四、逆向思維

一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。

后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊?！@么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。一則小故事:第63頁/共114頁

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點是從已有的思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。第64頁/共114頁（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時，轉而探討不可能性。下面舉幾個高等數學中的例子:第65頁/共114頁求解微分方程：若將x視為自變量，y視為未知函數，解此方程就比較困難。因為它既不是可分離變量方程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，也不是線性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思維，即反過來將x

視為未知函數,y

視為自變量，將方程變?yōu)榈?6頁/共114頁它就是未知函數x

的線性微分方程。很容易求出其通解。

])1(21[222Ceyexyy++-=-第67頁/共114頁若直接解決困難，想法間接解決。例1：試求解法１：用間接的方法，即轉化為判斷級數級數收斂的必要條件是通項趨向于零，于是第68頁/共114頁解法２:利用夾逼定理第69頁/共114頁

探討可能性發(fā)生困難時，轉而探討不可能性。下面我們例舉數學史上兩個最有名的問題：第70頁/共114頁關于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)

歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規(guī)定，第四個是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實也不明顯。

而且只有第5公設涉及到無限,這是人們經驗之外的東西.

第71頁/共114頁

此公設是“若一直線和兩條直線相交，所構成的兩同旁內角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長，它們一定在兩內角的一側相交”。

第72頁/共114頁

這公設等價于：“在平面上，過直線外一點，只能作一條直線與這條直線平行”。

歐第73頁/共114頁

當兩條直線相交于非常遙遠的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數學家經歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯誤，就是用另一條等價的公理代替了第五公設。

達朗貝爾曾把第五公設的證明稱為“幾何原理中的家丑”。第74頁/共114頁

直到19世紀初，數學家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設不可證。特別是德國的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國的羅巴切夫斯基他們各自總結了前人和自己試證第五公設的失敗教訓。高斯(1799,1813)羅巴切夫斯基

(1826,1829)

鮑耶（1832）第75頁/共114頁

他們首先肯定了歐幾里得第五公設是不能用其它公理作出證明，然后用一個與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點至少可引兩條直線與已知直線平行。”羅第76頁/共114頁

羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分：

不依賴于第五公設得到證明的命題（絕對幾何）。

依賴于第五公設才能證明的命題。

“在一個平面上，過直線AB外一點至少可以作一條直線與AB不相交”。

1.僅可作一條（第五公設）歐氏幾何；

2.可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于證明了第五公設?？墒撬坏珱]有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。第77頁/共114頁

從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。高斯稱之為“反歐幾里得幾何”羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何”后他又稱之為“泛幾何”今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。第78頁/共114頁

后來德國數學家黎曼用一個既與歐幾里德第五公設的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點不可能引一直線與已知直線平行”。黎第79頁/共114頁

從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）。

現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。

黎曼(1854)第80頁/共114頁

20世紀偉大的數學家希爾伯特指出:

“19世紀最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。

非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學上的革命，它不僅使數學家大開眼界，引起一些重要數學分支的產生，它的重要意義還在于使數學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。(太平洋)第81頁/共114頁

歐幾里得：三角形內角和=兩直角,2πr=c，a2+b2=c2

羅巴切夫斯基：三角形內角和<兩直角,

2πr<c

，a2+b2<c2

黎曼：三角形內角和>兩直角,2πr>c

，a2+b2>c2

后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。1871年克來因第82頁/共114頁關于五次及五次以上代數方程根式求解問題

在16世紀之前，數學家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數方程的根式解法。如：

那么，一般五次及五次以上的代數方程是否也存在根式解法呢？第83頁/共114頁

這個問題吸引著眾多的數學家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當（Cardano）、韋達(Viete)、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了兩百多年的努力都未能找到解法。韋達拉格朗日第84頁/共114頁

經過無數次的失敗之后,直到19世紀初，一些數學家產生了逆向思維：首先是魯非尼（Ruffini）和拉格朗日，接著是阿貝爾(Abel)，把問題的提法倒了過來，去思考它的反問題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。阿貝爾(Abel)第85頁/共114頁

阿貝爾從這種逆向思維出發(fā)，終于嚴格地證明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但徹底解決了這樁歷史懸案，并且進而開創(chuàng)了近世代數方程的研究道路，包括群論和方程的超越函數解法。

幾何的三大難題：1.三等分任意角;2.化圓為方;3.倍立方.(只用圓規(guī)、直尺)第86頁/共114頁逆向思維的基本特點

從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決;正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。第87頁/共114頁

例如：毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大膽地逆向思考，提出了以毒攻毒，結果制成了許多珍貴的藥品。英國醫(yī)師琴納(Jener)發(fā)現(xiàn)牛痘能夠預防天花，實際上也是使用了逆向思維。

第88頁/共114頁“圍魏救趙”

(“36計”中的第2計)桂陵（今長垣縣西邊），大梁（今開封）。大梁第89頁/共114頁“司馬光擊缸救人”

常規(guī)辦法:人離,缸完,水存;

司馬光采取了非常規(guī)辦法:

缸破,水流,人存司馬光的急救之策，被世人稱頌。（諸葛亮草船借箭、20只船）第90頁/共114頁五、數學與猜想牛頓：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。G.波利亞：要想成為一個好的數學家，……你必須是一個好的猜想家。牛頓波利亞第91頁/共114頁

數學猜想是指依據某些已知事實和數學知識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，它是數學研究的一種常用的科學方法，又是數學發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學假說在數學中的具體表現(xiàn)。數學猜想作為一種數學潛形態(tài),它常常是數學理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數學發(fā)展到積累了大量資料，需要進行理論整理，探索其理論內部的矛盾規(guī)律這一階段上產生出來的，數學的創(chuàng)造過程與其它知識的創(chuàng)造過程一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，通過猜想……。第92頁/共114頁立方體方錐三棱柱三棱錐五棱柱五棱錐著名數學教育家波利亞（Polya）說：“在前輩數學家中，……歐拉對我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當的偉大數學家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結果的.對此，我是如獲至寶.”歐拉關于多面體的猜想第93頁/共114頁八面體“塔頂”體截角立方體第94頁/共114頁多面體面(F)頂點(V)棱(E)立方體6812三棱柱569五棱柱71015方錐558三棱錐446五棱錐6610八面體8612“塔頂”體9916截角立方體71015猜想:是否面(F)的數目越多,頂點的數(V)越多?第95頁/共114頁多面體面(F)頂點(V)棱(E)三棱錐446方錐558三棱柱569五棱錐6610立方體6812八面體8612五棱柱71015截角立方體71015“塔頂”體9916

猜想:是否邊(E)的數目越多,面數(F)越多?頂點(V)也越多呢?第96頁/共114頁F+V=E+2由歸納得出:第97頁/共114頁多面體面(F)頂點(V)棱(E)正12面體122030正20面體201230F+V=E+2第98頁/共114頁多面體面(F)頂點(V)棱(E)n個側面的棱柱n+22n3nn個側面的棱錐n+1n+12nF+V=E+2第99頁/共114頁亭體的推廣:(F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2從而F+V=E+2截角立方體的推廣:(F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2從而F+V=E+2第100頁/共114頁棱:水平邊=4*3=12

非水平邊=4*3=12從而E=24面:F=4*3=12頂點:V=4*3=12

從而F+VE+2第101頁/共114頁類比凸多邊形:如顯然有V====E(*)

角(頂點)===邊(棱)將(*)改寫為(按維數增加的順序)V-E+1====1(**)

頂點數邊數多邊形內部面數

(0維)(1維)

(2維)