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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——三角形“四心〞向量表示
三角形四心的向量問題
三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式一.知識點總結(jié)
1)O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;若O是?ABC的重心,則
S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3
故OA?OB?OC?0;
????????????????1PG?(PA?PB?PC)?G為?ABC的重心.32)O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;若O是?ABC(非直角三角形)的垂心,
tanB:tanC則S?BOC:S?AOC:S?AOB?tanA:故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0
3)O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)若O是?ABC的外心
:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C則S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?04)O是內(nèi)心?ABC的充要條件是
OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0
引進單位向量,使條件變得更簡單。假使記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3,則
剛
才
O
是
?ABC內(nèi)心的
充要條件可以寫成
OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0
O是?ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA?bOB?cOC?0若O是?ABC的內(nèi)心,則S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c
故aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;
?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內(nèi)心;
????????ACAB??????)(??0)所在直線過?ABC的內(nèi)心(是?BAC的角平分線所在直向量?(???|AB||AC|線);二.范例
(一).將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考察例1.O是平面上的一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足
OP?OA??(ABAB?ACACAe1e2BC???0,???則P點的軌跡一),
定通過?ABC的()
(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心解析:由于
ABAB????????是向量AB的單位向量設(shè)ABP????與AC方向上的單位向量分別為e1和e2,又OP?OA?AP,則原式可化為
由菱形的基本性質(zhì)知AP平分?BAC,那么在?ABCAP??(e1?e2),則知選B.
點評:這道題給人的印象當然是“別致、陌生〞,首先ABAB中AP平分?BAC,
是什么?沒見過!想
想,一個非零向量除以它的模不就是單位向量?此題所用的都必需是簡單的基本
知識,如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等,若十分熟悉,又能迅速地將它們遷移到一起,解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考察“垂心定理〞
例2.H是△ABC所在平面內(nèi)任一點,HA?HB?HB?HC?HC?HA?點H是△ABC的垂心.
由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,
同理HC?AB,HA?BC.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(證略))
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一點,若PA?PB?PB?PC?PC?PA,則P是△ABC的(D)A.外心
B.內(nèi)心
C.重心
D.垂心
解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0
則PB?CA,同理PA?BC,PC?AB所以P為?ABC的垂心.應(yīng)選D.
點評:此題考察平面向量有關(guān)運算,及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直〞、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直〞等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考察“重心定理〞例4.G是△ABC所在平面內(nèi)一點,GA?GB?GC=0?點G是△ABC的重心.
證明作圖如右,圖中GB?GC?GE
連結(jié)BE和CE,則CE=GB,BE=GC?BGCE為平行四邊形
?D
是BC的中點,AD為BC邊上的中線.
將GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0,
得GA?EG=0?GA??GE??2GD,故G是△ABC的重心.(反之亦然(證略))
例5.P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心?PG?1(PA?PB?PC).
3證明
PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC)
∵G是△ABC的重心
∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0,即3PG?PA?PB?PC
?????????????例6若O為?ABC內(nèi)一點,OA?OB?OC?0,則O是?ABC的()由此可得PG?1(PA?PB?PC).(反之亦然(證略))
3A?????????????????????????解析:由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA,如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩????????????邊構(gòu)作平行四邊形,則OB?OC?OD,由平行四邊形性質(zhì)知
BA.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心
OEDC????1????OE?OD,OA?2OE,同理可證其它兩邊上的這特性質(zhì),所以是重心,選D。
2點評:此題需要扎實的平面幾何知識,平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì):重心是三角形中線的內(nèi)分點,所分這比為??。此題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。
(四).將平面向量與三角形外心結(jié)合考察
????????????例7若O為?ABC內(nèi)一點,OA?OB?OC,則O是?ABC的()
21
A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心
解析:由向量模的定義知O到?ABC的三頂點距離相等。故O是?ABC的外心,選B。
點評:此題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考察
例8.已知向量OP1,OP2,OP3滿足條件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,求證△P1P2P3是正三角形.(《數(shù)學(xué)》第一冊(下),復(fù)習參考題五B組第6題)
證明由已知OP1+OP2=-OP3,兩邊平方得OP1·OP2=?1,
2同理
OP2·OP3=OP3·OP1=?1,
2
∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3,從而△P1P2P3是正三角形.
反之,若點O是正三角形△P1P2P3的中心,則顯然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.
即O是△ABC所在平面內(nèi)一點,
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?點O是正△P1P2P3的中心.
例9.在△ABC中,已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:Q、G、H三點共線,且QG:GH=1:2。
:以A為原點,AB所在的直線為x軸,建立如下圖的直角坐標系。設(shè)A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分別為AB、BC、AC的中點,則有:
x1x?x2y2xy,0)、E(1,)、F(2,2)22222x(1,y3)、H(x2,y4),由題設(shè)可設(shè)Q2x?x2y2G(1,)
33?????????xxy?AH?(x2,y4),QF?(2?1,2?y3)
222????BC?(x2?x1,y2)??????????AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0D(yC(x2,y2)FGQA
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