三角形四心〞向量表示

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三角形四心的向量問題

三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式一．知識點總結

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;若O是?ABC的重心，則

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0;

????????????????1PG?(PA?PB?PC)?G為?ABC的重心.32）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

tanB：tanC則S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C則S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?04）O是內(nèi)心?ABC的充要條件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引進單位向量，使條件變得更簡單。假使記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3，則

剛

才

O

是

?ABC內(nèi)心的

充要條件可以寫成

OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0

O是?ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA?bOB?cOC?0若O是?ABC的內(nèi)心，則S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

故aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;

?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內(nèi)心;

????????ACAB??????)(??0)所在直線過?ABC的內(nèi)心(是?BAC的角平分線所在直向量?(???|AB||AC|線)；二．范例

(一)．將平面向量與三角形內(nèi)心結合考察例1．O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

OP?OA??(ABAB?ACACAe1e2BC???0,???則P點的軌跡一)，

定通過?ABC的（）

（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：由于

ABAB????????是向量AB的單位向量設ABP????與AC方向上的單位向量分別為e1和e2，又OP?OA?AP，則原式可化為

由菱形的基本性質(zhì)知AP平分?BAC，那么在?ABCAP??(e1?e2)，則知選B.

點評：這道題給人的印象當然是“別致、陌生〞，首先ABAB中AP平分?BAC，

是什么？沒見過！想

想，一個非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必需是簡單的基本

知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結合考察“垂心定理〞

例2．H是△ABC所在平面內(nèi)任一點，HA?HB?HB?HC?HC?HA?點H是△ABC的垂心.

由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,

同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一點，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，則P是△ABC的（D）A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0

則PB?CA,同理PA?BC,PC?AB所以P為?ABC的垂心.應選D.

點評：此題考察平面向量有關運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直〞、三角形垂心定義等相關知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直〞等相關知識巧妙結合。(三)將平面向量與三角形重心結合考察“重心定理〞例4．G是△ABC所在平面內(nèi)一點，GA?GB?GC=0?點G是△ABC的重心.

證明作圖如右，圖中GB?GC?GE

連結BE和CE，則CE=GB，BE=GC?BGCE為平行四邊形

?D

是BC的中點，AD為BC邊上的中線.

將GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，

得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））

例5．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心?PG?1(PA?PB?PC).

3證明

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC)

∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC

?????????????例6若O為?ABC內(nèi)一點，OA?OB?OC?0，則O是?ABC的（）由此可得PG?1(PA?PB?PC).（反之亦然（證略））

3A?????????????????????????解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如圖以OB、OC為相鄰兩????????????邊構作平行四邊形，則OB?OC?OD，由平行四邊形性質(zhì)知

BA．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

OEDC????1????OE?OD，OA?2OE，同理可證其它兩邊上的這特性質(zhì)，所以是重心，選D。

2點評：此題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點，所分這比為??。此題在解題的過程中將平面向量的有關運算與平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)等相關知識巧妙結合。

(四)．將平面向量與三角形外心結合考察

????????????例7若O為?ABC內(nèi)一點，OA?OB?OC，則O是?ABC的（）

21

A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

解析：由向量模的定義知O到?ABC的三頂點距離相等。故O是?ABC的外心，選B。

點評：此題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關知識巧妙結合。(五)將平面向量與三角形四心結合考察

例8．已知向量OP1，OP2，OP3滿足條件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求證△P1P2P3是正三角形.（《數(shù)學》第一冊（下），復習參考題五B組第6題）

證明由已知OP1+OP2=-OP3，兩邊平方得OP1·OP2=?1，

2同理

OP2·OP3=OP3·OP1=?1，

2

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，從而△P1P2P3是正三角形.

反之，若點O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.

即O是△ABC所在平面內(nèi)一點，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?點O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。

：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如下圖的直角坐標系。設A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有：

x1x?x2y2xy,0)、E(1,)、F(2,2)22222x（1,y3)、H(x2,y4),由題設可設Q2x?x2y2G(1,)

33?????????xxy?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3)

222????BC?(x2?x1,y2)??????????AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0D（yC(x2,y2)FGQA