三角形四心〞向量表示

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三角形四心的向量問題

三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式一．知識點總結(jié)

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;若O是?ABC的重心，則

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0;

????????????????1PG?(PA?PB?PC)?G為?ABC的重心.32）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

tanB：tanC則S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C則S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?04）O是內(nèi)心?ABC的充要條件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引進單位向量，使條件變得更簡單。假使記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3，則

剛

才

O

是

?ABC內(nèi)心的

充要條件可以寫成

OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0

O是?ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA?bOB?cOC?0若O是?ABC的內(nèi)心，則S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

故aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;

?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內(nèi)心;

????????ACAB??????)(??0)所在直線過?ABC的內(nèi)心(是?BAC的角平分線所在直向量?(???|AB||AC|線)；二．范例

(一)．將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考察例1．O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

OP?OA??(ABAB?ACACAe1e2BC???0,???則P點的軌跡一)，

定通過?ABC的（）

（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：由于

ABAB????????是向量AB的單位向量設(shè)ABP????與AC方向上的單位向量分別為e1和e2，又OP?OA?AP，則原式可化為

由菱形的基本性質(zhì)知AP平分?BAC，那么在?ABCAP??(e1?e2)，則知選B.

點評：這道題給人的印象當然是“別致、陌生〞，首先ABAB中AP平分?BAC，

是什么？沒見過！想

想，一個非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必需是簡單的基本

知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考察“垂心定理〞

例2．H是△ABC所在平面內(nèi)任一點，HA?HB?HB?HC?HC?HA?點H是△ABC的垂心.

由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,

同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一點，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，則P是△ABC的（D）A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0

則PB?CA,同理PA?BC,PC?AB所以P為?ABC的垂心.應(yīng)選D.

點評：此題考察平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直〞、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直〞等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考察“重心定理〞例4．G是△ABC所在平面內(nèi)一點，GA?GB?GC=0?點G是△ABC的重心.

證明作圖如右，圖中GB?GC?GE

連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GC?BGCE為平行四邊形

?D

是BC的中點，AD為BC邊上的中線.

將GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，

得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））

例5．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心?PG?1(PA?PB?PC).

3證明

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC)

∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC

?????????????例6若O為?ABC內(nèi)一點，OA?OB?OC?0，則O是?ABC的（）由此可得PG?1(PA?PB?PC).（反之亦然（證略））

3A?????????????????????????解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩????????????邊構(gòu)作平行四邊形，則OB?OC?OD，由平行四邊形性質(zhì)知

BA．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

OEDC????1????OE?OD，OA?2OE，同理可證其它兩邊上的這特性質(zhì)，所以是重心，選D。

2點評：此題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點，所分這比為??。此題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線相互平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。

(四)．將平面向量與三角形外心結(jié)合考察

????????????例7若O為?ABC內(nèi)一點，OA?OB?OC，則O是?ABC的（）

21

A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

解析：由向量模的定義知O到?ABC的三頂點距離相等。故O是?ABC的外心，選B。

點評：此題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考察

例8．已知向量OP1，OP2，OP3滿足條件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，求證△P1P2P3是正三角形.（《數(shù)學(xué)》第一冊（下），復(fù)習參考題五B組第6題）

證明由已知OP1+OP2=-OP3，兩邊平方得OP1·OP2=?1，

2同理

OP2·OP3=OP3·OP1=?1，

2

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，從而△P1P2P3是正三角形.

反之，若點O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.

即O是△ABC所在平面內(nèi)一點，

OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?點O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。

：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如下圖的直角坐標系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有：

x1x?x2y2xy,0)、E(1,)、F(2,2)22222x（1,y3)、H(x2,y4),由題設(shè)可設(shè)Q2x?x2y2G(1,)

33?????????xxy?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3)

222????BC?(x2?x1,y2)??????????AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0D（yC(x2,y2)FGQA