相似矩陣的定義及性質(zhì)

相似矩陣的定義及性質(zhì)1第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)1:相似矩陣有相同的特征多項式、相同特征值、相同的行列式、相同的跡、相同的秩推論：若矩陣與對角陣相似，則是的個特征值。2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一(1)相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)：(3)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(5)(6)（為任意常數(shù)）(2)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(4)若與相似，而是一個多項式，則與相似。3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一（2）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。注：（1）與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身，與數(shù)量矩陣kE相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本身。三.矩陣可對角化的條件（利用相似變換把方陣對角化）對階方陣，如果可以找到可逆矩陣，使得為對角陣，就稱為把方陣對角化。4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一定理1：階矩陣可對角化（與對角陣相似）有個線性無關(guān)的特征向量。（2）可逆矩陣由的個線性無關(guān)的特征向量作列向量構(gòu)成。(逆命題不成立)推論：若階方陣有個互不相同的特征值,則可對角化。（與對角陣相似）注：（1）若則的主對角元素即為的特征值，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形。如果不計的排列順序，則唯一，稱之為5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一例1:判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解:得6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一得基礎(chǔ)解系當(dāng)時，齊次線性方程組為當(dāng)時，齊次線性方程組為7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一得基礎(chǔ)解系線性無關(guān)即A有3個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化。8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一得基礎(chǔ)解系所以不能化為對角矩陣.當(dāng)時，齊次線性方程組為9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一解：例2：設(shè)若能對角化，求出可逆矩陣使得為對角陣。問能否對角化？10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一得基礎(chǔ)解系當(dāng)時，齊次線性方程組為當(dāng)時，齊次線性方程組為11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一得基礎(chǔ)解系線性無關(guān)，可以對角化。令則有12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一注意：若令即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．則有13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一把一個矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運算簡化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪腔木仃囍饕幸韵聨追N應(yīng)用：1.由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣的特征值是相應(yīng)的特征向量是求矩陣14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一解：因為特征向量是3維向量，所以矩陣是3階方陣。因為有3個不同的特征值，所以可以對角化。即存在可逆矩陣,使得其中求得15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一2.求方陣的冪例4：設(shè)求解：可以對角化。齊次線性方程組為當(dāng)時，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一齊次線性方程組為當(dāng)時，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣,使得18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一3.求行列式例5：設(shè)是階方陣，是的個特征值，計算解：方法1求的全部特征值，再求乘積即為行列式的值。設(shè)的特征值是即的特征值是20第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一方法2：已知有個不同的特征值，所以可以對角化，即存在可逆矩陣,使得21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一4.判斷矩陣是否相似解：方法1的特征值為令3階矩陣有3個不同的特征值，所以可以對角化。例6：已知3階矩陣的特征值為1，2，3，設(shè)問矩陣能否與對角陣相似？22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一即存在可逆矩陣,使得方法2：因為矩陣有3個不同的特征值，所以可以對角化，所以矩陣能與對角陣相似。23第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一例7：設(shè)階方陣有個互異的特征值，階方陣與有相同的特征值。證明：與相似。證：設(shè)的n個互異的特征值為則存在可逆矩陣,使得