第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的一般形式是其中丶及是自變量的已知函數(shù),函數(shù)稱為方程(1)的自由項(xiàng).當(dāng)時(shí),方程(1)成為這個(gè)方程稱為二階齊次線性微分方程,相應(yīng)地,方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程的概念方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質(zhì),還可以推廣到階線性微分方程第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程解的定理定理1如果函數(shù)與是方程(1)的兩個(gè)解,則也是方程(1)的解,其中是任意常數(shù).第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義1設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)數(shù).如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)恒有則稱這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān).否則稱線性無關(guān).的兩個(gè)函第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程解的定理定理2若與是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則就是方程(1)的通解,其中是任意常數(shù).第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程解的定理定理3設(shè)是方程(1)的一個(gè)特解,而是其對應(yīng)的齊次方程(2)的通解,則就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程解的定理定理4設(shè)與分別是方程與的特解,則是方程的特解.第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一二階線性微分方程解的定理定理5設(shè)是方程的解,其中為實(shí)值函數(shù),為純虛數(shù).則與分別是方程與的解.第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一例1已知是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)特解：求此方程的通解;寫出此微分方程;求此微分方程滿足的特解.第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一齊次線性微分方程的解法設(shè)是方程(1)的一個(gè)已知非零特解,作變量替換第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一解線性微分方程的降階法把它們代入(1)式,得再作變量替換得第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一解線性微分方程的降階法分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù)).對積分,得為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一解線性微分方程的降階法為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解這個(gè)公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式.第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一例2已知是方程個(gè)解,試求方程的通解.的一第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法設(shè)有二階非齊次線性方程如果其對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程(1)的特解為其中是兩個(gè)特定函數(shù),對求導(dǎo)數(shù),得第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法我們補(bǔ)充如下條件:得方程組第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法得方程組上述方程組有唯一解.解得第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法積分并取其一個(gè)原函數(shù),得于是,所求特