2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題05 圓錐曲線大題壓軸練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為原點(diǎn)，且滿足，求的面積.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為，過且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，的周長為8．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.(1)求雙曲線C的方程；(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過F與雙曲線C交于兩點(diǎn)，的中垂線交y軸于點(diǎn)T，問是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．6．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)DA并延長交C于點(diǎn)M，連結(jié)DB交C于點(diǎn)N．(1)若A為線段DM的中點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．7．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：過點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M、N.直線MA、NA分別交直線于點(diǎn)P、Q，求的值.8．（2023·江蘇·二模）如圖，過軸左側(cè)的一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線交于和四點(diǎn)，并且滿足，．(1)設(shè)的中點(diǎn)為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點(diǎn)，求面積的最小值．9．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．10．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線與分別交于點(diǎn).①判段直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn).請(qǐng)說明理由：②記直線的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程.12．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，連接，分別交直線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于的直線交直線于點(diǎn)R．(1)求證：點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：的垂心在雙曲線C上.15．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓，的上、下頂點(diǎn)是，，左，右頂點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在橢圓上，在四邊形中，若，，且四邊形面積的最大值為．(1)求的值．(2)已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：當(dāng)變化時(shí)，存在不同于的定點(diǎn)，使得．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最大值為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.求證：直線過定點(diǎn).17．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點(diǎn)分別做軸的垂線與橢圓交于四點(diǎn)，依次連接這四個(gè)點(diǎn)所得的四邊形恰好為正方形.(1)求該橢圓的離心率.(2)若橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，記，，求的值.18．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)是等腰直角三角形，且.(1)過橢圓的上頂點(diǎn)引兩條互相垂直的直線，記上任一點(diǎn)到兩直線的距離分別為，求的最大值；(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)試問：是否存在軸上的定點(diǎn)，使得.若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為．連接，并過的中點(diǎn)分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為，求面積的最小值．21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．22．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn).過點(diǎn)作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點(diǎn)處切線斜率為；(2)過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線斜率互為相反數(shù).證明數(shù)列為等差數(shù)列.24．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B.在橢圓上任取兩點(diǎn)C，D，直線斜率存在且不過A，B.交于，交于，直線交y軸于R，直線交x軸于，直線交x軸于.(1)若a，b為已知量，求；(2)分別作，于E，F(xiàn)，求.25．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)直線與拋物線變于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn).（?。┤?，拋物線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求證：；（ⅱ）若，是否存在定點(diǎn)，使得直線的傾斜角互補(bǔ)?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.26．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．27．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn),與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點(diǎn)R滿足,求直線的斜率的最大值．28．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C的長軸上的一點(diǎn)，若，且△OPB的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線AM，AN分別與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的斜率分別為，，且，求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，求出△AMN面積的最大值．29．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┮阎p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與一條漸近線垂直，垂足為，與另一條漸近線相交于點(diǎn)，且都在軸右側(cè)，(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)為與直線交于點(diǎn)，試探究以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn).30．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限．(1)求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)線段交圓于點(diǎn)，記的面積分別為，求的最小值．2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為原點(diǎn)，且滿足，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）分點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)兩種情況，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)出，考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，求出弦長，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線距離求出面積.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，恰好構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，①當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，點(diǎn)為右頂點(diǎn)，此時(shí)，，②當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn)，此時(shí)，（舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，①?dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則有，所以，點(diǎn)到的距離為，此時(shí).②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得消去整理得，滿足，由韋達(dá)定理得，所以，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡得，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以綜上所述，的面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交，設(shè)交點(diǎn)為，則弦長公式為：或.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且，因?yàn)?，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因?yàn)樵跈E圓上，即，即，，從而，，又因?yàn)椴辉谥本€上，則有，即，所以為定值，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為，過且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，的周長為8．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且與垂直的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓的定義求得，再由，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，，利用弦長公式求得，再由由直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，，求得，進(jìn)而得出四邊形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，橢圓的離心率為，可得，又由橢圓的定義，可知，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè)，直線的方程為，由，整理得，則有，，故，又由直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則有，，則，所以四邊形的面積：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，綜上，四邊形ACBD面積的最小值為．【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.(1)求雙曲線C的方程；(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過F與雙曲線C交于兩點(diǎn)，的中垂線交y軸于點(diǎn)T，問是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線可設(shè)雙曲線方程為，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得，即得答案.（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，求得，以及的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線方程可得T點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求得，化簡即可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C以為漸近線，設(shè)雙曲線方程為，即,∵，∴，即：，∴，∴，即.,所以雙曲線C的方程為：.（2）由題意可知直線l一定有斜率存在，設(shè)直線l：，，，，化簡得：，，此方程的兩根為，則，∴.，中點(diǎn)M坐標(biāo)為，即，∴PQ中垂線方程為：，令，∴，∴，則，∴，即為定值，定值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此類直線和雙曲線的位置關(guān)系類題目，涉及到定值問題，要設(shè)出直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡，解答的難點(diǎn)是計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，比如計(jì)算弦長或者其他線段長度，計(jì)算要十分細(xì)心.5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長公式及兩點(diǎn)距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無交點(diǎn)．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對(duì)應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因?yàn)?，所以設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，為2．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線問題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出所求的內(nèi)容，進(jìn)而進(jìn)行進(jìn)一步討論.6．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)DA并延長交C于點(diǎn)M，連結(jié)DB交C于點(diǎn)N．(1)若A為線段DM的中點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．【答案】(1)(2)【分析】(1)由于A是M，D的中點(diǎn)，設(shè)，由此推出M的坐標(biāo)，再根據(jù)A，M都在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；(2)設(shè)直線DA的方程，再根據(jù)A，B的對(duì)稱性設(shè)DB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)與A，B點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，將面積之比問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比問題.【詳解】（1）設(shè)，∴由A，M均在橢圓C上，∴，解得，，∴；（2）設(shè)DA方程為，，，，得，，∴，∴．同理∴，∴，∴；而，∴【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于要將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比，這個(gè)思路是在解題的開始時(shí)就應(yīng)該產(chǎn)生的，后面的步驟只是這個(gè)思路的具體執(zhí)行.7．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：過點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M、N.直線MA、NA分別交直線于點(diǎn)P、Q，求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線C的方程為，代入點(diǎn)，運(yùn)算求解即可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果，注意分類討論直線是否與軸垂直.【詳解】（1）∵雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線C的方程為，代入點(diǎn)，即，故雙曲線C的方程為.（2）由雙曲線C的方程為的方程可得，由題意可得點(diǎn)，則有：當(dāng)直線l與軸垂直時(shí)，則，可得直線，令，則，即點(diǎn)，同理可得：點(diǎn)，故，即；當(dāng)直線l不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得直線，令，則，即點(diǎn)，同理可得：點(diǎn)，∵，即點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故，即；綜上所述：的值為1.【點(diǎn)睛】方法定睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．8．（2023·江蘇·二模）如圖，過軸左側(cè)的一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線交于和四點(diǎn)，并且滿足，．(1)設(shè)的中點(diǎn)為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量關(guān)系，證得點(diǎn)、縱坐標(biāo)相等，從而得證；（2）根據(jù)向量關(guān)系得，又結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上表示出面積表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)思想求出最小值．【詳解】（1）設(shè)，，，，則由，，，，可得，．由點(diǎn)都在拋物線上可得化簡可得，同理可得，故，可視為二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，故，由此可得垂直于軸.（2）由（1）可得，；由，知，又是雙曲線左支上的一點(diǎn)，可得且，則，又當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)取最小值為．9．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為2【分析】（1）由與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4得出，再將代入的方程得出的方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理得出，再由點(diǎn)坐標(biāo)得出，最后由結(jié)合證明直線的斜率為定值.【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，將代入的方程可得，，故的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線，，．與聯(lián)立，整理得，所以，，解得，且，，，所以．（*）又，所以的坐標(biāo)為，由可得，，從而可得的縱坐標(biāo)，將（*）式代入上式，得，即．所以，，將（*）式代入上式，得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理得出，建立的關(guān)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出.10．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值.·【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間長度得出與，即可根據(jù)已知列式解出，即可得出答案；（2）根據(jù)第一問得出雙曲線的方程，設(shè)，直線l的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理得出，即可根據(jù)直線方程得出與，則根基兩點(diǎn)斜率公式得出，化簡代入即可得出答案.【詳解】（1）依題意可知，，則，，又，所以，解得（舍去），又，所以，則，所以的面積.（2）由（1）可，解得，所以雙曲線C的方程為，設(shè)，則，則，，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，則，故為定值.·11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線與分別交于點(diǎn).①判段直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn).請(qǐng)說明理由：②記直線的傾斜角分別為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)①過定點(diǎn)，定點(diǎn)，②【分析】（1）由題意得，解方程即可得出答案.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達(dá)定理結(jié)合直線的方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線的方程，即可證明直線定點(diǎn)；②由分析知，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，由兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以，所以的方程為.（2）①由題意得整理得，設(shè)，，直線的方程為，代入整理得，，設(shè)，則，所以，，即，同理.，所以直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn).②因?yàn)?，所以與正負(fù)相同，且，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值.由時(shí)，；所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值，取得最大值，此時(shí)直線的方程為.12．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓弦長公式、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意，因?yàn)椋?，即，兩邊平方并整理得．故點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，又，可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段中垂線的方程為，令，可得，對(duì)于直線，令，可得，所以又，所以，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，連接，分別交直線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于的直線交直線于點(diǎn)R．(1)求證：點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析.(2)存在，.【分析】（1）設(shè)設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，可得根于系數(shù)的關(guān)系式，表示出的坐標(biāo)，計(jì)算；繼而求出直線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的分析，求得，進(jìn)而表示出，，計(jì)算的結(jié)果，再求得的表達(dá)式，即可求得與之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：由題意知，，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，則，，直線的方程為，令，得，所以，同理，．所以,直線，令得，所以，則，故點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)，故，所以．故存在，使得．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類的題目時(shí)，解決問題的思路想法不是很困難，一般利用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)進(jìn)行化簡求值等，但難點(diǎn)在于計(jì)算的復(fù)雜性，以及計(jì)算量較大，并且大多為字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分細(xì)心.14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：的離心率為，直線：與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，直線平行于，且交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：的垂心在雙曲線C上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為可得，再聯(lián)立直線與雙曲線利用判別式可得的方程；（2）設(shè)方程，及的坐標(biāo)，由過A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，可得點(diǎn)H為.再證即可.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即，所以雙曲線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，即，因?yàn)榕c雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得,故雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，則滿足消去得，所以，，如圖所示，過A引的垂線交C于另一點(diǎn)H，則AH的方程為.代入得，即（舍去）或.所以點(diǎn)H為.所以，所以，故為的垂心，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于壓軸題.先求一條垂線與雙曲線的交點(diǎn)，再證另兩條過交點(diǎn)的直線互相垂直，由此得證，其中化簡斜率關(guān)系是關(guān)鍵，用到了轉(zhuǎn)化及整體消元的思想.15．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓，的上、下頂點(diǎn)是，，左，右頂點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在橢圓上，在四邊形中，若，，且四邊形面積的最大值為．(1)求的值．(2)已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：當(dāng)變化時(shí)，存在不同于的定點(diǎn)，使得．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，通過運(yùn)算得，，從而求出，利用最大值為即可求出的值；（2）先對(duì)直線取的特殊情況，通過特殊情況猜測點(diǎn)S在同一直線上，且的方程為，再證明，然后利用對(duì)稱性得出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）由已知，，設(shè)，，則因?yàn)?，，所以，，兩式相減得，代回原式得，因?yàn)?，所以，又，，因?yàn)镾的最大值為，所以，得或(舍去)，所以的值為2．（2）由已知有，取，可得，，則直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，可得交點(diǎn)為，若，，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)，若點(diǎn)S在同一直線上，則直線的方程為，以下證明：對(duì)任意的，直線與直線的交點(diǎn)S均在直線：上．由整理得設(shè)，，則，，設(shè)與交于點(diǎn)，由可得，設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，因?yàn)椋?，即與重合，所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)S均在直線上，因?yàn)?，，所以要使，只需為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)，故存在定點(diǎn)滿足條件．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最大值為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率可得，設(shè)點(diǎn)結(jié)合橢圓方程整理得，根據(jù)題意分類討論求得，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線及的坐標(biāo)，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算，注意討論直線的斜率是否存在.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則，則，因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，解得（舍去）；②當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述：，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)且，則，則直線為，令，得，即，同理可得.∵與關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，矛盾；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，其中且，聯(lián)立方程組，消去化簡可得，，則，所以，由，可得，所以直線的方程為，令，得，即，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，則，把代入上式，則，整理可得，則，∵，則，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)；綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法定睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m,0)．（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．17．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點(diǎn)分別做軸的垂線與橢圓交于四點(diǎn)，依次連接這四個(gè)點(diǎn)所得的四邊形恰好為正方形.(1)求該橢圓的離心率.(2)若橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，記，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列式，構(gòu)造齊次式得，求解即可.（2）聯(lián)立的方程點(diǎn)，再求三邊應(yīng)用余弦定理可得，同理得到，計(jì)算可得.【詳解】（1）由題意，，又因?yàn)?，故，即，解得（舍?fù)）（2）設(shè)橢圓的方程為.由題意知雙曲線的方程為.聯(lián)立的方程，解之得.不失一般性，可設(shè)在第一象限，所以點(diǎn)..同理，.....同理，因?yàn)榈碾x心率為，則.的離心率為，則.又，所以.18．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)是等腰直角三角形，且.(1)過橢圓的上頂點(diǎn)引兩條互相垂直的直線，記上任一點(diǎn)到兩直線的距離分別為，求的最大值；(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)試問：是否存在軸上的定點(diǎn)，使得.若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)滿足條件，理由見解析.【分析】（1）由條件先求，再求的坐標(biāo)，代入橢圓方程求，可得橢圓方程，由矩形性質(zhì)可得，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值即可；（2）假設(shè)存在軸上的定點(diǎn)滿足條件，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件關(guān)系列方程求即可.【詳解】（1）由是等腰直角三角形，得，.設(shè)，則由，得，代入橢圓方程得，所以橢圓的方程為.由幾何關(guān)系可知：，設(shè)，則且于是當(dāng)時(shí)，，的最大值是；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.假設(shè)存在軸上的定點(diǎn)，使得，即由題意可知直線的斜率不為0，所以可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程消去得，，且直線的斜率為，直線的斜率為由得：，，即恒成立.解得即存在軸上的定點(diǎn)使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.【答案】(1)(2)（i）1；（ii）證明見解析【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為2和，即可求得本題答案；（2）（i）設(shè)AB直線方程為，，得，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消，然后由韋達(dá)定理得，，把逐步化簡，即可求得本題答案；（ii）把和的直線方程分別求出，聯(lián)立可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得到本題答案.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線其中一條漸近線方程為，又點(diǎn)到它的距離為2，所以，又，得，又因?yàn)椋?，所以雙曲線C的方程為.（2）（2）設(shè)AB直線方程為，則，代入雙曲線方程整理得：，設(shè)，則，，（i）而，所以，，則，所以；（ii）過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為與聯(lián)立，得，即，則，所以，由，兩式相除得，，則，所以，因?yàn)?，所以，故P為線段MQ的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小題第一問考了如何用表示出來，進(jìn)而利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡求值，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的求解能力20．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為．連接，并過的中點(diǎn)分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)、右焦點(diǎn)到漸近線的距離和雙曲線關(guān)系可直接求得雙曲線方程；（2）設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，由可求得；由，可整理得到，同理可得，進(jìn)而確定方程，利用點(diǎn)差法可證得，結(jié)合弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式可表示出，設(shè)，可將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最小值.【詳解】（1）雙曲線的右焦點(diǎn)為，；右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，雙曲線的漸近線方程為，，解得：，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，切線，由得：，，解得：，，，，，，即，同理可得：直線；直線與直線交于點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足方程，即直線，同理可得：直線，即，點(diǎn)在直線上，，即點(diǎn)在直線上，，，，，，即，直線，由得：，，點(diǎn)到直線的距離為，，令，，，則，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的三角形面積最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線距離表示出所求三角形的面積；④將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可證得線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)，得直線的方程為，代入橢圓方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，即可證明的連線都是橢圓的切線；（2）根據(jù)四點(diǎn)共線，要證即證，設(shè)，不妨設(shè)，則證明轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與直線，直線與橢圓，利用坐標(biāo)關(guān)系即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：因?yàn)橛上タ傻?，，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，則，，直線的方程為，即，代入橢圓方程得，所以，整理得，即，所以，故是橢圓的切線.（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，要證，只需要，即證，設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以等價(jià)于，即，顯然，設(shè)直線的方程為，即，由，可得；由可得，從而可知，因此，所以結(jié)論成立.22．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，再利用弦長公式可證得成立；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式可得出的表達(dá)式，同理可得出的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）證明：設(shè)、，因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，解得．又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.因?yàn)橹本€經(jīng)過、，，所以，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由，得，.

所以，，因此，.（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中．聯(lián)立可得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，易知且，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn).過點(diǎn)作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點(diǎn)處切線斜率為；(2)過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線斜率互為相反數(shù).證明數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)設(shè)，可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，根據(jù)斜率關(guān)系可得的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)處切線斜率，從而可證拋物線在點(diǎn)處切線斜率為；.(2)設(shè)，根據(jù)題設(shè)的共點(diǎn)的直線的斜率關(guān)系可得，從而可證、為等差數(shù)列，故可證為等差數(shù)列.【詳解】（1）設(shè)則，同理.，即，，.當(dāng)時(shí)，，所以拋物線在點(diǎn)處切線斜率為，得證.（2）設(shè)，故直線，令，則，故，同理.當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，同理有，因?yàn)?，故，整理得到：，因此，由可得，故，因此，即為等差?shù)列，設(shè)其公差為.而，故，其中.又直線，因該直線過，故，解得，故，所以，故，而，故，所以為等差數(shù)列，設(shè)其公差為.故，故當(dāng)時(shí)，，該數(shù)為常數(shù).當(dāng)時(shí)，，該數(shù)為常數(shù)，而，故，故，故對(duì)任意的，為常數(shù)，故數(shù)列為等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解析幾何中的數(shù)列性質(zhì)的研究，要依據(jù)已有的條件構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，再對(duì)得到的遞推關(guān)系作消元處理從而得到純粹的單數(shù)列的遞推關(guān)系，這樣便于問題的解決.24．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B.在橢圓上任取兩點(diǎn)C，D，直線斜率存在且不過A，B.交于，交于，直線交y軸于R，直線交x軸于，直線交x軸于.(1)若a，b為已知量，求；(2)分別作，于E，F(xiàn)，求.【答案】(1)(2)1【分析】（1）設(shè)出直線，聯(lián)立直線與拋物線，由韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡即可.（2）由（1）結(jié)論可求得，由向量數(shù)量積幾何意義可得，即，結(jié)合幾何關(guān)系可得，則有.【詳解】（1）由題意知，，直線斜率存在且不過A，B，可設(shè)為，，，則有.聯(lián)立方程得，消y得，，則，.直線為，直線為，交于，聯(lián)立得，解得.故.（2）直線為，直線為，交于，聯(lián)立得，則由（1）結(jié)論可得.則有，即，即，故.又，于E，F(xiàn)，故.則有，，則有，故.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線問題，往往借助韋達(dá)定理去表示所求問題，一般難點(diǎn)在于運(yùn)算.25．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸、軸，且點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)直線與拋物線變于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn).（?。┤?，拋物線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求證：；（ⅱ）若，是否存在定點(diǎn)，使得直線的傾斜角互補(bǔ)?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)橢圓；拋物線；(2)（?。┰斠娊馕?；（ⅱ）存在，.【分析】（1）設(shè)橢圓方程，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求得結(jié)果；根據(jù)橢圓左頂點(diǎn)和拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）（?。┞?lián)立直線與拋物線方程，可得韋達(dá)定理的結(jié)論；假設(shè)切線方程，并聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求得所證等式中的各個(gè)基本量，整理可得結(jié)論；（ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，由傾斜角互補(bǔ)可知斜率和為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，可得韋達(dá)定理的結(jié)論；利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出兩直線斜率，根據(jù)斜率和為可構(gòu)造等式，消元整理得到.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為：，和在橢圓上，，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；由橢圓方程可知：橢圓的左頂點(diǎn)為，又，，解得：，拋物線的方程為；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，直線，即，令，則直線，設(shè)，，由得：，則，，，；設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為：，，由得：，，又，則，，則；同理可得：；聯(lián)立兩切線方程，將，代入，可解得：，，，又，；同理可得：；，要證，等價(jià)于證明，，又，，同理可得：，，即；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線，假設(shè)存在點(diǎn)，使直線的傾斜角互補(bǔ)，則直線的斜率之和為；設(shè)，由得：，，即恒成立，，，，，即，，即，解得：，假設(shè)成立，即存在點(diǎn)，使得直線的傾斜角互補(bǔ).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)定值問題，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)或方程的形式；④化簡所得式子，消元整理即可求得定點(diǎn)或定值.26．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)的內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為【分析】（1）聯(lián)立方程，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理列式求解；（2）根據(jù)（1）中的韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，由題意可得，解得，故的取值范圍為.（2）內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為，∵，即點(diǎn)在橢圓上，若直線過點(diǎn)，則，解得，即直線不過點(diǎn)，故直線的斜率存在，由（1）可得：，設(shè)直線的斜率分別為，則，∵，即，則的角平分線為，故的內(nèi)心恒在直線上.【點(diǎn)睛】方法定睛：存在性問題求解的思路及策略：(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．(2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時(shí)，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．27．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn),與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點(diǎn)R滿足,求直線的斜率的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）平移，利用齊次化的方法求解（2