將軍飲馬問題講義2

將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河

."詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題?如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短？這個問題早在古羅馬時代就有了，

傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，

名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的

B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為”將軍飲馬”的問題廣泛流傳?將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離是題眼）。所謂

軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。

而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段

ab這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。常見問題首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一般就是題目中的所求點，即那個不定的點。定點即為題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連線的點。1.怎么對稱，作誰的對稱？。簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定點?；蛘哒f只有定點才可以去作對稱的。

(不確定的點作對稱式?jīng)]有意義的)那么作誰的對稱點首先要明確關(guān)于對稱的對象肯定是一條線，

而不是一個點。那么是哪一條線？一般而言都是動點所在直線。2.對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個定點相連。

絕對不能和一個動點相連。明確一個概念：

定點的對稱點也是一個定點。例如模型二和模型三。3.所求點怎么確定？首先一定要明白，所求點最后反應(yīng)在圖上一定是個交點。

實際就是我們所畫直線和已知直線的交點。下面我們來看看將軍飲馬與二次函數(shù)結(jié)合的問題：1.如圖，拋物線y=axbxc經(jīng)過A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點

P,使得四邊形PAOC勺周長最??？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由.11CVL0【分析】(1)設(shè)交點式為y=a(x-1)(x-4),然后把C點坐標(biāo)代入求出a亠，于是得到拋4物線解析式為y=—x2-——x3;4

4(2)先確定拋物線的對稱軸為直線

x&，連結(jié)BC交直線x一于點P,如圖，利用對稱性得到PA=PB所以PAPC=PCPB=BC艮據(jù)兩點之間線段最短得到PCPA最短，于是可判斷此時四邊形PAOC勺周長最小，然后計算出

BC=5,再計算OCOAB即可.【解答】解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-4),把C(0,3)代入得a?(-1)?(-4)=3,解得a仝,所以拋物線解析式為氓(x-1)(x-4),即y弓x2-乎x3;(2)存在.因為A(1,0)、B(4,0),所以拋物線的對稱軸為直線x丄,2連結(jié)BC交直線x—于點P,如圖，貝UPA=PBPAPC=PCPB=BQt匕時PCPA最短,2所以此時四邊形PAOC勺周長最小，

因為BC=；

|、-=5,在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)x軸有兩個交點時,已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；

當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解?也考查了最短路徑問題.

點C的左邊)，與y軸交于點B.(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；(2)已知點D在坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABD是頂角為120°的等腰三角形，求點D的坐標(biāo);(3)若點P、Q位于拋物線的對稱軸上，且

PQ=—，求四邊形ABQF周長的最小值.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)令x=0,求出與y軸的坐標(biāo)；令y=0,求出與x軸的坐標(biāo)；(2)分三種情況討論：①當(dāng)AB為底時，若點D在AB上方；若點D在AB下方；②當(dāng)AB為腰時，A為頂點時，③當(dāng)AB為腰時，A為頂點時；仔細(xì)解答即可.(3)當(dāng)APBQ最小時，四邊形ABQP的周長最小，根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答.【解答】解:(1)當(dāng)x=0時,y=-|f」；當(dāng)y=0時，x=-1或x=2；則A(-1,0),B(0，-術(shù))，C(2,0)；(2)如圖，Rt△ABO中，OA=1OB=_；,?AB=2MABO=30，/BAO=60,?△ABD是頂角為120°的等腰三角形.

D在AB下方，由/BADMDBA=30,AB=2得D2(-2?(2,-V3)；

(3)當(dāng)APBQ最小時，四邊形ABQP的周長最小，把點B向上平移二個單位后得到B1(0,3?/BB1//PQ且BB=PQ?四邊形BBPQ是平行四邊形，?BQ=BP,?APBQ=APiB),要在直線X#；上找一點P,使得APBP最小，作點B1關(guān)于直線X」的對稱點，得B2(1,-''■'),2

3則AB就是APB