遼寧省錦州市重點中學2022-2023學年高二下學期第一次階段性數(shù)學試題及參考答案

-2023學年度第二學期第一次階段性考試高二數(shù)學試題一、單選題（每題5分，滿分40分）1．在等差數(shù)列中，首項，前3項和為6，則等于（）A．0 B．6 C．12 D．182．隨機變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，且，則（）X123PabcA． B． C．2 D．3．某學習小組共有10名成員，其中有6名女生，為學習期間隨時關(guān)注學生學習狀態(tài)，現(xiàn)隨機從這10名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解學情，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A． B． C． D．4．數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項和為（）A．2100 B．1680 C．1640 D．16205．為了解某種產(chǎn)品與原材料之間的關(guān)系，隨機調(diào)查了該產(chǎn)品5個不同時段的產(chǎn)品與原材料的價格，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：原材料價格x（萬元/噸）11.21.41.61.8產(chǎn)品價格y（萬元/件）55.8k8.18.8但是統(tǒng)計員不小心丟失了一個數(shù)據(jù)（用k代替），在數(shù)據(jù)丟失之前得到回歸直線方程為，則k的值等于（）A．7.1 B．7.2 C．7.3 D．7.46．某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是（）A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.0967．已知等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，若對任意的恒成立，則q的取值范圍是（）A． B．C． D．8．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，l，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N：且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）A．95 B．105 C．115 D．125二、多選題（每題5分滿分20，錯選得0分，漏選得2分）9．已知在數(shù)學測驗中，某校學生的成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則（）A．該校學生三成績的期望為110 B．該校學生成績的標準差為9C．該校學生成績的標準差為81 D．該校學生成績及格率超過95%10．在的展開式中，下列說法正確的是（）A．常數(shù)項為160 B．第3項二項式系數(shù)最大C．所有項的二項式系數(shù)和為 D．所有項的系數(shù)和為11．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，前n項和為，若對任意的，都有，則的值可能為（）A．2 B． C． D．12．已知數(shù)列滿足：，．下列說法正確的是（）A．存在，使得為常數(shù)數(shù)列 B．C． D．三、填空題（每題5分，滿分20）13．已知隨機變量，若，則______．14．2018年春季，世界各地相繼出現(xiàn)流感疫情，這已經(jīng)成為全球性的公共衛(wèi)生問題．為了考查某種流感疫苗的效果，某實驗室隨機抽取100只健康小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表：感染未感染總計注射104050未注射203050總計3070100參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過______的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染流感”有關(guān)系．【參考公式：．】0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82815．已知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是______．①若，則；②若，則是等差數(shù)列；③若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則；④若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則時，最大．16．已知數(shù)列的首項，且滿足，則存在正整數(shù)n，使得成立的實數(shù)組成的集合為______．四、解答題17．（滿分10分）已知數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項．18．（滿分12分）某產(chǎn)品的廣告費用支出x與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下的對應數(shù)據(jù)（單位：萬元）：x24568y3040605070（1）求y與x之間的回歸直線方程；（2）據(jù)此估計廣告費用為10萬元時銷售收入y的值．附：對于線性回歸方程中，，，參考公式：其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．19．（滿分12分）如圖，正方形ABCD對角線的交點為O，四邊形OBEF為矩形，平面平面ABCD，G為AB的中點，M為AD的中點．（1）證明：平面ECG．（2）若，求二面角的余弦值．20．（滿分12分）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調(diào)查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成［0，2］，(2，4］，(4，6］，(6，8］，(8，10］，（10，12］，（12，14］，（14，16］，（16，18］九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在（10，12］內(nèi)的概率；（2）為進一步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在（12，14］，（14，16］，（16，18］三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在（14，16］內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在（8，12］內(nèi)的概率，其中k=0，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．21．（滿分12分）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M在橢圓上，，若的周長為6，面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于P點，設，，試判斷是否為定值？請說明理由．22．（滿分12分）已知數(shù)列、滿足，，．（1）若為等差數(shù)列，寫出的通項公式，并求所有正整數(shù)k的值，使得；（2）若是公比2的等比數(shù)列，求證：高二數(shù)學第一次階段考試答案1．A2．A3．D4．C5．A6．B7．D8．A9．ABD10．ACD11．ABC12．ABD13．14．0.0515．②④16．17．（1）（2）【詳解】（1）由，得，所以，累乘得，又，所以時，，當時，，符合上式，所以.5（2）由（1），得，所以.1018．（1）（2）82.5【詳解】（1），1，24所以，，8所以回歸直線方程為，10（2）時，預報的值為萬元.1219．（1）證明見解析（2）【詳解】（1）連接，因為分別是的中點，所以，且，因為是正方形的中心，所以，因為，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面；6（2）因為正方形對角線的交點為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，則,設平面的法向量為，因為，所以，令，得，設平面的法向量為，因為，所以，令，得，設所求二面角為，則為銳角，，所以二面角的余弦值為．1220【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.20；2（2）由頻率分布直方圖得：這500名學生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在，內(nèi)的學生中抽?。喝?，4現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，6的分布列為：01238數(shù)學期望.10（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，恰有k名學生日平均閱讀時間在內(nèi)的分布列服從二項分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時最大.1221．（1）（2）為定值，理由見解析【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c，因為的周長為6，面積為，所以，由①得：，將此式代入②得：，所以，所以或當時，，，所以不滿足題意；當時，，，所以滿足題意．所以橢圓C的方程為.5（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知，設直線的方程為，則聯(lián)立，消去，整理得：，設，則，，7又，則，由可得，所以，同理可得，9所以所以為定值．