第五代數(shù)系統(tǒng)

第五代數(shù)系統(tǒng)第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、代數(shù)系統(tǒng)在一個非空集合A上定義f1,f2,…fn個二元運算構(gòu)成的系統(tǒng)叫代數(shù)系統(tǒng)。例1：<N,+－×÷>,<P(A),∩∪－⊕)>二、二元運算性質(zhì)1、封閉性設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果任意x,y∈A，x*y∈A，則稱二元*運算在集合A上是封閉的。例2：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,－,⊕)>，不封閉運算：<N,－÷>

2、交換性設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果任意x,y∈A，x*y=y*x，則稱二元*運算在集合A上是可交換的。例3：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,⊕)>第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一3、等冪設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果任意x∈A，x*x=x，則稱二元*運算在集合A上是等冪的。例4：<P(A),∩,∪>4、結(jié)合性設(shè)*是定義在A上的二元運算，如果任意x,y,z∈A,(x*y)*z=x*(y*z)，則稱二元*運算在集合A上是可結(jié)合的。 例5：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,⊕)>5、分配律設(shè)*和·是定義在A上的二元運算,如果任意x,y,z∈A,x*(y·z)=(x*y)·(x*z)，則稱二元*運算對·在集合A上是可分配的。例6:〈N,×,+〉×對+可以分配。<P(A),∩,∪>,∩對∪可以分配。6、吸收律設(shè)*和·是定義在A上的二元運算,如果任意x,y∈A,x*(x·y)=x，(x·y)*x=x，則稱二元*運算對·在集合A上是可分配的。例7:A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A

第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一7、削去律設(shè)*是定義在A上的二元運算，如果任意x,y,z∈A，x*y=x*z，y*x=z*x,最后得出y=z,則稱二元*運算在集合A上是可削去的。例8：滿足消去率A⊕B=A⊕C

不滿足消去率A∩B=A∩CA∪B=A∪C二、通過運算表求運算性質(zhì)說明：設(shè)<A,*>是一個代數(shù)系統(tǒng)，*是A上的二元運算，則該運算的一些性質(zhì)可直接由運算表得到，具體如下：運算*具有封閉性，當且僅當運算表中的每個元素都屬于A；運算*具有可交換性，當且僅當運算表關(guān)于主對角線是對稱的；運算*具有等冪性，當且僅當運算表的主對角線上的每一個元素與它所在行(列)的表頭元素相同。第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.2運算中的特殊元素一、幺元（e）1、e元定義設(shè)*是定義在A上的二元運算，如果存在一個元素el∈A,任意x∈A,el*x=x，則稱el為A中*運算的左幺元，同理，如果存在一個元素er∈A,任意x∈A,x*er=x，則稱er為A中*運算的右幺元。如果e是A中*運算的左幺元又是右幺元則稱e為*運算幺元。例1：<N,+>,e=0;<N,×>,e=1;<P(A,∩)>,e=A;<P(A,∪)>,e=Φ2、e元性質(zhì)e元唯一。

第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一二、零元

()1、零元定義設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，如果存在一個元素∈A，任意x∈A，*x=，則稱為A中*運算的左零元，同理，如果存在一個元素∈A，任意x∈A,x*=，則稱為A中*運算的右零元。如果是A中*運算的左零元又是右零元則稱為*運算零元。例2：<R,×>，零元是0；<P(A),∩>,零元=Φ;<P(A),∪>,零元=A2、零元性質(zhì)設(shè)<A，*>是代數(shù)系統(tǒng)，如果|A|>1，該代數(shù)系統(tǒng)存在e元和零元，則幺元≠零元。反證法：設(shè)e=，則任意x∈A，x*e=x*==x=e,與|A|>1矛盾。第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一三、元素逆元1、逆元定義設(shè)*是定義在集合A上的二元運算，e為幺元，如果A中某元素a存在

b∈A,b*a=e，則稱b是a左逆元。同理，a*b=e，則稱b是a右逆元。如果b既是a左逆元同時又是a右逆元，則稱b是a逆元，記作a-1=b。例3：<I,+>,a-1=-a;<R-{0},×>,r-1=1/r例4:已知<A,*>運算表如下所示，求每個元素逆元。

a-1=a,b-1=d;d-1=b,c-1=c*abcdaabcdbbcdaccdabddabc第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、逆元性質(zhì)1)設(shè)<A,*>，存在幺元e，每個元素都有左逆元，且*運算可結(jié)合。則這個代數(shù)系統(tǒng)中每個元素的左逆元必定是其右逆元，并且每個元素逆元唯一。證明：設(shè)任意a,b,c∈A，且b是a左逆元，c是b左逆元(b*a)*b=e*b=be=c*b=c*((b*a)*b)=(c*(b*a))*b=(c*b)*a)*b=(e*a)*b=a*b所以b也是a右逆元。2)逆元唯一反證：設(shè)a有兩個不相等的逆元b和c，則b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c總結(jié)：通過運算表求特殊元素A關(guān)于*有零元，當且僅當該元素所對應(yīng)的行和列中的元素都與該元素相同；A關(guān)于*有幺元，當且僅當該元素所對應(yīng)的行和列依次與運算表行和列一致；設(shè)A中有幺元，a和b互逆，當且僅當位于a所在行，b所在列的元素以及位于b所在行，a所在列的元素都是幺元。第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.3半群semigroup基本定義一、基本概念1、廣群設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一個二元運算，如果運算*是封閉的，則稱代數(shù)系統(tǒng)<A,*>是廣群。例1：<N,+>,<N,×>,<P(A),∩>,<P(A),－>,<P(A),⊕>2、半群設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一個二元運算，如果運算*是封閉的、可結(jié)合的，則稱代數(shù)系統(tǒng)<A,*>是半群。3、子半群設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>是半群，B?

A,如果*運算在集合B上滿足封閉性，則<B,*>是<A,*>子半群。例2：<N,×>是<R,×>的子半群。4、獨異點含幺元半群例3：<P(A),∩>，<P(A),∪>,〈N,+〉第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一二、有限半群性質(zhì)設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>是半群，A為有限集合，則必然存在a∈A，a*a=a.證明：因為A是有限半群，根據(jù)半群封閉性：則任意b∈A，必有b1,b2,b3,…,bi,…bj

∈A

又根據(jù)半群是有限的，必然存在i和j,使bi=bj

，(j>i,j=i+p)

即有bi=

bi*

bp則bi+1=

bi+1*

bpbi+2=bi+2*

bp…bkp=

bkp*

bpbkp=(bkp*

bp)*

bp…bkp=

bkp*

bkp

令bkp=a,所以有a*a=a例4：設(shè)<{a,b},*>是半群，且a*a=b.證明a*b=b*a，b*b=?

證明：a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一三、獨異點性質(zhì)1、設(shè)<A,*>是一個獨異點，則運算*的運算表中任何兩行或兩列都是不相同的。2、設(shè)<A,*>是一個獨異點，任意a,b∈A，且a,b都有逆元，則：

(a-1)-1=a(a*b)-1=b-1*a-1練習(xí)：設(shè)<R，*>是代數(shù)系統(tǒng)，其中R是實數(shù)集合，任意a,b∈R都有：a*b=a+b+a·b

證明：<R，*>是獨異點，判斷每個元素是否有逆元？設(shè)<S,*>是一個半群，a∈S，在S上定義·運算如下：任意x,y∈S,x·y=x*a*y,

證明：<S,·>也是一個半群。設(shè)A是一個非空集合，定義·運算：任意a,b∈A，a·b=a，證明<A,·>是半群。第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.4群和子群基本概念一、群1、群定義設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一個二元運算，如果：運算*是封閉的；運算*是可結(jié)合的；存在幺元；任意x∈A，存在它的逆元；則稱代數(shù)系統(tǒng)<A,*>是一個群。例1:〈I,+〉，〈R-{0},×〉第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2：設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<I,*>，其中任意a,b∈I,a*b=a+b-1，證明<I，*>是群封閉性結(jié)合性：設(shè)任意a,b,c∈I,則左：(a*b)*c=(a+b-1)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-1-1右：a*(b*c)=a*(b+c-1)=a+b+c-1-1=a+b+c-1-1e元：設(shè)任意a∈I，則a*e=a+e-1=ae*a=e+a-1=ae=1逆元：設(shè)任意a∈I,存在b∈I?a*b=e,則a+b-1=1b*a=e,則b+a-1=1b=2-a第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例3<{0,1,2,3,4,5}+6>是群+6012345001234511234502234501334501244501235501234+6可結(jié)合通過運算表可知：運算封閉，e=00-1=0，,1-1=5，5-1=1，2-1=4，4-1=2，3-1=3第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、群階設(shè)<G,*>是群，如果G是有限集，則稱<G,*>為有限群，G中元素的個數(shù)通常稱為該有限群的階數(shù)，記為|G|；如果G是無限集，則稱<G,*>為無限群。二、群的性質(zhì)1、群中無有零元當群階為1時，它的唯一元素視為幺元;|G|>1，且群有零元，則任意x∈G,x*=*x=≠ex不存在逆元。2、群中方程有唯一解

x*a=b3、群滿足削去率4、群中除e元外，無其它等冪元素反證：設(shè)存在a∈A且a≠e，a*a=a，則

a-1*a*a=a-1*aa=e第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5、有限群運算表中每一行或每一列都是G的元素的一個置換設(shè)S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。設(shè)集合S={a,b,c,d}，則下例都是S置換?？偨Y(jié)：群表中任何行（列）不會有相同的兩個元素存在；

G中每個元素都會在群表每一行（列）出現(xiàn)并且只能出現(xiàn)一次；群表中沒有兩行（列）相同的。例5：利用子群性質(zhì)寫出1至4階群表。

第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一三、子群的判定及性質(zhì)1、定義設(shè)<G,*>是一個群，S是G的非空子集，如果<S,*>也構(gòu)成群，則稱<S,*>是<G,*>的一個子群。例6：已知<I，+>是群，S?I，其中S是能被2整除的數(shù)，則<S，+>是<I，+>子群。例7：設(shè)<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，證明<H∩K,*>也是<G,*>子群。證明：因為H?G，K?G，所以H∩K?G；封閉性：設(shè)任意a,b∈H∩K，即a∈H且a∈K，b∈H且b∈K；因為<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群,所以a*b∈H,a*b∈K,故a*b∈H∩K；e元：因為<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以e∈H,e∈K,故e∈H∩K;結(jié)合性：繼承逆元：設(shè)任意a∈H∩K，即a∈H且a∈K，又因為<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以a-1∈H且a-1∈K,故a-1∈H∩K。綜上所述，<H∩K,*>滿足子群定義。第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、性質(zhì)設(shè)<G,*>是一個群，<S,*>是<G,*>的一個子群，那么，<G,*>中的幺元e必定也是<S,*>中的幺元。(用消去律證明)(群與子群共幺元)3、平凡子群設(shè)<G,*>是一個群，<S,*>是<G,*>的一個子群，如果S={e}或S=G，則稱<S,*>是<G,*>的平凡子群。第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一四、子群證明定理

1、有限子群證明:運算滿足封閉性設(shè)<G,*>是一個群，B是G的非空子集，如果B是一個有限集，那么，只要運算*在B上封閉，則<B,*>必定是子群。證明：設(shè)任意b∈B，*在B上封閉，則b1,b2,b3,…,bi∈B，由于B是有限集合，所以必然存在i和j，使bi=

bj

(設(shè)j>i)。即bi=

bi*bj-i,

說明bj-i是G和B中幺元；如果j-i>1，則bj-i=bj-i-1*b，說明b-1=bj-i-1如果j-i=1，則b是幺元，說明b逆元是自己本身例8：<{012345}+6>是群<{0,3}+6><{0,2,4}+6>都是原群的子群,+6滿足封閉性.

第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、任意子群證明設(shè)<G,*>是群，S是G的非空子集，如果任意a,b∈S有：a*b-1∈S，則<S,*>是<G,*>子群。證明：幺元：任意a∈S，a*a-1=e∈S；又因為a*e=e*a，所以e也是S幺元；逆元：任意a∈S，e∈S,則e*a-1=a-1∈S;封閉：設(shè)任意a,b∈S，則b-1∈S,有a*(b-1)-1∈S；結(jié)合性：*運算結(jié)合性可繼承。第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例9：設(shè)<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，證明<H∩K,*>也是<G,*>子群。證明：H?G，K?G，所以H∩K

?G設(shè)任意a,b∈H∩K

，即a∈H且a∈K

，b∈H且b∈K;因<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以b-1∈H，b-1∈K，故有：a*b-1∈H,a*b-1∈K。得出a*b-1∈H∩K

，故<H∩K,*>是<G,*>子群。練習(xí)：設(shè)<S,*>是群<G,*>的子群，令H={x|x∈G且x*S*x-1=S},證明：<H，*>也是群<G,*>的子群。證明：設(shè)a,b∈H,則a*S*a-1=S，b*S*b-1=S在b*S*b-1=S等式兩邊左乘b-1右乘b，得S=b-1*（b*S*b–1）*b=b-1*S*b則S=a*S*a-1=a*(b-1*S*b)*a-1=(a*b-1)*S*(b*a-1)=(a*b-1)*S*(a*b-1)-1得出：a*b-1∈

H<H，*>也是群<G,*>的子群。第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：設(shè)<G,*>是一群，存在x∈G,任意a,b∈G:定義a·b=a*x*b證明<G,·>是群。封閉性結(jié)合性任意a,b,c∈G,(a·b)·c=(a*x*b)·c=(a*x*b)*x*c=a*x*(b*x*c)=a*x*(b·c)=a·(b·c)幺元設(shè)任意a∈G，則a·e=a*x*e=a,并且e·a=e*x*a=a，解得：e=x-1元素逆元：設(shè)任意a∈G，則a·a-1=a*x*a-1=x-1,并且a-1·a=a-1*x*a=x-1,解得：a=x-1*a*x-1,所以a-1=(x-1*a*x-1)-1=x*a-1*x

第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一古典代數(shù)與近世代數(shù)古典代數(shù)的研究對象：方程；以方程根的計算和分布為研究中心近世代數(shù)的研究對象：代數(shù)系統(tǒng)古典代數(shù)的發(fā)展過程導(dǎo)致了群的概念的提出，發(fā)展成了近視代數(shù)古典代數(shù)的發(fā)展過程一元一次方程，公元前1700年一元二次方程，公園前幾世紀，巴比倫人一元三次方程：中國：在公元七世紀，一般的近似解法，唐朝數(shù)學(xué)家王孝通《緝古算經(jīng)》；西方：16世紀，意大利數(shù)學(xué)家，卡丹公式一元四次方程化為求一個三次方程和兩個二次方程的根一元五次方程19世紀法國青年數(shù)學(xué)家伽羅瓦:五次以上方程無根式解第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一近世代數(shù)創(chuàng)始人Galois（1811-1832）1830年12月因抨擊校長在“七月革命”中的兩面行為被開除。

1831年6月—7月，兩次被鋪

1832年5月29日，“請公開請求雅克比或高斯就這些定理的重要性而不是正確性發(fā)表的他們的看法。在這以后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這堆東西整理清楚對他們是有益的”1829年三月，發(fā)表第一篇論文

1829年五月，《關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題》1831年，《關(guān)于用根式解方程的可解性條件》1829年，父親自殺，兩次投考巴黎綜合工科學(xué)校被拒絕，進入高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一1830年12月因抨擊校長在“七月革命”中的兩面行為被開除。1831年6月—7月，兩次被捕1832年5月29日，“請公開請求雅克比或高斯就這些定理的重要性而不是正確性發(fā)表的他們的看法。在這以后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這堆東西整理清楚對他們是有益的”1832年5月30日，決斗身亡1846年，LiouvilleL《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》1870年，Jordan《論置換與代數(shù)方程》開創(chuàng)了置換群論的研究，徹底解決了一般方程的根式解難題。發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論—伽羅瓦理論，創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程碑，標志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一天才挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾窮牧師之子，七個兄弟姐們排行第二，家境貧寒，小時候由父親和哥哥教識字。1815年進入中學(xué)。自學(xué)歐拉、泊松和拉格朗日著作，使他的老師霍姆伯大為嘆服。1822年6月，阿貝爾靠霍姆伯的幫助，在克里斯蒂安妮亞大學(xué)念完了必須的課程。1824年—1826年，阿貝爾—魯芬尼定理：五次方程不存在代數(shù)解（緊縮成只有六頁的小冊子），引人了交換群（阿貝爾群）的概念，Gauss扔到書堆里。寄過一份長篇論文給法國科學(xué)研究院拉讓德，看不懂，轉(zhuǎn)給柯西，扔角落里。以證明一般五次方程不能被根式解以及橢圓函數(shù)論的工作而享有盛名，其后橢圓函數(shù)論發(fā)展成為阿貝爾函數(shù)論，從19世紀起一直是大熱門。工作還包括：為無窮級數(shù)理論奠定嚴密基礎(chǔ)。許多重要的數(shù)學(xué)概念以他名字命名：阿貝爾群，阿貝爾族，阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分等。第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一1829年4月6日，死于結(jié)核病，一生貧困，致死也不知道他的聲望已經(jīng)高不可沒。死后兩天，柏林大學(xué)寄來了教授聘書。第二年6月，法國科學(xué)院頒給著名的Grandprix(格蘭披治)獎。1830年，在柯西的舊書堆里找出阿貝爾手稿，1841年，這篇詩般的手稿又一次丟失，直到1952年才在佛羅倫薩被重新發(fā)現(xiàn)。法國數(shù)學(xué)家Hermit:“阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌500年。”第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.5阿貝爾群一、交換群commutativeG（阿貝爾群AbelG）1、定義如果群<G,*>中的運算*是可交換的，則稱該群為阿貝爾群，或交換群。注:關(guān)于運算表是對稱的。2、判斷設(shè)<G,*>是群，則其是阿貝爾群的充要條件是對于任意a,b∈G有：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)充分性：已知(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，證明是阿貝爾群。必要性：已知<G,*>是阿貝爾群，證明(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例1：<{0,1,2,3,4,5},+6>是阿貝爾群+6012345001234511234502234501334501244501235501234運算表關(guān)于主對角線對稱任意a,b∈{0,1,2,3,4,5},a*b=b*a第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2：已知<I,*>是群，任意a,b∈I，a*b=a+b-1證明：<I,*>是阿貝爾群。3、性質(zhì)阿貝爾群任何子群都是阿貝爾群。二、循環(huán)群cyclicG1、定義設(shè)<G,*>為群，若群G中的任意元素都由a的各次冪組成，則稱該群為循環(huán)群，元素a稱為循環(huán)群G的生成元。即G={a1,a2,…an,…}.例3：證明<{0,1,2,3,4,5}+6>是循環(huán)群11=112=213=314=415=516=0,所以1為生成元51=552=453=354=255=156=0,所以5也為生成元可見循環(huán)群生成元不唯一,并且a如果為生成元,則a-1也為生成元.2、性質(zhì)

(1)任何一個循環(huán)群必定是一個阿貝爾群，反之不定成立。證明：設(shè)<G,*>是一個循環(huán)群，生成元為a，則任意x,y∈G，必有r,s∈N,使得x=ar，y=as,則x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例4:

設(shè)<{a,b,c,d},*>為阿貝爾群，其群表如下：*abcdaabcdbbadcccdabddcba沒有生成元，所以不是循環(huán)群第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一(3)

設(shè)<G,*>是生成元為a的有限循環(huán)群，|G|=n,則an=e,且G={a1,a2,…an=e},

其中e為群幺元，我們稱n是an=e的最小整數(shù)(n為元素a的階或者周期)。第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.6陪集與拉格朗日定理一、陪集coset1、集合之積設(shè)<G,*>為群，任意A,B∈P(G)，其中A≠Φ，B≠Φ，則A*B={a*b|a∈A,b∈B}例1:<{a,b,c,d},*>，群表如下，其中子集A={a,b,c}，B={c,d}*abcdaabcdbbadcccdabddcbaA*B={c,a,d,b}第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一2、左陪集關(guān)系設(shè)<H*>是群<G*>的子群，令RL={<a,b>|,a,b∈G,a-1*b∈H},稱RL為子群H在G上的左陪集關(guān)系，并且稱RL為等價關(guān)系。證明：⑴自反性a-1*a=e∈H，所以<a,a>∈RL,即RL滿足自反性⑵對稱性設(shè)<a,b>∈RL,即a-1*b∈H,故(a-1*b)-1∈H,即b-1*a∈H所以<b,a>∈RL,即RL滿足對稱性；⑶傳遞性設(shè)<a,b>和<b,c>∈RL，即a-1*b∈H,和b-1*c∈H，由子群H的封閉性得：(a-1*b)*(b-1*c)∈H,得到：a-1*b*b-1*c∈H，即有a-1*c∈H，所以<a,c>∈RLRL，即RL滿足傳遞性接上例：設(shè)群<{abcd}*>,子群H={ac}，求RL={<a,a><b,b><c,c><d,d><a,c><c,a><b,d><d,b>}[a]RL={a,c},[b]RL={b,d}第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一3、子群的陪集⑴定義設(shè)<H*>是群<G*>的子群，任意a∈G,則集合{a}H稱為由a確定的H在G中的左陪集，簡即為：aH接上例設(shè)子群H={ac}，求H的不同左陪集：aH=cH={a,c}dH=bH={b,d}觀察知：[a]RL=aH,[b]RL=bH(2)陪集的性質(zhì)·[a]RL=aH證明：設(shè)任意b∈[a]RL,則a-1*b∈H，即b∈aH，故得[a]RLaH。同理，設(shè)任意b∈aH，即存在h∈H，使得a*h=b,解得h=a-1*b,所以<a,b>∈RL,即b∈[a]RL，故aH[a]RL綜上所述[a]RL=aH第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一·若a∈H，則aH=H，原因：根據(jù)群表行（列）是原集合置換的性質(zhì)·若b∈aH，則aH=bH，原因：[a]RL=aH，所以[a]RL=[b]RL·任意a,b∈G,則aH=bH不可兼或aH∩bH=Φ任意a∈G,H～aH構(gòu)造雙射函數(shù),f(h)=a*h接上例：設(shè)群<{a,b,c,d}*>,子群H={a,c}，求子群H在G上的左陪集關(guān)系：RL＝{a,c}×{a,c}∪{b,d}×{b,d}＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,c>,<c,a>,<b,d>,<d,b>}第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一二、拉格朗日定理lagrangetheorem已知群<G*>的子群為<H*>,|G|=n|H|=m,則m是n的因子。由于RL是G中的一個等價關(guān)系，所以RL不同的等價類是G的劃分塊：[a1]RL∪[a2]RL∪…∪[ak]RL

，并且每個劃分塊都和H等勢。n=|G|=總結(jié)：推論1任何階為質(zhì)數(shù)的群只有平凡子群。推論2有限群G任一元素的階（周期）必是|G|的因子。因為任意a∈G,由a為生成元構(gòu)成的子群H={ai|任意a∈G,i∈N}，H一定是G子群。以<{0,1,2,3,4,5}+6>為例。推論3階為質(zhì)數(shù)的群一定是循環(huán)群，并且除e元外都是生成元。例2：設(shè)群<{abcd}*>,a為幺元，求下列選項可能為原群子群的是。A.{ab}，B.{abc}，C.{bc}例3：已知<H*>和<K*>是群<G*>子群，設(shè)H∩K是G子群，且|H|＝2,|K|＝3,且|G|=6.求|H∩K|=？第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)：已知<{0,1,2,3,4,5}+6>為群，求其不同子群的不同左陪集關(guān)系及對應(yīng)的不同的等價類；分別對應(yīng)的集合的劃分設(shè)<G,*>是一群，令R={<a,b>|a,b∈G,存在x∈G使得b=x*a*x-1},證明R是G上的等價關(guān)系。第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一5.7同態(tài)與同構(gòu)一、基本概念1、同態(tài)映射設(shè)<A,*>和<B,·>是兩個代數(shù)系統(tǒng)，設(shè)f：A→B,對任意的a,b∈A，有：

f(a*b)=f(a)·f(b),則稱f為<A,*>和<B,·>的同態(tài)映射，稱<A,*>同態(tài)于<B,·>，記作：A~B。<f(A),·>是<A,*>同態(tài)像。其中f(A)={y=f(a),任意a∈A}B例1：f:<R,+>→<R,×>f(x)=2xf(x)是<R,+>→<R,×>的同態(tài)映射。注：兩個代數(shù)系統(tǒng)之間不可能存在一個同態(tài)映射。2、特殊同態(tài)映射設(shè)f為<A,*>到<B,·>的同態(tài)映射，如果f是從A到B的一個滿射，則稱f為滿同態(tài)；如果f是從A到B的一個入射，則稱f為單一同態(tài)；如果f是從A到B的一個雙射，則稱f為同構(gòu)映射。第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例2：上例是單一同態(tài)，但是不是滿同態(tài)。f:<R,+>→<R,×>例3:f:<R＋,×>→<R,＋>f(x)=㏑x是同構(gòu)映射3、自同態(tài)設(shè)<A,*>是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果f是從<A,*>到<A,*>的同態(tài)，則稱f自同態(tài)，如果f是從<A,*>到<A,*>的同構(gòu)，則稱f自同構(gòu)。例4：f:<R,+>→<R,＋>f(x)=x是自同態(tài)也是自同構(gòu)第40頁，共43頁，2023年，2月20日，星期一例5：設(shè)<A,*>是一個群，存在a∈A,如果f是從A到A的映射，并且任意x∈A都有f(x)=a*x*a-1,求證f是<A,*>到<A,*>的自同構(gòu)。證明：設(shè)任意x,y∈A,f(x*y)=a*x*y*a-1