信號變換域分析的目的

本文格式為Word版，下載可任意編輯——信號變換域分析的目的§8-1引言

一、變換域分析的目的

變換域分析的目的，在于將原來的求解問題簡化。

對于連續(xù)時間系統(tǒng)，通過L.T.，可以將原來求解微分方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問題；

對于離散時間系統(tǒng)，通過Z變換（Z.T.），可以將原來求解差分方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問題。

二、Z變換的發(fā)展史

十八世紀，DeMoivre提出生成函數(shù)，并應(yīng)用于概率論；

十九世紀Laplace、二十世紀Seal對其進行了進一步深入研究；二十世紀六十年代起，由于計算機技術(shù)和控制技術(shù)的飛速發(fā)展，抽樣控制理論的應(yīng)用，離散信號處理和數(shù)字信號處理得到了廣泛應(yīng)用。作為離散時間系統(tǒng)分析的重要工具，Z.T.得到了很大的發(fā)展，其用途甚至超過了L.T.

三、離散時間序列的頻域分析方法

離散時間系統(tǒng)和離散時間序列也可以通過正交分解的方法，在頻域進行分析。離散系統(tǒng)也有頻率響應(yīng)（對各種頻率的離散正弦信號的響應(yīng)）。傅利葉變換的離散形式——離散傅利葉變換（DFT）——在離散時間系統(tǒng)分析中同樣占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出訪得DFT在各種信號處理場合得到的廣泛的應(yīng)用。

除了DFT以外，其信號分析方法，如沃爾什變換等，在離散信號處理中同樣得到的很廣泛的應(yīng)用。

§8-2Z變換及其性質(zhì)

一、Z變換的定義

Z變換的定義可以從純數(shù)學的角度進行，也可以通過信號分解的

角度提出。后者更加簡單理解。本課程中，通過連續(xù)時間系統(tǒng)的F.T.，導(dǎo)出Z.T.。

離散時間信號f(k)可以看成是連續(xù)時間信號通過抽樣而得到的沖激序列：

??f(k)f?(t)?f(k)?(t?kT)——>

k????

對其f?(t)進行F.T.：

F(j?)??????f?(t)e?j?tdt???????????f(k)?(t?kT)??e?j?t?dt?k???????f(k)?(t?kT)e?j?tdtk??????????????f(k)??k??????????(t?kT)e?j?tdt???????f(k)e?j?kT??f(k)?ej???kTk???k?????根據(jù)Dirichlet條件，只有在信號滿足絕對可積條件——這里可以

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??(k)???變成絕對可和條件：k?f???——時，F(xiàn)T才存在。假使不滿足，

可以利用LT中的方法，在信號上首先乘以一個衰減因子

e?rkT，然后

再求FT。這樣一來上式就可以變成為：

F(r?j?)?????t??f?(t)e?rkTe?jdt??er?j???kTk???f(k)???為了簡化，假設(shè)T=1，則：

F(r?j?)?k???f(k)?er?j???k???

設(shè)z?e(r?j?)，帶入：

??F(z)??kk?f(k)z???上式稱為序列f(k)的

Z變換。F(z)由被稱為序列f(k)的生成函數(shù)，用它可以導(dǎo)出f(k)。

?上面的推導(dǎo)反映了抽樣信號的FT與用其沖激序列的強度構(gòu)成的信

號序列的ZT之間的關(guān)系，即：F(j?)?F(z)z?ej?而抽樣信號的LT

與用其沖激序列的強度構(gòu)成的信號序列的ZT之間的關(guān)系為：F(s)?F(z)z?es?假使實際抽樣序列的抽樣間隔

T不等于1,則上面兩個關(guān)系變?yōu)椋?/p>

F(j?)?F(z)z?ej?T，F(xiàn)(s)?F(z)z?esT

?在某些狀況下，Z變換的求和限可以簡化：

1、假使f(k)是一個左邊序列（其在k

?s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)；?s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外；?s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；2??

s平面上的多個點可以映射到z平面的一個點上，相角?隨?以T為周期重復(fù)。所以這種映射關(guān)系并不是一一對應(yīng)的。但是，在信號

帶寬滿足Nyquist取樣率???m?s2?T的狀況下，這種多點映射關(guān)

系并不影響我們分析。

二、一般連續(xù)信號f(t)的LT與它抽樣后得到的離散序列的ZT之間的關(guān)系。

抽樣取沖激幅度

連續(xù)信號——>理想抽樣序列——>離散序列F(s)F(z)已知信號的F(s),通過L?1T可以得到：

f(t)?1???j??F(s)est2?j??jds對f(t)理想抽樣，其沖激幅度序列為：

f(kT)?1???j??F(s)eskT2?j??jds對序列求ZT：

F(z)?Z{f(kT)}???1??j??z?kk?02?j???j?F(s)eskTds?1???j??skT2?j??j?F(s)?e?z?kdsk?0?12?j???j?F(s)??j?1?esTz?1ds??Res??zF(s)??z?esT?

i?F(s)在左半平面各極點

K1?假設(shè)：

F(s)?s?s1，則：

F(z)??Res??zK?1?i?(s?s1)(z?esT)???F(s)在左半平面各極點???K1z??K1z??z?esT??s?s1???z?es1T??

可見：F(s)在s1處有極點，而F(z)在es1T處有極點。

nF(s)?Ki?假設(shè)

?i?1s?si（假設(shè)沒有重極點），則有：

nF(z)??Kiz?

??i?1?z?esiT??——在F(s)沒有重根的狀況下,可以通過部分分解的方法得到F(z)。

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?從上面可以看出：F(s)的極點和F(z)的極點之間的關(guān)系為：

z?esT，或s?1Tlnz或：

z?e?T，???T

可見，F(xiàn)(s)和F(z)的極點的映射關(guān)系與上面的關(guān)系一致。這里同樣有多點映射的問題。

§8-5離散時間系統(tǒng)ZT分析法

與LT在連續(xù)時間系統(tǒng)中的作用一樣，在離散時間系統(tǒng)中同樣也

可以通過ZT，將求解差分方程的問題轉(zhuǎn)變成為求解代數(shù)方程的問題，從而是求解過程得到簡化。但是，它同樣也要引入兩次變換計算。

同LT一樣，通過對差分方程取ZT，可以自動引入初始條件，一次性得到系統(tǒng)的全響應(yīng)。但是，它不宜分清系統(tǒng)的響應(yīng)的物理含義。

在本課程中，仍舊分rzi和rzs兩部分，探討系統(tǒng)響應(yīng)的求解方

法。

一、rzi的ZT求解法

在輸入信號為零的條件下，差分方程變?yōu)榱艘粋€齊次差分方程。

其一般形式為：

?nairzi(k?i)?0i?0對其求ZT，可以得到：

?na?i?i?1(l)z?l??i?z???Rzi(z)??rzi???0i?0l?0???n??aii?1izRzi(z)?aizi?r?l?zi(l)z??0i?0?l?0??n?aizi?R?zi(z)??n?aizii?1r?zi(l)z?l?i?0i?0???l?0??

?n?ii?1azr(l)z?l?R?0??i?ziil?0??zi(z)??n?aiiz?i?0

所以，有了初始條件，就可以通過直接寫出Rzi(z)，再由反ZT

就可以得到rzi(k)。

但是，這種方法比時域解法繁雜，由于：1、形式繁雜，難于記憶；2、要進行反ZT計算。

二、rzs的ZT求解法

rzs(k?n)?an?1rzs(k?n?1)?...?a1rzs(k?1)?a0rzs(k)?bme(k?m)?bm?1e(k?m?1)?...?b1e(k?1)?b0e(k)零狀態(tài)響應(yīng)有好多推導(dǎo)方法。教材上提出了直接用這個差分方程的求解

方法。這里給出一個更加簡單的方法。為此將差分方程改寫為：

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rzs(k)?an?1rzs(k?1)?...?a1rzs(k?n?1)?a0rzs(k?n)?bme(k?m?n)?bm?1e(k?m?n?1)?...?b1e(k?n?1)?b0e(k?n)然后對方程兩邊求ZT（注意：1、系統(tǒng)初始狀態(tài)為零

;2、同時鼓舞信號也是一個有始信號;3、對于因果系統(tǒng)，m除了在z=0處的極點外，其余的極點和零點關(guān)于單位圓鏡像

z對稱（即兩者相角相等，幅度互為導(dǎo)數(shù),或i?1pi*）。（思考：如何證明？）

2、