第十三講統(tǒng)計學講義

第十三講統(tǒng)計學講義第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二一、假設檢驗問題什么是假設檢驗問題？我們先看幾個簡單的例子。例6.1.1在超市上出售的某種品牌方便面，按規(guī)定每袋凈重少于100克的比例不得超過1%。技術監(jiān)督部門從某超市的貨架上任意抽取200袋該種品牌的方便面，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)有3袋重量少于100克，試問：該超市出售的這種方便面是否符合質(zhì)量標準。在本例中，在超市上出售的這種方便面的不合格率是未知的，我們關心的問題是，如何根據(jù)樣本的不合格率p=1.5%,來判斷：在超市上出售的這種方便面的不合格率P≤1%是否成立。

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例6.1.2

按照質(zhì)量標準，某種導線的平均拉力強度為1200公斤，一批導線在出廠時抽取了100根進行檢驗，測得的平均拉力強度為1150公斤，試問：這批導線的平均拉力強度是否符合質(zhì)量標準。

在本例中，即將出廠的這批導線的平均拉力強度是未知的，我們關心的問題是，如何根據(jù)樣本的平均拉力強度公斤來判斷：這批導線的平均拉力強度是否成立。第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例6.1.3

某大型綜合商場通過隨機調(diào)查200名顧客，欲研究顧客的性別與顧客的購物金額之間是否存在一定的相關性。

在本例中，假設用隨機變量X表示顧客的性別，用隨機變量Y

表示顧客的購物金額，他們之間可能有關系，也可能沒有關系。我們關心的問題是，如何根據(jù)200名顧客的性別與購物金額的樣本數(shù)據(jù)來判斷：隨機變量X與Y是否相關。從上面3個例子可以看出，假設檢驗問題是先要對總體的參數(shù)、總體的分布或總體的特征作出某種假設，然后利用樣本數(shù)據(jù)去檢驗這個假設是否成立。第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二二、原假設和備擇假設對于假設檢驗問題，首先需要提出一個統(tǒng)計假設，記為H0，稱為原假設，也稱零假設或基本假設，另一個記為H1，稱為備擇假設，也稱備選假設或?qū)α⒓僭O。例如上面3個例子的統(tǒng)計假設分別為:H0:P≤0.01;H1：P＞0.01H0:;H1：H0:隨機變量X與Y獨立；H1：隨機變量X與Y不獨立。第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二關于總體參數(shù)的假設稱為參數(shù)假設，否則，稱為非參數(shù)假設。例如，例6.1.1、例6.2.2是參數(shù)假設，例6.1.3是非參數(shù)假設。完全決定總體分布的假設稱為簡單假設，否則，稱為復合假設。例如，“H：總體服從標準正態(tài)分布”和“H：p=0.05”是簡單假設；“H

：總體服從正態(tài)分布”和“H

：

p≠0.05”是復合假設。第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二三、假設檢驗的基本原理進行假設檢驗的基本原理就是小概率原理。小概率原理是說概率很小的事件（稱為“小概率事件”）在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的。根據(jù)小概率原理進行假設檢驗的方法就是概率意義下的反證法，其思想是：為了檢驗原假設H0是否正確，我們首先假定“H0正確”，然后來看在H0是正確的假定下能導出什么結果。如果導出一個與小概率原理相矛盾的結果，則說明“H0正確”的假定是錯誤的，即原假設H0不正確，于是我們應作出否定原假設H0的決策；如果沒有導出與小概率原理相矛盾的結果，則說明“H0正確”的假定沒有錯誤，即不能認為原假設H0是不正確的，于是我們應作出不否定原假設H0的決策。第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二基本原理圖示小概率原理：如果對總體的某種假設是真實的，那么不利于或不能支持這一假設的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設的真實性，拒絕這一假設?？傮w（某種假設）抽樣樣本（觀察結果）檢驗（接受）（拒絕）小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例如，有一個廠商聲稱其產(chǎn)品的合格率高達99%，那么從100件產(chǎn)品中隨機抽取1件，經(jīng)檢驗它恰好是次品的可能性就很小，因為抽中次品的概率僅為1%，是一個小概率事件。但如果在一次抽取中抽到了次品，那么我們就有理由懷疑該廠商的聲稱，認為合格率高達99%是不真實的，就可以作出廠商的聲稱是假的推斷。當然，我們也可能推斷錯了，即產(chǎn)品的合格率確實是99%，100件產(chǎn)品中確實僅有1件次品，而在這次抽取中恰好被抽到了。第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二事件的概率小到什么程度才算小概率事件，沒有一個絕對的標準，要根據(jù)具體問題而定，一般概率為0.10、0.05或0.01的事件，就可以認為是小概率事件。第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二四、否定域和接受域第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二圖6.1.1第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二五、假設檢驗的兩類錯誤在進行假設檢驗時，可能出現(xiàn)4種情況：

1.當H0為真時，檢驗統(tǒng)計量的值落在接受域里，這時應作出接受H0的決策；

2.當H0為真時，檢驗統(tǒng)計量的值沒有落在接受域而落在否定域里，這時應作出否定H0的決策；

3.當H0為非真時，檢驗統(tǒng)計量的值落在接受域里，這時應作出接受H0的決策；

4.當H0為非真時，檢驗統(tǒng)計量的值沒有落在接受域而落在否定域里，這時應作出否定H0的決策。顯然，在第1、4兩種情況下，作出的決策是正確的，在第2、3兩種情況下，作出的決策是錯誤的。第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二六、假設檢驗一般步驟根據(jù)具體問題的要求，建立總體假設H0，H112選擇統(tǒng)計量確定H0為真時的抽樣分布3給定顯著性水平α，當原假設H0為真時，求出臨界值。計算檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值與臨界值比較4第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二假設檢驗的一般步驟：（一）根據(jù)所研究問題的要求，提出原假設H0和備擇假設H1

。第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二原假設和備擇假設的選取說明假設檢驗是控制犯第一類錯誤的概率，所以檢驗本身對原假設起保護的作用，決不輕易拒絕原假設，因此原假設與備擇假設的地位是不相等的，正因為如此，常常把那些保守的、歷史的、經(jīng)驗的取為原假設，而把那些猜測的、可能的、預期的取為備擇假設。比如：對于雙側檢驗，這選擇問題應該比較簡單，一般都是“是不是”、“等不等于”和“變沒變”這一類的問題，一般我們期待的結果多為“不是”、“不等于”和“變了”這樣的結果，所以把不等號的設為備擇假設的。對于單側檢驗，一般都是“增加了”、“提高了”或“減少了”、“降低了”這一類問題，比如某產(chǎn)品的在使用了新技術生產(chǎn)后，問產(chǎn)品質(zhì)量是否提高了，我們期待的結果是提高了，這樣就把大于號定為備擇假設，相反的小于等于號定為原假設。第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二（二）選擇統(tǒng)計量確定H0為真時的抽樣分布第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二(三)給定顯著性水平α，當原假設H0為真時，求出臨界值。第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二（四）計算檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值與臨界值比較第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二幾種常見的假設檢驗總體均值的檢驗條件檢驗統(tǒng)計量Z拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z01.大樣本σ2已知或未知；2.小樣本正態(tài)總體σ2已知或第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二總體均值的檢驗條件檢驗統(tǒng)計量t拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

t(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μt0t00正態(tài)總體σ2未知(n＜30)第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二【例6－1】上次普查資料顯示某市人均居住面積為7.6平方米,現(xiàn)從該市中隨機抽取500人,調(diào)查并計算得平均居住面積為7.8平方米,標準差為1.5平方米,問在0.01的顯著性水平下,能否認為該市人均居住面積有所增大?第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二解：第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二【例6－2】某貿(mào)易公司用自動裝