雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)

第一部分雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、把握雙曲線的定義，理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，能根據(jù)條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、培養(yǎng)的分析能力、歸納能力、推理能力。

3、進(jìn)一步把握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，特別是要熟練把握用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。

4、會利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的知識解決實(shí)際問題。5、培養(yǎng)分析能力、歸納能力、推理能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；

難點(diǎn)：1、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；2、利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的知識解決實(shí)際問題。

例題分析

第一階梯

1

[例1]已知兩定點(diǎn)F1（-5，0）、F2（5，0），求與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于6的點(diǎn)的軌跡方程。分析：根據(jù)雙曲線的定義可知，動點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線，又由焦點(diǎn)位置可知，所求的點(diǎn)的軌跡方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：

由題意可知，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其方程可設(shè)為，這里2a=6,2c=10.

變題：如將此題條件中的6改為10，其余條件不變，求解此題。

解：由條件可知，所求點(diǎn)的軌跡是兩條射線，其方程為y=0(x≤-5或x≥5)

注意：在求解軌跡方程的問題時(shí)，要注意應(yīng)用有關(guān)曲線的定義去判斷所求的點(diǎn)的軌跡是什么曲線，如是已經(jīng)研究過的曲線，則可用曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程去求解。

[例2]

分析：分別求出橢圓及雙曲線的焦點(diǎn)即可。

證明：易得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-4，0）、（4，0），雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)也為（-4，0）、（4，0）。

[例3]

分析

2

跡是以B、C為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的左支。

解：在△ABC中，|BC|=10，

故項(xiàng)點(diǎn)A的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的左支。

其次階梯

[例4]

A、1

C、2

解：

+|PF2

F2

2

2

2

2|-|PF1||PF2|=16，由于∠1PF2=90°，所以|PF1|+|PF2|=|F1F2|=(2c)=20.所以

評注：此題考察雙曲線的基礎(chǔ)知識以及計(jì)算能力和推理能力。

3

[例5]在周長為48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，程。

求以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的雙曲線方

思路分析：首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，由于M、N為焦點(diǎn)，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。由雙曲線定義可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=c,所以利用條件確定△MPN的邊長是關(guān)鍵。

解答：

∴設(shè)|PN|=3k，|PM|=4k,則|MN|=5k,由3k+4k+5k=48,得k=4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10.

2

[例6]

4

思路分析：利用雙曲線的定義求解。解答：

由P是雙曲線上一點(diǎn)，得||PF1|-|PF2||=16。

∴|PF2|=1或|PF2|=33。

又|PF2|≥c-a=2，得|PF2|=33.

第三階梯

[例7]

交點(diǎn)，則|PF1|2|PF2|的值是（）

思路分析：橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，P在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到|PF1|和|PF2|的關(guān)系式，再變形得結(jié)果。解答：

5

兩式平方相減，得4|PF1|

2|PF2|=4(m-s)，故

|PF1|

2|PF2|=m-s。應(yīng)選A。

[例8]

解：

由題意得F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)

又PF1⊥PF2，則|PF1|+|PF2|=|F1F2|，

222

評注：此題考察雙曲線的方程等基礎(chǔ)知識。

[例9]已知動圓與定圓C1：(x+5)+y=49,C2:(x-5)+y=1都外切，求動圓圓心的軌跡方法。

2222

分析：設(shè)動圓圓心為P(x,y),半徑為r,則題意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6。解：

設(shè)動圓圓心為

P(x,y)，半徑為r,則題意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6，則動

圓圓心P的軌跡方程為

四、檢測題

6

1、ax2+by2

=b(ab

（1）可設(shè)所求雙曲線的方程為4x-9y=λ,用待定系數(shù)法求雙曲線方程。（2）、（3）同求橢圓的方程一樣，只要求出標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b即可。

22

解：

2y2（1）設(shè)所求雙曲線方程為4x-9=λ，點(diǎn)（1，2）在曲線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得λ=-32。

(3)由已知得橢圓x+5y=5的焦點(diǎn)為(±2，0)，又雙曲線的一條漸近線方程為

2

2

.則另一條漸

注意：求雙曲線方程的方法要靈活選擇。

[例3]

解：

11

評注：此題考察雙曲線的性質(zhì)。

其次階梯

[例4]

（1）求點(diǎn)P到它右準(zhǔn)線的距離；（2）求點(diǎn)P到它左準(zhǔn)線的距離。

分析：

（1）由雙曲線的其次定義可得點(diǎn)P到它的右準(zhǔn)線的距離，（2）先求得雙曲線兩準(zhǔn)線間的距離，后求點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離。

解：

（1）設(shè)P到右準(zhǔn)線距離為d,則

12

[例5]雙曲線的虛軸長、實(shí)軸長、焦距成等差數(shù)列，右準(zhǔn)線的方程是x=1,且經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），求：（1）雙曲線的離心率e；（2）雙曲線右焦點(diǎn)的軌跡方程。

解：

(1)依題意，有222a=2b+2c,即2a=b+c.

(2)設(shè)右焦點(diǎn)為F(x,y)，因點(diǎn)A在雙曲線上，由雙曲線的其次定義得

[例6]

思路分析：

解答：

13

第三階梯

[例7]

求雙曲線的離心率。

思路分析：

解答：

14

[例8]

思路分析：|PF|為焦半徑，此題可根據(jù)雙曲線的其次定義來解。

解答：

四、檢測題

15

1、雙曲線3x2-y2

=3的漸近線方程是（）

A、y=±3x

A、-16B、-4C、12D、144

A、±5B、±3C、25D、9

A、共同的準(zhǔn)線B、共同的漸近線C、共同的焦點(diǎn)D、共同的頂點(diǎn)

5、已知圓錐曲線mx2+4y2=4m的離心率e為方程2x2

-5x+2=0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線的條數(shù)為（）A、1B、2C、3D、4

6、雙曲線mx2-2my2

=4的一條準(zhǔn)線是y=1,則實(shí)數(shù)m等于（）

7、假使雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則雙曲線的離心率是（）

16

A、焦距B、準(zhǔn)線C、焦點(diǎn)D、離心率

形是（）

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、銳角或鈍角三角形

10、一條直線和一條雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

=_________.

13、證明：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于虛半軸長。

答案：

1—5CABCC6—10DAABB11、24

17

12、b13、略

其次部分

[本周重點(diǎn)]對照橢圓的研究來探討雙曲線的定義、方程、性質(zhì)、位置關(guān)系等

[本周難點(diǎn)]與漸近線相關(guān)的性質(zhì)探討[本周內(nèi)容]

1．第一定義:（與橢圓的第一定義對比）

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a(01)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.

3．

標(biāo)準(zhǔn)方程a>0,b>0.a>0,b>0.圖形對稱軸x軸，實(shí)軸長2ay軸，實(shí)軸長2ay軸，虛軸長2bx軸，虛軸長2b范圍x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a頂點(diǎn)坐標(biāo)(-a,0),(a,0)(0,-a)(0,a)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

18

焦距離心率|F1F2|=2c|F1F2|=2c準(zhǔn)線漸近線

4．焦半徑.

5．等軸雙曲線

實(shí)軸長與虛軸長相等的雙曲線叫等軸雙曲線.其離心率.

6．共軛雙曲線

以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，即線.共軛雙曲線有共同的漸近線.

與互為共軛雙曲

7．共焦點(diǎn)的圓錐曲線方程

與橢圓

2

共焦點(diǎn)的橢圓或雙曲線的方程為，根據(jù)條件確定λ的數(shù)值.

當(dāng)l>-b時(shí)，方程表示與已知橢圓共焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)-a0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)與已知雙曲線焦點(diǎn)在同一直線上的共漸近線雙曲線.

當(dāng)λ2或k5或-25

分析:上述方程表示雙曲線

解得k∈[0,2)∪(5,+∞)或k∈(-2,0),∴-25.答:C.

例2．雙曲線

的兩條漸近線所夾角的正切為______.

分析1:已知雙曲線的兩漸近線為即，其斜率分別為和-，設(shè)夾角θ，由夾角公式

.

20

分析2:設(shè)漸近線的傾角為，則，

∴

由α為鈍角，從而

，

，∴夾角正切為

.

例3．中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為

的雙曲線方程為____.

分析:由已知，這是處于標(biāo)準(zhǔn)位置上的雙曲線圖形，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱.因一條漸近線為，所以另一條漸近線是

，以這兩直線為漸近線的雙曲線系的方程為:，

又∵一焦點(diǎn)(0,3)在y軸上，∴方程應(yīng)為

，∴a2=4k2,b2=9k2.

由a+b=c得4k+9k=9,

22222

,∴雙曲線方程為.

點(diǎn)評:此題中，由于兩漸近線已知，也就是，所以在解法中運(yùn)用了“共漸近線的雙曲線系〞，直

接寫出了雙曲線系的方程，再用另一個(gè)條件就定出了參數(shù)k,這種方法對解已知兩漸近線的問題是常用的.

例4．雙曲線2mx-my=2有一條準(zhǔn)線y=1則m的值為_____.

分析:由于一條準(zhǔn)線是y=1.把方程改寫成其次種標(biāo)準(zhǔn)方程.

2

2

21

，其中，∴，

由

得解得.

例5．在雙曲線的一支上有三個(gè)不同點(diǎn)A(x1,y1),B(),C(x2,y2)，它們到焦點(diǎn)F(0,5)的距離成等差

數(shù)列.

（1）求y1+y2.（2）證明線段AC的中垂線過某定點(diǎn)，求該點(diǎn)坐標(biāo).

解:（1）依照與焦點(diǎn)距離的條件考慮轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線的距離

a=12,b=13,

22

,

,準(zhǔn)線l1的方程為:

.

由得|AF|=e|AA1|同理|BF|=e|BB1|,|CF|=e|CC1|,

∵|AA1|,|BB1|,|CC1|成等差數(shù)列，∴y1,6,y2成等差數(shù)列，∴y1+y2=12.

（2）欲證AC的中垂線過定點(diǎn)，我們只能用代數(shù)分析的方法，先求AC中垂線的方程:

∵A(x1,y1),C(x2,y2)在雙曲線上，∴

，

22

兩式相減得

即

∴

線段AC中點(diǎn)即，

∴AC中垂線方程為，即

可見AC中垂線必過定點(diǎn).

點(diǎn)評:此題的實(shí)質(zhì)在于“弦中點(diǎn)〞問題（弦AC），因此使用處理弦中點(diǎn)的通法.

[本周練習(xí)]

1．雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一漸近線為3x+5y=0，求離心率e.（）

2．P為雙曲線

上定點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩焦點(diǎn)，且∠F1PF2=φ，求證:ΔF1PF2面積為.測試

選擇題

1．“ab

又c=a+b,∴4ab=

222

c.兩邊平方，得16a(c-a)=3c.

22224

兩邊同除以a并整理得3e-16e+16=0，∴e=4或e=顯然，B、C都不正確，

44222

.

∵02

>1,>1,得e=

2

=1+>2,

∴e=4，故e=2.

說明：此題難度系數(shù)為0.47，難度較大.不但要用方程思想求出e，還要根據(jù)已知條件b>a檢驗(yàn)，得出符合條件的e.本

題由已知b>a，可知離心率大于等軸雙曲線的離心率，解出e=2與

5．選A.此題考察雙曲線的基本知識，以及計(jì)算能力和推理能力.

后就可斷定e=2.

解：[解法1]由雙曲線的方程知a=2,b=1,∴c=.因此|F1F2|=|2c|=2.

由于雙曲線是對稱圖形，如下圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,)，由已知F1P⊥F2P，

∴2=-1,即=-1，

得x=

2

.∴=2|F1F2|2=222=1.

[解法2]∵(|PF1|-|PF2|)=4a=16,而由勾股定理得|PF1|+|PF1|=(2c)=20,

22222

則|PF1||PF2|=

[|PF1|+|PF2|-(|PF1|-|PF2|)]=

222

(20-16)=2,∴=1.

說明：此題難度系數(shù)為0.56，有一定難度.解法2遠(yuǎn)強(qiáng)于解法1，解法2利用雙曲線定義與勾股定理求出|PF1|與|PF2|的積，進(jìn)而求ΔF1PF2的面積，思路明了，運(yùn)算簡便.

26

6.選B

解：由于|PF2|=|F2F1|，P點(diǎn)滿足=1，∴y=,∴2c=,

即2ac=b=c-a,∴2=e-7.選C

222

故e=1+.

解：由題意知a=-

2

,b=-

2

,∴a+b=-

22

-=-,c=-

2

.

∵準(zhǔn)線方程y=

8．選C

==1,∴-=,即=-,-6k=4,∴k=-.

解：∵雙曲線=1的漸近線為y=±x，點(diǎn)(-3,2)在漸近線y=-x下方其次象限，設(shè)所求方程為

=k,代入(-3,2)得k=,c=,

d=csinθ,tanθ=9．選B

,∴sinθ=,d=2.

解：∵關(guān)于直線x-y+2=0對稱，故可作變換公式，代入原雙曲線方程得=1，即

=1.

10．選A.

解：由題意知圓心為（5，0）.圓心到雙曲線漸近線的距離為圓的半徑r,

∴r=

=4,∴所求圓的方程為(x-5)+y=16,即x-10x+y+9=0.

27

2222

一類直線與圓錐曲線相交問題的解法

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題涉及到解析幾何主要研究對象，所用到的知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)．這里介紹的是一類直線與圓錐曲線相交問題的處理方法．

例1：已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，與雙曲線x-3y＝1有一致的焦點(diǎn)，直線y＝x+1與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求橢圓C的方程．

分析：此題是有關(guān)直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般方法是將直線方程代入到橢圓方程，消元得x(或y)的一元二次方程，利用韋達(dá)定

2

2

理和已知條件(此題是OP⊥OQ)，結(jié)合橢圓C與雙曲線的焦點(diǎn)之間的關(guān)系求出橢圓方程，這是解決有關(guān)直線與圓錐曲線相交問題的基本方法，應(yīng)注意把握．

解法1：雙曲線x-3y＝1的焦點(diǎn)為

22

設(shè)橢圓C的方程為。

由橢圓C與雙曲線x-3y＝l同焦點(diǎn)，知

22

，即。

由題意，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組

2

2

2

2

2

將(2)代入(1)，整理，得2(3b+2)x+2(3b+4)x+(3b+4)(1-b)=0(3)

設(shè)方程(3)的兩根為x1，x2，則直線y＝x+1與橢圓C的交點(diǎn)為P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

由OP⊥OQ，得,即,

也即x1+x2+2x1x2+1=0.

由韋達(dá)定理及方程(3)，得,

即3b+b-2=0,∴

42

.

28

故所求橢圓方程為.

上述方法中利用了條件，由此可以看出，若能夠構(gòu)造相應(yīng)的一元二次方程，使其兩根為與就可以了，

這就要利用橢圓C與直線y＝x+1得到相應(yīng)的關(guān)于的一元二次方程．

解法2：易知橢圓C的方程為即3bx+(3b+4)y=b(3b+4)

22

2

2

2

2

，

將其與直線方程y＝x+l聯(lián)立，得(2)3b(3b+4)-(1)，得

(3b+b)x-2b(3b+4)xy+(3b+4)(b-1)y=0.兩邊同除以x，得

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(3)

設(shè)P(xl，y1)，Q(x2，y2)，則是方程(3)的兩根．

又OP⊥OQ,∴,

由(3)和韋達(dá)定理，得,

即3b+b-2=0,

42

∴,

所求橢圓C的方程為(3)

上述解法2利用了條件OP⊥OQ，構(gòu)造了關(guān)于

的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得橢圓C方程中的參數(shù)b，較解法1簡單，

29

2

這不失為解決一類垂直問題的方法，但只能用于橢圓與雙曲線，對于拋物線不能得到相應(yīng)的二次齊次式．

從上述兩種解法中，我們可以看到在解決直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，不一定要求出它們的交點(diǎn)，就可以解決有關(guān)弦長，弦中點(diǎn)及直線與圓錐曲線中有關(guān)參數(shù)，其中的關(guān)鍵是由直線方程和圓錐曲線方程得出相應(yīng)的一元二次方程，并利用韋