高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算

2.2矩陣及其運(yùn)算線性代數(shù)矩陣也是是線性代數(shù)的重要工具，矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，最常見(jiàn)也最重要的就是解線性方程組。高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算本節(jié)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)要求

知識(shí)點(diǎn)矩陣的概念-矩陣的加減和倍數(shù)矩陣的乘法-初等變換和矩陣的秩逆矩陣-求解可逆矩陣方程教學(xué)要求熟練掌握矩陣運(yùn)算的基本法則熟練運(yùn)用初等變換，進(jìn)而能求矩陣的秩熟練運(yùn)用初等變換求矩陣的逆熟練運(yùn)用初等變換求解可逆矩陣方程高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算2.2.1矩陣的概念引例某商店上半年電視銷售情況(單位:百臺(tái))51吋47吋42吋一分店735二分店120求全年電視銷售情況？51吋47吋42吋一分店1065二分店231某商店下半年電視銷售情況(單位:百臺(tái))簡(jiǎn)記為高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算定義矩陣——矩形數(shù)表用大寫(xiě)黑體拉丁字母A,B,C等表示元素aij數(shù)學(xué)理論中，元素可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象;方陣：m=n時(shí),稱n階方陣或n階矩陣;1階矩陣就是一個(gè)數(shù).向量:1×n階矩陣——行向量,

n×1階矩陣——列向量.

矩陣的簡(jiǎn)記法:(aij)mn用行向量表示用列向量表示這里，Aj為列向量，Bi為行向量。高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算矩陣的相等矩陣的元素都一一對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才相等.行數(shù)和列數(shù)不相等的矩陣絕不能相等!行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱同型矩陣，即兩個(gè)矩陣相等的先決條件是兩者為同型矩陣。零矩陣矩陣O=(aij)mn的mn個(gè)元素均為零。即高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣AT顯然,n階方陣的轉(zhuǎn)置仍然是n階方陣.(AT)T=A.高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算系數(shù)矩陣和增廣矩陣?yán)?.2.1三元線性方程組的和分別是系數(shù)矩陣增廣矩陣n元線性方程組的情況見(jiàn)教材127頁(yè)。高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算中國(guó)古代算書(shū)《九章算術(shù)》中的“方程”

劉徽的《九章算術(shù)》中《方程》章是這樣說(shuō)的?！俺?，課程也。群物總雜,各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.”

這段話的意思可以從《方程》章的第一道題看出,題目是“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉,下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”(秉——捆)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算“置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實(shí)三十九斗于右方;中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除……”(直除——減去對(duì)應(yīng)的各數(shù)，到不能再減為止).

按照這種解法，列出下列算式：《方程》章的解法為高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算用右行上禾秉數(shù)3遍乘中行各數(shù)，得6,9,3,102減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)，得3,7,2,63，再減一次，得0,5,1,24，不能再減了(消去一個(gè)未知數(shù)——上禾每秉的實(shí));又用3遍乘左行各數(shù),得3,6,9,78減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)，得0,4,8,39.如下:高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算接著用中行“中禾不盡者遍乘左行而以直除……”，即接著消去左右兩行中的中禾每秉的實(shí),同現(xiàn)代的解一次方程組的加減消元法十分一致.最后:左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)，實(shí)即下禾之實(shí)。求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。實(shí)皆如法，各得一斗?！狈▏?guó)的彪特在劉徽之后約一千三百年的《算術(shù)》一書(shū)中開(kāi)始用不甚完整(沒(méi)有認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù))的加減消元法解聯(lián)立一次方程組。前面解題過(guò)程中的方框即可視為矩陣,可見(jiàn)矩陣并以矩陣解一次方程組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家首創(chuàng).高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算１)

定義2.2.2矩陣的加減和倍數(shù)

1、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如(即引例)說(shuō)明高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算(交換性)(結(jié)合性)(零矩陣的單位性)2)矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律(保持轉(zhuǎn)置性)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算(5)負(fù)矩陣的存在性和矩陣的減法稱為矩陣A的負(fù)矩陣。這就是矩陣的減法高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例2.2.1設(shè)某公司的職工按男女區(qū)分統(tǒng)計(jì)如下從矩陣A＋B中可了解該機(jī)械公司的職工總數(shù)情況：男性技術(shù)人員、生產(chǎn)工人、其他職工分別為150、400、15人，而女性職工分別為35、300、35人．我們分別用矩陣A和B來(lái)列出總公司和分公司的職工人數(shù)情況，然后匯總統(tǒng)計(jì)用矩陣A＋B表示，即總公司分公司技術(shù)人員生產(chǎn)工人其他技術(shù)人員生產(chǎn)工人其他男50100510030010女10200152510020高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例2.2.4設(shè)容易看出,有高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算1)定義2、矩陣的倍數(shù)(即數(shù)與矩陣相乘)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）2)數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律(對(duì)加法的分配性)(保持轉(zhuǎn)置性)(結(jié)合性)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算引例1計(jì)算過(guò)程可表示如下:2.2.3矩陣的乘法一個(gè)小學(xué)生買了12支鉛筆,每支0.3元;練習(xí)本15本,每本0.2元;藍(lán)墨水一瓶,價(jià)0.8元.共花去多少錢?這是一行矩陣與一列矩陣的乘法.高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算能用矩陣表示計(jì)算過(guò)程嗎?是否更簡(jiǎn)約?引例2

上例,若還有一個(gè)小學(xué)生買了8支鉛筆;練習(xí)本10本;藍(lán)墨水2瓶,各樣物品價(jià)格相同.兩人各自共花去多少錢?若另一商店的價(jià)格是用矩陣如何表示?有何優(yōu)點(diǎn)?當(dāng)我們處理大量數(shù)據(jù)的時(shí)候，就需要矩陣了高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算引例3

某商店上半年電視經(jīng)營(yíng)情況51吋47吋42吋一分店735二分店120某商店上半年電視銷售情況(單位:百臺(tái))簡(jiǎn)記為51吋47吋42吋進(jìn)貨價(jià)321.5銷售價(jià)3.32.21.6(單位:千元/臺(tái))高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算這個(gè)結(jié)果的意義是什么?進(jìn)貨金額銷售金額利潤(rùn)一分店34.537.73.2二分店77.70.7(數(shù)量矩陣×價(jià)格矩陣)(單位：十萬(wàn)元)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算并把此乘積記作設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中1.矩陣的乘法定義高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算設(shè)例2.2.6例2.2.5高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算故解高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例2.2.7

設(shè)A,B分別是n1和1n矩陣,且計(jì)算AB和BA.高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算解高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例如不存在.注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算矩陣乘積的認(rèn)識(shí)

定義4設(shè)A是一個(gè)mn矩陣,B是一個(gè)ns矩陣則A的第i個(gè)行向量與B的第j個(gè)列向量之乘積為一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是AB的第i行第j列的元素,且高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)定理2.2.1方陣的行列式即同階方陣乘積的行列式等于各自行列式的乘積。高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算因?yàn)樗匀绻?.矩陣的乘法和線性方程組的關(guān)系就有即高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算一般的線性方程組可以非常簡(jiǎn)單地表示為矩陣方程這里,高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算（其中為數(shù)）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且3.

矩陣乘法的性質(zhì)（運(yùn)算律）高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例設(shè)則從此例還可以看到:兩個(gè)非零的矩陣,其乘積可能等于零.因此在矩陣等式中,不能用消去律.注意矩陣不滿足交換律，即：×高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算則有但也有例外，比如設(shè)這屬于特例，稱之為“可交換矩陣”。高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算4.單位矩陣——如同數(shù)和乘法中的1單位矩陣是一個(gè)方陣,并且除左上角到右下角的對(duì)角線(稱為主對(duì)角線)上的元素均為1以外,其他元素全都為0,即這里,A是m×n階矩陣,上式任何矩陣左乘或右乘一個(gè)單位矩陣,其積仍為該矩陣.可驗(yàn)證高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算解法1例2.2.8已知高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算解法2高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算五、小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘（矩陣的倍數(shù)）矩陣與矩陣相乘（要逐步熟悉）轉(zhuǎn)置矩陣方陣的行列式對(duì)稱陣與伴隨矩陣共軛矩陣高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意作業(yè)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算思考題成立的充要條件是什么?高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算思考題解答答故成立的充要條件為高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算作業(yè)(教材第143頁(yè))2.2.4-2.2.6同學(xué)們?cè)僖?jiàn)！高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算九章算術(shù)卷八高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算解*

例2高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算由此歸納出小結(jié)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算當(dāng)時(shí)，顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算所以對(duì)于任意的都有高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算定義把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運(yùn)算(已并入前面各項(xiàng),其它的本書(shū)不再深入)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算3、對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例6設(shè)列矩陣滿足證明高數(shù)-矩陣概念及運(yùn)算例7