網(wǎng)孔分析法結(jié)點(diǎn)分析法

網(wǎng)孔分析法結(jié)點(diǎn)分析法：23,25,212,223.2第二章

運(yùn)用獨(dú)立電流、電壓變量的分析方法1.網(wǎng)孔分析法2.節(jié)點(diǎn)分析法3.含運(yùn)算放大器的電阻電路5.回路分析法3§2－1網(wǎng)孔分析法

在支路電流法一節(jié)中已述及，由獨(dú)立電壓源和線性電阻構(gòu)成的電路，可用b個(gè)支路電流變量來建立電路方程。在b個(gè)支路電流中，只有一部分電流是獨(dú)立電流變量，另一部分電流則可由這些獨(dú)立電流來確定。若用獨(dú)立電流變量來建立電路方程，則可進(jìn)一步減少電路方程數(shù)。對(duì)于具有b條支路和n個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面連通電路來說，它的(b-n+1)個(gè)網(wǎng)孔電流就是一組獨(dú)立電流變量。用網(wǎng)孔電流作變量建立的電路方程，稱為網(wǎng)孔方程。求解網(wǎng)孔方程得到網(wǎng)孔電流后，用KCL方程可求出全部支路電流，再用VCR方程可求出全部支路電壓。4網(wǎng)孔分析法

網(wǎng)孔電流

網(wǎng)孔電流方程及列寫規(guī)律

含受控源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫

含電流源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫51.網(wǎng)孔電流－指設(shè)想在電路的每個(gè)網(wǎng)孔里沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路循環(huán)流動(dòng)的假想電流，如圖中實(shí)線箭頭所示。

網(wǎng)孔電流6網(wǎng)孔電流是完備的變量（求出網(wǎng)孔電流，所有支路電流可定）。如圖中，i1=iA,i2=iB,i3=iC。如果某支路屬于兩個(gè)網(wǎng)孔所共有，則該支路上的電流就等于流經(jīng)該支路二網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。與支路電流方向一致的網(wǎng)孔電流取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)，即有

網(wǎng)孔電流是相互獨(dú)立的變量。如圖中的3個(gè)網(wǎng)孔電流iA,iB,iC,已知其中任意兩個(gè)求不出第三個(gè)。這是因?yàn)槊總€(gè)網(wǎng)孔電流在它流進(jìn)某一節(jié)點(diǎn)的同時(shí)又流出該節(jié)點(diǎn)，它自身滿足了KCL，所以不能通過節(jié)點(diǎn)KCL方程建立各網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，也就說明了網(wǎng)孔電流是相互獨(dú)立的變量。2.網(wǎng)孔電流是一組完備的獨(dú)立變量7

1.網(wǎng)孔方程：設(shè)圖中網(wǎng)孔電流

iA,iB,iC,其參考方向即作為列寫方程的巡行方向?？砂淳W(wǎng)孔列寫三個(gè)KVL方程

網(wǎng)孔電流方程及列寫規(guī)律

8網(wǎng)孔A

R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0網(wǎng)孔B

R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0網(wǎng)孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

按未知量順序排列，并將激勵(lì)源移至等式右端，整理得

9

規(guī)律：觀察上式可看出：iA前的系數(shù)(R1+R4+R5)恰好是網(wǎng)孔A內(nèi)所有電阻之和，稱它為網(wǎng)孔A的自電阻，以符號(hào)R11表示；iB前的系數(shù)(+R5)是網(wǎng)孔A和網(wǎng)孔B公共支路上的電阻，稱它為網(wǎng)孔A與網(wǎng)孔B的互電阻，以符號(hào)R12表示，由于流過R5的網(wǎng)孔電流iA、iB方向相同，故R5前為“+”號(hào)；iC前系數(shù)(-R4)是網(wǎng)孔A與網(wǎng)孔C的互電阻，以R13表示，由于流經(jīng)R4的網(wǎng)孔電流iA、iC方向相反，故R4前取“-”號(hào)；等式右端us1-us4表示網(wǎng)孔A中電壓源的代數(shù)和，以符號(hào)us11表示，計(jì)算us11時(shí)遇到各電壓源的取號(hào)法則是，在巡行中先遇到電壓源正極性端取負(fù)號(hào)，反之取正號(hào)。

10

歸納總結(jié)得到應(yīng)用網(wǎng)孔法分析具有3個(gè)網(wǎng)孔電路的方程通式(一般式)，即

如果電路有m

個(gè)網(wǎng)孔，也不難得到列寫網(wǎng)孔方程的通式為

…11或?qū)懗删仃嚨男问剑?/p>

：網(wǎng)孔i與網(wǎng)孔j的公共電阻，稱互電阻，可正可負(fù)，當(dāng)該兩個(gè)網(wǎng)孔電流在公共電阻上的方向一致時(shí)，互電阻為正，反之，互電阻為負(fù)。

在R矩陣中：：主對(duì)角線上的電阻稱為自電阻，恒為正，為第i個(gè)網(wǎng)孔中所有電阻之和。等式右邊為網(wǎng)孔中電壓升的代數(shù)和。12

若每個(gè)網(wǎng)孔電流的方向一律順時(shí)針或一律反時(shí)針繞時(shí)，則互電阻都為負(fù)值。

當(dāng)電路中不含受控源時(shí)，R矩陣（稱為電阻矩陣）為對(duì)稱矩陣，含受控源時(shí)，R矩陣不對(duì)稱。13網(wǎng)孔分析法計(jì)算步驟：1．在電路圖上標(biāo)明網(wǎng)孔電流及其參考方向。若全部網(wǎng)孔電流均選為順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向，則網(wǎng)孔方程的全部互電阻項(xiàng)均取負(fù)號(hào)。2．用觀察電路圖的方法直接列出各網(wǎng)孔方程。3．求解網(wǎng)孔方程，得到各網(wǎng)孔電流。4．假設(shè)支路電流的參考方向。根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流的線性組合關(guān)系，求得各支路電流。5．用VCR方程，求得各支路電壓。14例1用網(wǎng)孔電流法求解電流iP82比較解選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i15例2求圖示電路中的電壓uab。P77比較2.1.3含受控源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫16解

設(shè)網(wǎng)孔電流iA,iB

如圖中所標(biāo)，觀察電路，應(yīng)用方程通式列基本方程為由圖可以看出控制量u0

僅與回路電流iB

有關(guān)，故有輔助方程（1）（2）將(2)式代入(1)式并經(jīng)化簡(jiǎn)整理，得

（3）17解(3)方程組，得

所以

18例3列出網(wǎng)孔電流方程。

含電流源電路網(wǎng)孔電流方程的列寫19解：本例中電流源支路僅屬于一個(gè)網(wǎng)孔，則該網(wǎng)孔電流是已知的?？墒〉粼摼W(wǎng)孔的KVL方程。20例4對(duì)圖示電路，求各支路電流。

解本題兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路上有一理想電流源?？蓪D(a)電路伸縮扭動(dòng)變形，使理想電流源所在支路單獨(dú)屬于某一網(wǎng)孔，如圖(b)電路所示。理想電流源支路單獨(dú)屬于網(wǎng)孔B，設(shè)B

網(wǎng)孔電流iB

與is方向一致，則

21所以只需列出網(wǎng)孔

A

一個(gè)方程即可求解。網(wǎng)孔A

的方程為所以

22進(jìn)一步可求得電流

23例5：列出網(wǎng)孔電流方程。24解法一：假設(shè)電壓法本例中電流源接在兩個(gè)網(wǎng)孔間，各網(wǎng)孔的KVL方程均不可省，注意在方程中不要漏掉電流源的電壓。（補(bǔ)充方程）電流源的電壓25解法二：重選獨(dú)立回路法使電流為一個(gè)回路所擁有，則該電流就是電流源電流，可減少一個(gè)方程。26§2.1網(wǎng)孔分析法§2.2節(jié)點(diǎn)分析法§2.3含運(yùn)算放大器的電阻電路第二章網(wǎng)孔分析和節(jié)點(diǎn)分析27§2.2節(jié)點(diǎn)分析法（結(jié)點(diǎn)）

節(jié)點(diǎn)電壓

節(jié)點(diǎn)電壓方程及列寫規(guī)律

含受控源電路節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫

含電壓源電路節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫281.節(jié)點(diǎn)電壓(位)－任意指定電路中某個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)后，其余節(jié)點(diǎn)相對(duì)于參考節(jié)點(diǎn)的電壓降。

節(jié)點(diǎn)電壓選節(jié)點(diǎn)4作參考點(diǎn)(亦可選其他節(jié)點(diǎn)作參考點(diǎn))，則其余節(jié)點(diǎn)1，2，3對(duì)參考點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1,un2,un3。以節(jié)點(diǎn)電壓為變量列方程求解電路的方法稱為節(jié)點(diǎn)分析法。292.節(jié)點(diǎn)電壓是完備的變量。已知un1,un2,un3。顯然，這個(gè)電路中任何兩點(diǎn)間的電壓，任何一支路上的電流，都可應(yīng)用已知的節(jié)點(diǎn)電位求出。例如，支路電流電導(dǎo)G5吸收的功率

這就說明了節(jié)點(diǎn)電位是完備的變量。303.節(jié)點(diǎn)電壓是獨(dú)立變量觀察圖可見，對(duì)電路中任何一個(gè)回路列寫KVL方程，回路中的節(jié)點(diǎn)，其電位一定出現(xiàn)一次正號(hào)一次負(fù)號(hào)。例如圖中

A

回路，由KVL列寫方程為

將上式中各電壓寫為電位差表示，即有這就說明節(jié)點(diǎn)電壓變量是相互獨(dú)立的變量。31

節(jié)點(diǎn)電壓方程及列寫規(guī)律

設(shè)流出節(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)，可得節(jié)點(diǎn)1，2，3的KCL方程如下(1)32由支路VAR將各支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示，即

(2)33整理，得

將(2)式代入(1)式，得

34規(guī)律：以第一式為例，變量un1前的系數(shù)(G1+G5)恰是與第一個(gè)節(jié)點(diǎn)相連各支路的電導(dǎo)之和，稱為節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)，以符號(hào)G11表示。變量un2前系數(shù)(-G1),是1與2節(jié)點(diǎn)間的互電導(dǎo)，以符號(hào)G12表示，它等于與該兩節(jié)點(diǎn)相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號(hào)。un3

前系數(shù)(-G5)是節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)3之間的互電導(dǎo)，以G13表示，它等于與節(jié)點(diǎn)1、3相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號(hào)。等式右端is1-is2，是流入節(jié)點(diǎn)1的電流源的代數(shù)和，以符號(hào)is11

表示，稱為等效電流源。計(jì)算is11

時(shí)是以流入節(jié)點(diǎn)1的電流源為正，流出節(jié)點(diǎn)1的電流源為負(fù)。35

歸納總結(jié)得到應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法分析具有3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電路的方程通式(一般式)，即(7)同理可找出另兩式的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源，即

36

如果電路有

n

個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，我們也不難得到列寫節(jié)點(diǎn)方程的通式為

…(8)37

：連接在節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的公共電導(dǎo)，稱為互電導(dǎo)，恒為負(fù)。在電導(dǎo)矩陣G中：

：主對(duì)角線上的電導(dǎo)稱為自電導(dǎo)，是連接在節(jié)點(diǎn)i上的所有支路電導(dǎo)之和，恒為正。

等式右邊是流入節(jié)點(diǎn)電流的代數(shù)和。矩陣形式：38

當(dāng)電路中不含受控源時(shí)，電導(dǎo)矩陣是對(duì)稱的，當(dāng)電路中含有受控源時(shí)，電導(dǎo)矩陣是不對(duì)稱的。

節(jié)點(diǎn)方程對(duì)平面電路和非平面電路都適合，而網(wǎng)孔方程只對(duì)平面電路適合。39

例1如圖示電路，求電導(dǎo)G1、G2、G3中的電流及圖中3個(gè)電流源分別產(chǎn)生的功率。

40于是可得

解：41用克萊姆法則解方程組

42設(shè)通過電導(dǎo)G1、G2、G3

的電流分別為i1、i2、i3,參考方向如圖中所標(biāo)，由歐姆定律電導(dǎo)形式可算得3個(gè)電流分別為

可得43例：列出圖示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。P82

含受控源電路節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫44解：45消去ux，整理得：若電路中含有受控源，列方程時(shí)可先將受控電流（壓）源看作獨(dú)立電流（壓）源，列完方程后再將控制變量消去。與電流源串聯(lián)的電阻可不列入方程462.2.4含電壓源電路節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫例：求

I1、I2、I3、I4。47解：本例中電壓源的一端接在參考節(jié)點(diǎn)，則另一端所在節(jié)點(diǎn)電壓是已知的。可省掉該節(jié)點(diǎn)的KCL方程。解得：48例：列出求解電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。49解法一：假設(shè)電流法本例中電壓源接在獨(dú)立節(jié)點(diǎn)間，各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的KCL方程均不可省，注意在方程中不要漏掉電壓源支路的電流。（補(bǔ)充方程）電壓源支路的電流50解法二：重選參考節(jié)點(diǎn)51試列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=GSUS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0－GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3

=－USGS例UsG3G1G4G5G2+_GS312變換為節(jié)點(diǎn)1的KCL52213設(shè)參考點(diǎn)用結(jié)點(diǎn)電壓表示控制量。列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程例解iS1R1R4R3gu3+u3_R2+－riiR5+uS_把受控源當(dāng)作獨(dú)立源列方程；53§2.1網(wǎng)孔分析法§2.2節(jié)點(diǎn)分析法§2.3含運(yùn)算放大器的電阻電路第二章網(wǎng)孔分析和節(jié)點(diǎn)分析54§2.3含運(yùn)算放大器電阻電路

運(yùn)算放大器概念

運(yùn)算放大器的電路符號(hào)及模型

運(yùn)算放大器的輸入方式

理想運(yùn)放552.3.1運(yùn)算放大器概念運(yùn)算放大器（Operationalamplifier簡(jiǎn)稱為Op）是用集成電路技術(shù)制作的一種多端元件，早期，它用來完成對(duì)信號(hào)的加法、微分、積分等運(yùn)算，故稱為運(yùn)算放大器，目前它的應(yīng)用已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出此范圍，是現(xiàn)代電子技術(shù)中應(yīng)用非常廣泛的一種器件，被制成體積很小的集成塊在電路中實(shí)現(xiàn)一定功能。

運(yùn)算放大器的主要作用是把輸入電壓ui放大一定倍數(shù)后再輸出，u0/ui的值稱為放大倍數(shù)，或增益，運(yùn)放的增益很高。

運(yùn)算放大器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)電路相當(dāng)復(fù)雜的多級(jí)放大器，關(guān)于它的內(nèi)部構(gòu)造及其工作原理等后續(xù)課會(huì)詳細(xì)討論，在電路分析中，只把它作為一種元件看待，著重它的端口特性。56集成運(yùn)算放大器57

符號(hào)7654321+15V－15V8個(gè)管腳：2：倒向輸入端3：非倒向輸入端4、7：電源端6：輸出端1、5：外接調(diào)零電位器8：空腳單向放大58

應(yīng)用信號(hào)的運(yùn)算電路比例、加、減、對(duì)數(shù)、指數(shù)、積分、微分等運(yùn)算。產(chǎn)生方波、鋸齒波等波形信號(hào)的處理電路信號(hào)的發(fā)生電路有源濾波器、精密整流電路、電壓比較器、采樣—保持電路。592.3.2運(yùn)算放大器的電路符號(hào)及模型－＋Au-u＋uo＋－A(u＋-u_)u_u＋Ri＋－uoRo在電路符號(hào)中，‘＋’端為同相輸入端，用u＋表示同相端的輸入電壓；‘－’端為反相輸入端，用u-表示反相端的輸入電壓（＋、－并不表示電壓的極性）;uo為輸出端電壓;A為增益（放大倍數(shù)），一般在105107之間。

在電路模型中，Ri為輸入電阻，一般在106以上，Ro為輸出電阻，一般在10100之間。60電路模型

Ri—輸入電阻

R0—輸出電阻

A—電壓放大系數(shù)

負(fù)端接地

受控源=AUb

正端接地

受控源=-AUa

當(dāng)運(yùn)算放大器的放大倍數(shù)為無限大時(shí)稱為理想運(yùn)放

理想運(yùn)放的特點(diǎn)：

+Ua-+Ub+RiR0+U0A(Ub-Ua)+_(1)由于A→∞，而U0為有限值

Ub－Ua＝0

輸入電壓為零（2）輸入電阻無限大輸入電流為零（3）輸出電阻為零61

1、虛短：兩輸入端電壓差為零，即：同相端電壓等于反相端電壓。

ud=u+-u-=0

或u+=u-2、虛斷：兩輸入端不取電流。

i+=i-=0

注:對(duì)實(shí)際運(yùn)放有:u+≈u-

i+=

i-≈03理想運(yùn)放特點(diǎn):分析含理想運(yùn)放的電路必須用到它的這兩個(gè)特性。并與結(jié)點(diǎn)電壓法相結(jié)合62在a,b

間加一電壓ud=u+-u-，可得輸出uo和輸入ud之間的轉(zhuǎn)移特性曲線如下：實(shí)際運(yùn)算放大器的特性Usat-Usat-Uo/VUd/mV0實(shí)際特性au+u-uoo+_ud_+A+b63Usat-Usat-Uo/VUd/mV0分三個(gè)區(qū)域：①線性工作區(qū)：|ud|

<

則

uo=Aud②正向飽和區(qū)：③反向飽和區(qū)：ud>

則uo=Usatud<-

則uo=-Usat是一個(gè)數(shù)值很小的電壓，例如Usat=13V,A=105，則=0.13mV。近似特性注意64例：比例器圖示為反向放大器，試求圖中運(yùn)放電路輸出u0與輸入us的關(guān)系。P87u065解：節(jié)點(diǎn)2的方程為：

－G1u1＋(G1+G2)u2－G2u3=0因?yàn)閡+=u－，可知反相端相當(dāng)于接地，故得：u2=0u0由此可得：66例：下圖表示一個(gè)由理想運(yùn)算放大器模型構(gòu)成的加法器，它可以對(duì)輸入電壓us1,us2,…..usn進(jìn)行加法運(yùn)算。67解：根據(jù)KCL，并注意到ud=0和i_=0,可得：或：令：則有：

此式表明輸出電壓u0在數(shù)值上等于輸入電壓us1,us2,…usn之和。這就是加法器命名的依據(jù)。電流68

節(jié)點(diǎn)分析法特別適用于分析含運(yùn)放的電路，在理想運(yùn)放的情況下，請(qǐng)注意以下規(guī)則：(1)在運(yùn)放的輸出端應(yīng)假設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓，但不必為該節(jié)點(diǎn)列寫節(jié)點(diǎn)方程；

(2)在列寫節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，注意運(yùn)用u+=u-

及i+=i-=0兩式，以減少未知量的數(shù)目69例：電壓跟隨器①輸入阻抗無窮大(虛斷)；②輸出阻抗為零；應(yīng)用：在電路中起隔離前后兩級(jí)電路的作用。③uo=ui。電路A電路B特點(diǎn)+_+_uiuo_++70例可見，加入跟隨器后，隔離了前后兩級(jí)電路的相互影響。P89A電路R2RLR1+_u2+_u1+_u1R1R2RL+_u2_++71例：非倒向比例器u+=u-=uii+=i-=0uo=[(R1+R2)/R2]

ui

=(1+R1/R2)ui(uo-u-)/R1=u-/R2根據(jù)“虛短”和“虛斷”

uo與ui同相當(dāng)R2=，R1=0時(shí)，

uo=ui，為電壓跟隨器輸入、輸出關(guān)系與運(yùn)放本身參數(shù)無關(guān)。結(jié)論RiuiR1R2u+u-i-+_uo+_i+_++72例：減法運(yùn)算u-=u+i-=i+=0i1=if解得：+_uoR2Rfi-u+u-R1R3ui1ui2i1if_++73uouiR1R2例1：求圖示電路中運(yùn)放的輸入和輸出關(guān)系。123解：列節(jié)點(diǎn)方程：解法二：2點(diǎn)虛地i1i2說明：利用運(yùn)放特點(diǎn)分析電路可簡(jiǎn)化計(jì)算補(bǔ)充練習(xí)74例2、求uo和ui的關(guān)系。uoR1R2uiN解：列N點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程75例3 求uo與u1、u2和u3的關(guān)系。u1u2u3uoR1R2R3RfN解：N點(diǎn)虛地76例4、求uo和ui的關(guān)系。P88R1uiuouiR1R2R4R3123（解法一）（解法二）i1i2i4i377

在以上的研究中可以發(fā)現(xiàn)，電路中的許多變量、元件、結(jié)構(gòu)及定律都是成對(duì)出現(xiàn)，并且存在相類似的一一對(duì)應(yīng)的特性。這種特性就稱為電路的對(duì)偶性。譬如，對(duì)電阻元件，其元件約束關(guān)系是歐姆定律，即

u=Ri

或i=Gu

如果將一個(gè)表達(dá)式中的u與i對(duì)換，R與G對(duì)換，就得到另一個(gè)表達(dá)式?！?.4電路的對(duì)偶性了解78

電路中結(jié)構(gòu)約束是基爾霍夫定律，在平面電路中，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)可列一個(gè)KCL方程

而對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔可列一個(gè)KVL方程

這里節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)，KCL與KVL對(duì)應(yīng)，電壓與電流對(duì)應(yīng)。具有這樣一一對(duì)應(yīng)性質(zhì)的一對(duì)元素（電路變量、元件參數(shù)、結(jié)構(gòu)、定律等），可稱為對(duì)偶元素。電路中的一切公式和定理都是從電路的結(jié)構(gòu)約束和元件約束推導(dǎo)出來的。既然這兩種約束都具有對(duì)偶的特性，那么由它們推導(dǎo)出的關(guān)系顯然也會(huì)有對(duì)偶特性。從上述討論中可知，如果電路中某一定理、公式或方程的表述是成立的，則將其中的元素用其相應(yīng)對(duì)偶元素置換所得到的對(duì)偶表述也成立。

79電壓電流KVLKCL磁鏈電荷開路短路電阻電導(dǎo)串聯(lián)并聯(lián)電感電容網(wǎng)孔節(jié)點(diǎn)電壓源電流源回路割集CCVSVCCS樹支連支VCVSCCCS電路的對(duì)偶特性是電路的一個(gè)普遍性質(zhì)，電路中存在大量對(duì)偶元素。以下是一些常用的互為對(duì)偶的元素：

80

對(duì)于圖示電路，圖(a)的網(wǎng)孔方程(網(wǎng)孔電流均為順時(shí)針方向)和圖(b)的節(jié)點(diǎn)方程分別為

比較可看出，它們的形式相同，對(duì)應(yīng)變量為對(duì)偶元素，所以通常把這兩組方程稱為對(duì)偶方程組。電路中把像這樣一個(gè)電路的節(jié)點(diǎn)方程與另一個(gè)電路的網(wǎng)孔方程對(duì)偶的兩電路稱為對(duì)偶電路。顯然圖(a)、(b)兩電路是對(duì)偶電路。

81網(wǎng)孔方程和節(jié)點(diǎn)方程的對(duì)偶性82惟一解：電路中各電壓、電流是根據(jù)兩類約束所建立電路方程的解答。但需注意，并非每個(gè)電路(模型)的各電壓、電流都存在唯一解。有些電路可能無解，或有多個(gè)解答。一般來說，當(dāng)電路中含有純電壓源構(gòu)成的回路時(shí)，如圖(a)所示，這些電壓源的電流解答將不是唯一的；當(dāng)電路中含有純電流源構(gòu)成的結(jié)點(diǎn)時(shí)，如圖(b)所示，這些電流源電壓的解答也不是唯一的。圖

不存在惟一解的電路舉例831.網(wǎng)絡(luò)圖論BDACDCBA哥尼斯堡七橋難題圖論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支，是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科。2.5回路分析法84大家公認(rèn)，圖論誕生于七橋問題。出生于瑞士的偉大數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707—1783）于1736年發(fā)表了論文《與位置幾何有關(guān)的一個(gè)問題的解》，文中提出并解決了七橋問題，為圖論的形成奠定了基礎(chǔ)。今天，圖論已廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)學(xué)科、運(yùn)籌學(xué)、控制論、信息論等學(xué)科中，成為對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行抽象的一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。在哥尼斯堡一個(gè)公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)？歐拉于1736年研究并解決了此問題，證明上述走法是不可能的。

852.電路的圖拋開元件性質(zhì)一個(gè)元件作為一條支路元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條復(fù)合支路543216有向圖65432178R4R1R3R2R6uS+_iR586圖的定義(Graph)G={支路，結(jié)點(diǎn)}電路的圖是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點(diǎn)與電路的支路和結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。圖中的結(jié)點(diǎn)和支路各自是一個(gè)整體。移去圖中的支路，與它所聯(lián)接的結(jié)點(diǎn)依然存在，因此允許有孤立結(jié)點(diǎn)存在。如把結(jié)點(diǎn)移去，則應(yīng)把與它聯(lián)接的全部支路同時(shí)移去。結(jié)論87從圖G的一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。(2)路徑(3)連通圖圖G的任意兩結(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個(gè)分離部分。88(4)子圖若圖G1中所有支路和結(jié)點(diǎn)都是圖G中的支路和結(jié)點(diǎn)，則稱G1是G的子圖。樹(Tree)T是連通圖的一個(gè)子圖且滿足下列條件：連通包含所有結(jié)點(diǎn)不含閉合路徑89樹支：構(gòu)成樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路樹支的數(shù)目是一定的連支（共有支路）數(shù)：不是樹樹對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的樹明確90回路(Loop)L是連通圖的一個(gè)子圖，構(gòu)成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)2條支路。12345678253124578不是回路回路2）基本回路的數(shù)目是一定的，為連支數(shù)；1）對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的回路；3）對(duì)于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)等于基本回路數(shù)。明確91基本回路(單連支回路)12345651231236支路數(shù)＝樹支數(shù)＋連支數(shù)＝結(jié)點(diǎn)數(shù)－1＋基本回路數(shù)結(jié)點(diǎn)、支路和基本回路關(guān)系基本回路具有獨(dú)占的一條連支結(jié)論92例87654321圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對(duì)應(yīng)的基本回路。876586438243注意網(wǎng)孔為基本回路。93了解割集分析法樹支電壓的特點(diǎn)獨(dú)立性由樹的定義可知：不存在任何閉合回路，但所有節(jié)點(diǎn)仍然連通。所以：樹支電壓不能用KVL約束。即，就KVL而言，樹支電壓是獨(dú)立的。完備性

選定樹后，任意增加一個(gè)連支，必定會(huì)和某些樹支構(gòu)成回路。所以，當(dāng)知道所有樹支電壓后，就能求出所有連支電壓。即：樹支電壓是完備的。節(jié)點(diǎn)電壓就是某個(gè)樹的樹支電壓94二、割集方程什么是割集？P15

對(duì)于一個(gè)電路的連通圖，若切割某些支路，就會(huì)使圖形成為兩個(gè)分離的部分，但只要少切割其中的任一條支路，圖形仍是連通的，這些被切割的支路集合就叫做割集。每個(gè)割集可列寫一個(gè)KCL方程即，KCL的推廣形式廣義節(jié)點(diǎn)

若切割線恰好圍繞單個(gè)節(jié)點(diǎn)，則為KCL的一般形式。95什么是基本割集？

使每個(gè)割集只包含一個(gè)樹支，這樣的割集稱作基本割集。因?yàn)?樹支數(shù)=n-1個(gè)所以：基本割集數(shù)=n-1個(gè)，可以列寫n-1個(gè)KCL方程。又因?yàn)椋簶渲щ娏魇歉髯缘?，其它割集沒有所以：基本割集方程是獨(dú)立的。

963.注意：若電路中有電壓源，最好把電壓源支路選作樹支，則電壓源電壓就會(huì)成為已知樹支電壓，方程數(shù)目減少。不能選作樹支的電壓源的處理方法同前面所講。

97二、連支電流的特點(diǎn)

1、獨(dú)立性

2、完備性選定樹后，每次只接上一條連支，就會(huì)構(gòu)成一個(gè)閉合回路，且這個(gè)回路是由一條連支和若干條樹支構(gòu)成的。連支電流稱為“基本回路電流”。例：三種樹組成三種不同的基本回路:一、基本回路：

基本回路數(shù)=連支數(shù)=網(wǎng)孔數(shù)=b-（n-1）§2-5回路分析法98三、利用連支電流或獨(dú)立回路電流列寫基本回路方程因?yàn)椋哼B支電流數(shù)=b-（n-1）個(gè)所以：基本回路電壓方程=b-（n-1）個(gè)稱為回路分析法?；芈贩匠绦问胶途W(wǎng)孔方程近似，網(wǎng)孔電流也是連支電流的一種。99例：電路如圖，求電流i1解:當(dāng)電路存在m個(gè)電流源時(shí)，若能選擇每個(gè)電流源電流作為一個(gè)回路電流，就可以少列寫m個(gè)回路方程。選擇原則:每個(gè)電流源支路只流過一個(gè)回路電流。選擇三