2023年高考最后一輪復習微專題19 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點、定值問題的通性通法研究（解析版）

微專題19圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點、定值問題的通性通法研究【秒殺總結(jié)】1、直線與圓錐曲線綜合應用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.2、定比點差法3、非對稱韋達與對稱韋達4、先猜后證5、硬解坐標【典型例題】例1．（2023·江西贛州·一模）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，滿足，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)點，點A，B在橢圓上，點N在直線：，滿足，，試問是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【解析】(1)解：由橢圓：的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，因為，可得，即，又由面積的最大值為，可得，即，因為，即，解得，所以橢圓的方程為.(2)解：由，，可得點四點共線，如圖所示，設過點的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設，則，聯(lián)立方程組，可得，即，因為，，可得，所以則，所以為定值.例2．（2023·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2且過點.(1)求橢圓C的方程；(2)過點作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【解析】（1）設橢圓的左右焦點為，由焦距為2可得，①由橢圓過點可得②，由①②可得，所以橢圓C的方程為；（2）設，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因為點，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，，即，所以直線AD恒過點．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線E：的離心率為2，左、右焦點分別為，點為雙曲線E右支上異于其頂點的動點，過點A作圓C：的一條切線AM，切點為M，且．(1)求雙曲線E的標準方程；(2)設直線與雙曲線左支交于點B，雙曲線的右頂點為，直線AD，BD分別與圓C相交，交點分別為異于點D的點P，Q．判斷弦PQ是否過定點，如果過定點，求出定點，如果不過定點，說明理由．【解析】（1）雙曲線的離心率為，因為雙曲線上點切圓C：于M，且，則，即，即，故雙曲線E的標準方程為.（2）弦PQ過定點，理由如下：由（1）得，則，.則直線為，聯(lián)立得，則，，，，，由得，.∴，∴為圓C的直徑，故弦PQ恒過圓心例4．（2023·山西·統(tǒng)考一模）雙曲線的左、右頂點分別為，，焦點到漸近線的距離為，且過點.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點，且，證明直線過定點.【解析】（1）由雙曲線可得漸近線為，不妨取漸近線即由焦點到漸近線的距離為可得，即由題意得，得，從而雙曲線的方程為.（2）設直線的斜率為，則直線的斜率為，由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，于是，從而，化簡得，從而過定點.例5．（2023·天津濱海新·高三大港一中?？茧A段練習）已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)過點且斜率為的直線交橢圓于，（?。┰O點在第一象限，且直線與交于.若，求的值；（ⅱ）連接交圓于點，射線上存在一點，且為定值，已知點在定直線上，求所在定直線方程.【解析】（1）以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，，即，，，，，橢圓的方程為：.（2）（?。┯桑?）得：，可設，，由得：，即；由得：，，，，，；在中，由正弦定理得：，，，則由得：，，，即，，，，解得：或.（ⅱ）由題意知：圓方程為：；，；不妨令位于第一象限，可設，由（?。┲?，若直線斜率存在，則，直線，由得：，，設，則，；當時，為定值，此時，則，此時在定直線上；當時，不為定值，不合題意；若直線斜率不存在，則，，，此時，則直線，設，則，，，則時，，滿足題意；綜上所述：點在定直線上.例6．（2023·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）已知橢圓（a＞b＞0），左頂點為A，上頂點為B，且，過右焦點F作直線l，當直線l過點B時，斜率為．(1)求C的方程；(2)若l交C于P，Q兩點，在l上存在一點M，且，則在平面內(nèi)是否存在兩個定點，使得點M到這兩個定點的距離之和為定值？若存在，求出這兩個定點及定值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設橢圓的半焦距為，則，因為，直線的斜率為，所以，又，解得，所以C的方程為．（2）由題得，當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=my＋1，聯(lián)立消得，，方程的判別式，設，則，則，因為，所以，即，所以，，所以，即，則點M是以，為焦點，長軸長為2的橢圓上的點．當直線l的斜率為0時，l與C相交于或，因為，則點M為，此時點M也是以，為焦點，長軸長為2的橢圓上的點，所以存在兩個定點分別為，，點M到這兩個定點的距離之和為定值2．例7．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓的離心率為，過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓交于兩點，且．(1)求橢圓的方程．(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點的坐標為，且軸，探究：直線是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由．【解析】（1）設橢圓的半焦距為．依題意，，故①．聯(lián)立解得，故②．聯(lián)立①②，解得，，故橢圓的方程為．（2）當直線的斜率不存在時，方程為．若直線過定點，則該定點在軸上．當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立消去整理，得．設，，則，，設．所以直線的方程為．令，得．因為，所以．所以此時直線過定點．直線也過點．綜上，直線經(jīng)過定點．例8．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的右頂點為，直線與雙曲線相交于兩點不是左右頂點），且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.【解析】（1）因為漸近線方程為，所以，焦點坐標到漸近線的距離為，解得：，因為，解得：，所以雙曲線的方程為；（2）由題意得：，與聯(lián)立得：，設，則，，，化簡得：，解得：或，當時，恒過點，當時，恒過點，此時中有一點與重合，不合題意，舍去，綜上：直線過定點，定點為，【過關測試】1．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知一動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù).(1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F做一條不垂直于y軸的直線，與動點C的軌跡交于M，N兩點，在直線l上有一點，記直線PM，PF，PN的斜率分別為，，，證明：為定值.【解析】（1）設動點，由題意知，，所以動點C的軌跡方程為C：.（2）當直線斜率不存在時，M，N的坐標分別為，，則.當直線斜率存在時，設直線方程為：.聯(lián)立直線和橢圓的方程，化簡得，則，，，，所以.即為定值，定值為22．（2023·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考期末）已知圓和定點P是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點M，設動點M的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)設，過的直線l交曲線E于M，N兩點(點M在x軸上方)，設直線AM與BN的斜率分別為，求證：為定值．【解析】（1）依題意，圓，則圓心，半徑為4，因為線段的垂直平分線交于點M，所以，又因為，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以曲線E的方程為.（2）若直線的斜率等于零，則M，N兩點與重合，不滿足題意，所以可設，聯(lián)立可得，即，所以，所以為定值.3．（2023春·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學考試）設橢圓的左?右頂點分別為，上頂點為，點是橢圓上異于頂點的動點，已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與直線交于點，直線與軸交于點，求證：直線恒過某定點，并求出該定點.【解析】（1）因為橢圓右焦點為，所以，因為橢圓經(jīng)過點，所以，又，所以，解得（負值舍去），所以，故橢圓的方程為.（2）依題意，，則，設直線的方程為（且），直線的方程為（且），則直線與x軸的交點為，易得直線的方程為，聯(lián)立，解得，則直線與直線的交點為，聯(lián)立，消去，得，解得或，此時，則點P的橫坐標為，故點P的縱坐標為，將點P的坐標代入直線的方程，整理得，因為，所以，即，因為，所以直線的方程為：，即，所以直線過定點.4．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）如圖，橢圓和圓，已知圓將橢圓的長軸三等分，橢圓右焦點到右頂點的距離為，橢圓的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓相交于點A，B．(1)求橢圓的方程；(2)若直線分別與橢圓相交于另一個交點為點P，M．求證：直線經(jīng)過定點．【解析】（1）由題意可得：，則，∵，解得，∴橢圓的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的斜率為k，則直線，聯(lián)立方程，解得或，∴，∵為圓的直徑，點E在圓上，則，即，∴，則直線，故用去替代k得，∵，∴直線，即，∴直線經(jīng)過定點．5．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點，M為雙曲線E上異于A、B的任意一點，直線MA、MB斜率乘積為，焦距為．(1)求雙曲線E的方程；(2)P為直線上的動點，若直線PA與E的另一交點為C，直線PB與E的另一交點為D．證明：直線CD過定點．【解析】（1）設，，，又因為焦距為,可得,則結(jié)合，所以雙曲線的標準方程為:.（2）設直線，，則，，直線，因為其過點，直線，因為其過點，,所以所以將代入上式，得化簡為若當時，代入化簡得，顯然不成立，舍去，當時，代入化簡得，即，即，當時，此時直線為，經(jīng)過定點與點重合，顯然不成立，舍去；當時，此時直線為，經(jīng)過定點與點重合，顯然不成立，舍去；所以，即，所以直線，即為，直線過定點.6．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的右焦點為F，P，Q分別為右頂點和上頂點，O為坐標原點，（e為橢圓的離心率），的面積為．(1)求E的方程；(2)設四邊形是橢圓E的內(nèi)接四邊形，直線與的傾斜角互補，且交于點，求證：直線與交于定點．【解析】（1）∵，∴，∴，又，，∴，，∴橢圓E的方程為．（2）∵直線與的傾斜角互補，且交于點，∴直線與關于x軸對稱，∴A與D，B與C分別關于x軸對稱．設，，則，，∴直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，，∴直線與交于點．設直線的方程為，與橢圓E的方程聯(lián)立得，由題意得，，解得，又，，∴，∴直線與交于定點．7．（2023·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）設橢圓的左焦點為，右頂點為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作兩條斜率分別為，的動直線，分別交橢圓于點A、B、C、D，點M、N分別為線段、中點，若，試判斷直線是否經(jīng)過定點，并說明理由．【解析】（1）由題意知，，解之得，故橢圓E的方程為．（2）設，，聯(lián)立得，，因為在橢圓內(nèi)部，則必有，故，，設直線，將代入，得，即，同理，，顯然，，是方程的兩根，則，因為，則，即，得，故直線，即，故直線經(jīng)過定點．8．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓，離心率，P為橢圓上一點，分別為橢圓的左、右焦點，若的周長為，(1)求橢圓E的方程；(2)若，M，N為橢圓上不同的兩點，且，證明橢圓上存在定點Q使得四邊形為平行四邊形．【解析】（1）因為，所以，依題意，所以，聯(lián)立解得，所以橢圓E方程為（2）當直線斜率存在時，設方程為，則直線的方程為，設點，聯(lián)立方程，可得：，則，即，所以，同理，所以，即為方程的兩個根，方程可化為，所以，所以，當直線斜率不存在時，方程與橢圓相交于，此時，所以直線過原點，若四邊形為平行四邊形，則取對稱點時成立.9．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）平面內(nèi)定點，定直線，P為平面內(nèi)一動點，作，垂足為Q，且．(1)求動點P的軌跡方程；(2)過點F與坐標軸不垂直的直線交動點P的軌跡于A，B兩點，線段的垂直平分線交x軸于點R，試判斷是否為定值．【解析】（1）設，因為，即，所以化簡整理，得，所以動點P的軌跡方程為（2）法一：由條件可得直線的斜率必存在且不為0，可設，聯(lián)立方程組消去y，得，設，則，設中點為，知，，∴線段的垂直平分線的方程為，令，得，所以，而，∴為定值．法二：設直線的方程為，聯(lián)立方程組整理得，設中點為，則，由可得，∴，，又線段的垂直平分線方程為，令，得，∴，∴為定值．10．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學考試）已知點在橢圓上，的長軸長為，直線與交于兩點，直線的斜率之積為.(1)求證：為定值；(2)若直線與軸交于點，求的值.【解析】（1）由題意知橢圓方程為.將橢圓平移至即，此時點平移至分別平移至，設直線方程為代入橢圓，整理得，兩邊同除以，令，則可看作關于的一元二次方程，的兩不等實根，，即，直線方程為，的斜率為定值，即的定值.（2）設，，即，故，，11．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)設點在直線上，過的兩條直線分別交于兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和，并求出該定值．【解析】（1）因為、，所以，所以軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，得，，所以軌跡的方程為.（2）如圖所示，設，設直線的方程為，.聯(lián)立，化簡得，則，故，則，設的方程為，同理：，因為，所以，化簡得，所以，即，即，因為，所以，故該定值為0．12．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設D為雙曲線C的右頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點D，且于點G，證明：存在定點H，使為定值．【解析】（1）由題意知，解得：，∴雙曲線C的標準方程為：；（2）證明：由（1）知，，設，①當l的斜率存在時，設l的方程為：，，即：，，，∵以EF為直徑的圓經(jīng)過點D，∴，又∵，，∴，又∵∴，即：化簡得：，即：，解得：或，且均滿足，當時，，直線l恒過定點，此時定點與D點重合，所以與已知相矛盾；當時，，直線l恒過定點，記為點；②當l的斜率不存在時，設l的方程為：，設，，或，則，此時，，∴，整理得：，解得：或∵或，∴，此時l恒過定點.綜述：l恒過定點.又∵，即：，（∵D、E、F三點都在直線l上）∴點G在以DM為直徑的圓上，H為該圓的圓心，即DM的中點，為該圓的半徑，即的一半.故存在定點，使得為定值6.13．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知雙曲線的右焦點為F，雙曲線C上一點關于原點的對稱點為，滿足.(1)求的方程；(2)直線與坐標軸不垂直，且不過點及點，設與交于、兩點，點關于原點的對稱點為，若，證明：直線的斜率為定值.【解析】（1）由已知可得，.則，，由可得，，所以.，又點在雙曲線上，所以.聯(lián)立，可得，所以，C的方程為.（2）法一：設，，則，所以，，由可得，，所以，整理可得，.由已知可設直線的方程為（且）.聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，.，所以.由韋達定理可得，又，，.所以，由可得，，整理可得，，因為，不恒為0，所以應有，解得.所以直線l的斜率為定值.法二：設，則，.所以，，所以.又由題意知，所以.將雙曲線平移至，即.則P平移至，A，B分別平移至，.設直線的方程為，代入雙曲線可得，，所以，.兩邊同除以，可得，所以，所以.所以，直線的方程為，所以，所以直線l的斜率為定值.14．（2023·山西長治·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，其右焦點為，焦距為4，直線過點，且當直線的傾斜角為時，恰好與雙曲線有一個交點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線交雙曲線于兩點，交軸于點，且滿足，判斷是否為常數(shù)，并給出理由.【解析】（1）因為雙曲線，所以其漸近線為，當直線的傾斜角為時，恰好與雙曲線有一個交點，又經(jīng)過焦點，可得此時直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，則，因為焦距為4，所以半焦距，又因為，所以，解得，故，所以雙曲線的標準方程為.（2）為常數(shù)，理由如下：由題意，知雙曲線的右焦點為，直線的斜率存在，設，直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，顯然，則，易知，因為，所以，所以，所以，所以為常數(shù)..15．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為．(1)求雙曲線的方程；(2)設，為雙曲線實軸的兩個端點，若過F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，試探究直線與直線的交點Q是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．【解析】（1）若雙曲線的方程且，，則，將代入雙曲線并整理得：，又直線與雙曲線交于A，B兩點，故且，由AB中點的橫坐標為，所以，則，所以，，故.（2）由（1），不妨令，，當直線l斜率不存在時，，則，此時，，則交點為；當直線l斜率存在時，，代入并整理，得：，過F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，故，令，則，，且，，聯(lián)立直線與直線得，所以，則，可得或（舍），綜上，交點Q在定直線上.16．（2023·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為F，斜率為的直線過點P，交C于A，B兩點，且當時，．(1)求C的方程；(2)設C在A，B處的切線交于點Q，證明．【解析】（1）設斜率為且過點P的直線為l：，其中.設.當時，l：，將其與聯(lián)立，消去x得：，由韋達定理有.又由拋物線定義知，又，結(jié)合，則.得C的方程為；（2）由（1）可得，P，則l：，將其與拋物線方程聯(lián)立，消去x得：，則.設C在A點處的切線方程為，C在B點處的切線方程為.將與聯(lián)立，消去x得：，因為拋物線切線，則聯(lián)立方程判別式，又，則，得，同理可得.將兩切線方程聯(lián)立有，代入，，解得，得.則，又，則，同理可得.注意到，則等價，下面說明.，因，則.又，則，故.17．（2023·重慶·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于M，N兩點，交y軸于P點，點N位于點M和點P之間.(1)若，求直線l的斜率；(2)若，證明：為定值.【解析】（1）設，因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率存在，且不為0，設直線l為，聯(lián)立與得：，則，，因為，所以，故，解得：，當時，，此時，解得：，直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，當時，，此時，解得：，直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，綜上：直線l的斜率為；（2）設，因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率不為0，設直線l為，令得：，故，聯(lián)立與得：，則，，因為，所以，，解得：，，所以，故為定值-1.18．（2023