2023年高考最后一輪復習微專題21 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究（解析版）

微專題21圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究【秒殺總結】1、基本思路（1）探索性問題，一般先對結論作肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證.（2）若導出矛盾，則否定先前假設（否定型）；若推出合理的結論，則說明假設正確（肯定型），由此得出問題的結論.（3）“假設一推證一定論”是解答此類問題的三個步驟.2、技巧總結（1）解決是否存在常數(shù)的問題時，應首先假設存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在.（2）解決是否存在點的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結果；也可以舉特例，然后再證明.（3）解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解（存在）.（4）解決是否存在最值問題時，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解析式判定其最值是否存在，然后得出結論.【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點，動點P在拋物線C上，點P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點M在直線l1上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】（1）作PA，PB分別垂直l1和l2，垂足為A，B，拋物線C的焦點為，由拋物線定義知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，顯見d1+d2的最小值即為點F到直線l2的距離，故，解之得或（舍）所以拋物線C的方程為x2＝4y．（2）由（1）知直線l1的方程為，當點M在特殊位置時，顯見兩個切點P1，P2關于y軸對稱，故要使得MN⊥P1P2，點N必須在y軸上．故設M，N，，，拋物線C的方程為，求導得，所以切線MP1的斜率，直線MP1的方程為，又點M在直線MP1上，所以，整理得，同理可得，故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，由韋達定理得，，可見n＝1時，恒成立，所以存在定點N，使得MN⊥P1P2恒成立．例2．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓E的方程為（a＞1），點O為坐標原點，點A，B的坐標分別為，，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若斜率為k的直線l交橢圓E于C，D兩點，交y軸于點（t≠1），問是否存在實數(shù)t使得以CD為直徑的圓恒過點B？若存在，求t的值，若不存在，說出理由．【解析】（1）設點M的坐標，點M在線段AB上，滿足，∴，，故，，因為，∴，解得：a＝2，∴橢圓E的方程；（2）設直線l方程：，代入，得，設，則，，假設存在實數(shù)t使得以CD為直徑的圓恒過點B，則．∴，，即，得，整理得，∵，∴，故當時，符合題意．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.①若直線與直線的斜率都存在，并分別設為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點.【解析】（1）由題意知，直線的斜率為，設，由題意，兩式相減得：，整理得：，即，又，所以，即雙曲線，經(jīng)檢驗滿足題意.（2）①因為的斜率存在且，設，，聯(lián)立，消去整理得：，由題意得，解得又，設直線，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得，又，，于是，故，同理可得，，，為定值，所以的值②由①知（*），由對稱性知過的定點在軸上，在（*）令，得，解得直線恒過定點例4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知橢圓是左、右焦點．設M是直線l：上的一個動點，連結，交橢圓Γ于N（）．直線l與x軸的交點為P，且M不與P重合．(1)若M的坐標為，求四邊形的面積；(2)若PN與橢圓Γ相切于N且，求的值；(3)作N關于原點的對稱點，是否存在直線，使得上的任一點到的距離為，若存在，求出直線的方程和N的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】（1）由橢圓方程可得，∴，，，∴直線為，聯(lián)立，整理可得：，解得或，由，可得，∴，∴；（2）由于直線PN的斜率必存在，則設直線PN的方程：，與橢圓方程聯(lián)立，可得：，由相切得，得，且，即，故，，故，解得，而，所以，滿足，所以，可得x軸，所以；（3）由于N與，與是兩組關于原點的對稱點，由對稱性知，四邊形是平行四邊形，則與平行，故上的任一點到的距離均為兩條平行線間的距離d．設，其中，易驗證，當時，與之間的距離為，不合要求，由直線斜率，則直線的方程為：，即，當時，由，可得，代入，可得，而，兩式聯(lián)立可得：，解得：或（舍），代入橢圓的方程可得，所以，所以直線的方程為：例5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得a＝3b，故橢圓C為，又點在C上，所以，得，，故橢圓C的方程即為；（2）由已知知直線l過，設l的方程為x＝my＋1，聯(lián)立兩個方程得，消去x得：，得，設，，則（*），，將（*）代入上式，可得：，要使為定值，則有，又∵，∴t＝3，此時，∴存在點，使得直線TM與TN斜率之積為定值，此時t＝3.例6．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左?右焦點分別為，，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在過點的直線，交橢圓于，兩點，使得？若存在，求直線的方程，若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題知，，，，由橢圓定義知，即，又，所以橢圓的標準方程為.(2)存在滿足題意的直線.由題知直線的斜率存在，設的方程為，，，聯(lián)立，整理得，其中，，∵，∴，即，化簡得：，即，解得，或.當時，直線經(jīng)過點，不滿足題意，故舍去.所以存在直線滿足題意，其方程為.例7．（2023·全國·高三專題練習）圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形【解析】（1）設點在圓上，故有，設，又，可得，，即，代入可得，化簡得：，故點的軌跡方程為：.（2）根據(jù)題意，可設直線的方程為，取，可得，，可得直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，可得交點為；若，，由對稱性可知交點，若點在同一直線上，則直線只能為：上，以下證明：對任意的，直線與直線的交點均在直線：上.由，整理得設，，則，設與交于點，由，可得設與交于點，由，可得，因為，因為，即與重合，所以當變化時，點均在直線：上，因為，，所以要使恒為等腰三角形，只需要為線段的垂直平分線即可，根據(jù)對稱性知，點.故存在定點滿足條件.【過關測試】1．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學考試）在平面直角坐標系中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)設過點F且不與x軸重合的直線l與C交于A，B兩點，求證：在曲線C上存在點P，使得直線的斜率成等差數(shù)列.【解析】（1）設，由題意，得，兩邊平方并整理，得.故所求C的方程為.（2）證明：C的方程為當直線l的斜率不存在時，點A，B關于x軸對稱，存在C上的點，使，顯然直線的斜率成等差數(shù)列；當直線l的斜率存在且不為0時，可設直線l的方程為，聯(lián)立消去x，得.設，則.若存在點滿足條件，則，即，因為點P，A，B均在拋物線上，所以.所以，將代入得，整理得，因為，所以，代入，得.此時，存在C上的點，使得直線的斜率成等差數(shù)列.綜上，存在C上的點P使得直線的斜率成等差數(shù)列.2．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線：（，）與雙曲線的漸近線相同，點在上，為的右焦點．(1)求的方程；(2)已知是直線：上的任意一點，是否存在這樣的直線，使得過點的直線與相切于點，且以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．【解析】（1）依題意可設雙曲線的方程為，將點的坐標代入得，∴，∴雙曲線：．（2）顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，①∴，，即切點的坐標為，以為直徑的圓恒過點，則，又的坐標為，，，，∴，化簡，得，上式對滿足①式任意的，成立，則．故存在直線滿足題設條件．3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)設，是雙曲線右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交AB于，點的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設雙曲線的右焦點，則點到漸近線的距離為，即，解得，又漸近線方程為，即，且，解得，，所以雙曲線方程為.（2）設，AB的中點為因為，是上不同的兩點，中點的橫坐標為2．所以，得，當存在時，，因為AB的中垂線為直線l，所以，即，所以過定點，當不存在時，，關于軸對稱，的中線為軸，此時也過，所以存在定圓：，使得被圓截得的弦長為定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學校聯(lián)考期末）已知橢圓：的長軸為4，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點的直線與交于，，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）因為橢圓：的長軸為4，離心率為，所以，解得，，故，所以橢圓的方程為（2）設，，：，則，，，則①，聯(lián)立與，消去得，則，得，代入①得則當即時，為定值5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左右焦點為，，上、下端點為，.若從，，，中任選三點所構成的三角形均為面積等于2的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點，若線段，的中點分別為，，試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由.【解析】（1）解法一：從，，，中任選三點可構成四個三角形，其中，.為此僅需考慮，為面積等于2的直角三角形即可.其中，.因為為等腰三角形，故可得，即有：；同時因為為等腰三角形，故可得，即有：；綜上可得：，，即可得橢圓的方程為.解法二：由橢圓的對稱性，結合已知條件可知從，，，中任選三點所構成的三角形，均為等腰直角三角形，故四邊形是面積為4的正方形，又正方形的邊長為，故，即又正方形的對角線相等，所以，即又因為，所以從而橢圓的方程為.（2）解法一：依題意，設直線的方程為：①設直線的方程為：，聯(lián)立方程①與橢圓的方程可得由韋達定理得，根據(jù)中點公式可得：則，即同理可得：從而直線的斜率為：故直線的方程為：因為，將代入上式可得：故直線必過定點.解法二：依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：①，設直線的方程為：②，設直線的方程為：，聯(lián)立方程②與橢圓的方程可得由韋達定理得根據(jù)中點公式可得：同時點是直線和直線的交點，聯(lián)立方程①②得即可得，整理得④同理可得⑤根據(jù)④⑤可以理解為，為關于的一元二次方程的兩個根.由韋達定理可得：，即可得：，∴直線的方程為：，故直線必過定點.6．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓過點，且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長；(2)已知點，直線過點且與橢圓有兩個不同的交點，問：是否存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意知橢圓過點，且離心率是，則，且，故橢圓的方程為，短軸長為.（2）假設存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形,由于直線過點,當直線斜率不存在時,直線l為，此時為橢圓的短軸上的兩頂點，此時是以點為頂點的等腰三角形；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立，得，當直線與橢圓C有兩個不同的交點時，

該方程，整理得，設，則，所以，設的中點為點D，則，即，則,當時，斜率不存在，此時的斜率k為0，不滿足，故，由題意可知,即，解得或，由于，故或不適合題意，綜合以上，存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形.7．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知圓上的動點P在y軸上的投影為Q，動點M滿足．(1)求動點M的軌跡方程C；(2)動直線與曲線C交于A，B兩點，問：是否存在定點D，使得為定值，若存在，請求出點D的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設，，則，由得，即，將代入得，即，所以動點M的軌跡方程；（2）設，，，聯(lián)立得，所以，因為為定值所以，即，所以存在定點，使得為定值.8．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：經(jīng)過點，且點到兩個焦點的距離之和為8.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓分別相交于兩點，直線，分別與軸交于點，.試問是否存在直線，使得線段的垂直平分線經(jīng)過點，如果存在，寫出一條滿足條件的直線的方程，并證明；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）點到兩個焦點的距離之和為8，故，,橢圓的方程為，代入，可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，，整理得，，化簡得，，故；，，又，可設直線：，設直線：，故，，若線段的垂直平分線經(jīng)過點，必有，故有，整理得，，化簡得，，得到，，，，，，，利用韋達定理，得，，，，，，，當時，，此時，直線為：，故令，則必有，滿足，此時，滿足題意的直線為：（答案不唯一）9．（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點，A是C的右頂點，，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標準方程(2)若不過點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【解析】（1）M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，，四邊形OMPN的周長為，，，，橢圓C的標準方程為．（2）設，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，代入，整理得，則，．易知，，化簡得，或(舍去)，直線l的方程為，即，直線l過定點．當直線l的斜率不存在時，設，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此時直線l過點．綜上，直線l過定點．10．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，鈍角三角形的面積為，斜率為的直線交橢圓C于P，Q兩點.當直線經(jīng)過，A兩點時，點到直線的距離為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設O為坐標原點，當直線的縱截距不為零時，試問是否存在實數(shù)k，使得為定值?若存在，求出此時面積的最大值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）方法一：設，，則.當直線經(jīng)過點，A時，由的面積為，到的距離為，得①，同時得，即②.聯(lián)立①②，結合，解得，，或，，.因為為鈍角三角形，所以，所以，，.故橢圓C的標準方程為.方法二：設，，，則經(jīng)過，A兩點時直線的方程為，即.因為點到直線的距離為，所以①，②因為為鈍角三角形，所以為鈍角，所以.所以，即③.聯(lián)立①②③式及得，，.故橢圓C的標準方程為.（2）方法一：由題意設直線的方程為，聯(lián)立消元得.當，即時滿足題意.設，，則，.，若為定值，則上式與無關，故，得，此時.又點到直線的距離，所以，當且僅當，即時，等號成立.經(jīng)檢驗，此時成立，所以面積的最大值為1.方法二：由題意設直線的方程為，聯(lián)立消元得.當，即時滿足題意.設，，則，.所以,所以.因為上式為定值，所以上式與無關.所以，得.此時.又點到直線的距離，所以，當且僅當，即時，等號成立.經(jīng)檢驗，此時成立，所以面積的最大值為1.11．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為.(1)以為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，求橢圓的離心率；(2)已知，設點是橢圓上一點，且位于軸的上方，若是等腰三角形，求點的坐標；(3)已知，過點且傾斜角為的直線與橢圓在軸上方的交點記作，若動直線也過點且與橢圓交于兩點（均不同于），是否存在定直線，使得動直線與的交點滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得即，所以離心率.（2）由題意得橢圓①當時，由對稱性得.②當時，，故，設，由得，兩式作差得，代入橢圓方程，得（負舍），故③當時，根據(jù)橢圓對稱性可知.（3）由題意得橢圓.設直線，由得.設，則，，，由，得.12．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左右焦點分別為，右頂點為為橢圓上任意一點，且的最大值的取值范圍是，其中(1)求橢圓的離心率的取值范圍(2)設雙曲線以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點，是雙曲線在第一象限上任意一點，當取得最小值時，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設，，，由可得：代入可得：，，∴，∴，即，故，；（2）當時，可得：，雙曲線方程為，設，當⊥軸時，，，，∵，，所以，下面證明對任意點均使得成立，考慮，，由雙曲線方程，可得：，，，，結論得證，時，恒成立.13．（2023·高三課時練習）已知曲線，過點作直線和曲線交于A、B兩點．(1)求曲線的焦點到它的漸近線之間的距離；(2)若，點在第一象限，軸，垂足為，連結，求直線傾斜角的取值范圍；(3)過點作另一條直線，和曲線交于、兩點，問是否存在實數(shù)，使得和同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數(shù)的取值集合，如果不存在，請說明理由．【解析】（1）曲線的焦點為,漸近線方程,由對稱性,不妨計算到直線的距離，.（2）設,,從而,又因為點在第一象限,所以,從而,所以直線傾斜角的取值范圍是;（3）當直線,直線，,,.當直線,直線時,，不妨設,與雙曲線聯(lián)立可得,由弦長公式,，將替換成,可得，由,可得解得,此時成立.因此滿足條件的集合為.14．（2023·全國·高三專題練習）已知，，點滿足，記點的軌跡為，(1)求軌跡的方程；(2)若直線過點且法向量為，直線與軌跡交于、兩點．①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；②在軸上是否存在定點，無論直線繞點怎樣轉動，使恒成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）由，知，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支．，，，故，軌跡方程為．（2）直線的方程為，，得，設，，，，由條件得，解得，即．①，由條件，故，故，因為，因此．②設存在點滿足條件，由，得對任意恒成立，所以，解得，因此存在定點滿足條件．15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點為雙曲線的左焦點，試問在軸上是否存在一定點，過點任意作一條直線交雙曲線于，兩點，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）原點到直線的距離，，，雙曲線的方程為；（2）假設存在點滿足條件，①當直線方程為時，則，；②當直線方程不是時，可設直線，代入整理得，由得，設方程的兩個根為，，滿足，，當且僅當時，為定值1，解得，不滿足對任意，，不合題意，舍去．而且滿足；綜上得：過定點任意作一條直線交雙曲線于，兩點，使為定值1．16．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為．點在橢圓上，且滿足△的周長為6．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個定點，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意知：，解得，橢圓方程為：.（2）設，，，，，當直線斜率存在時，設直線的方程為：，聯(lián)立，得，則，，又，而為定值．只需，解得：，從而．當不存在時，，當時，，綜上所述：存在，使得．17．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線的左、右頂點分別為，，過點且垂直于軸的直線與該雙曲線交于點，，設直線的斜率為，直線的斜率為．(1)求曲線的方程；(2)動點，在曲線上，已知點，直線，分別與軸相交的兩點關于原點對稱，點在直線上，，證明：存在定點，使得為定值．【解析】（1）當軸時，把代入雙曲線方程中，得，設，，，

所以，得，

所以的方程：；（2）證明：設直線的方程為，，，，整理得，則，，，

直線，分別與軸相交的兩點為，，∴直線方程為，令，則，同理，可得∴

∴∴∴∴∴，當時，，此時直線方程為恒過定點，顯然不可能，∴，直線方程為，恒過定點

∵，設中點為，∴∴為定值，∴存在使為定值．18．（2023·全國·高三專題練習）橢圓經(jīng)過兩點，，過點的動直線