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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.2.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.263.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.4.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.5.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.106.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.7.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn),在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.8.已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③10.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.11.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.12.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為__________.14.設(shè)常數(shù),如果的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-80,那么______.15.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.16.已知雙曲線(,)的左,右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査,統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).(2)如果讀書時(shí)間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.19.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.(12分)設(shè)拋物線過點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)F是拋物線C的焦點(diǎn),過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若,求的值.21.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.22.(10分)在中,角所對的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).2、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.3、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法,以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實(shí)部與虛部相等,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.4、D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切?,、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.5、C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.6、C【解析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.8、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.9、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點(diǎn):線性規(guī)劃.11、C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.12、D【解析】
根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯(cuò)誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯(cuò)誤;為真,說明至少一個(gè)為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯(cuò)誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14、【解析】
利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416、【解析】
設(shè),由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設(shè),根據(jù),可求出,得出,再結(jié)合焦點(diǎn)三角形,利用余弦定理:求出和的關(guān)系,即可得出離心率.【詳解】解:設(shè),由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設(shè),,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,求雙曲線離心率.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件,解方程組即可求得公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果;(2)把(1)中求得的結(jié)果代入bn=an?log2an,求出bn,利用錯(cuò)位相減法求出Tn.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知:,∴,即.∴,即.(2),∴.①.②①-②得∴.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的概念以及錯(cuò)位相減法求和,考查運(yùn)算能力,屬中檔題.18、(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí),則,解得,即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因?yàn)?,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,若從這7人中隨機(jī)抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計(jì)算公式,可得概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計(jì)算等知識的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于,根據(jù)相切可得方程組,看方程是否有解即可;(2)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè)(),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無實(shí)數(shù)解.故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(shè)(),恒大于零.在上單調(diào)遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時(shí),時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,無極值,不合題意.②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,符合題意.此時(shí)由得即,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.20、(1)(2)【解析】
(1)代入計(jì)算即可.(2)設(shè)
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