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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時(shí),f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)2.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.3.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.4.已知實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.85.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種6.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.7.如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.8.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線有四條對(duì)稱(chēng)軸;②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④9.已知為實(shí)數(shù)集,,,則()A. B. C. D.10.若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且,則A.的值域?yàn)?B.為周期函數(shù),且6為其一個(gè)周期C.的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)11.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則()A.85 B. C.35 D.12.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有勾六步,股八步,問(wèn)勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步,問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自?xún)?nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),并在所得射線上取一點(diǎn),使得,連接,則的面積為_(kāi)_________.14.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且,,,則_______.15.已知隨機(jī)變量,且,則______16.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿(mǎn)足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò),作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.18.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn);(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.19.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,平面四邊形中,,是上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最小?22.(10分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時(shí)的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項(xiàng)A,,所以,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,因?yàn)?,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,,所以,即,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.2、A【解析】
首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,4、D【解析】
畫(huà)出可行域,計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.6、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.7、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因?yàn)殡u蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點(diǎn)距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題,考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí),可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面,然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.8、C【解析】
①利用之間的代換判斷出對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值;③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿(mǎn)足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);綜上可知:有四條對(duì)稱(chēng)軸,故正確;②:因?yàn)椋?,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以最大距離為,故錯(cuò)誤;③:設(shè)任意一點(diǎn),所以圍成的矩形面積為,因?yàn)?,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因?yàn)閳A的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用,其中涉及到曲線的對(duì)稱(chēng)性分析以及基本不等式的運(yùn)用,難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱(chēng)性,可通過(guò)替換方程中去分析證明.9、C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實(shí)數(shù)集,,,或,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法,考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè);因?yàn)椋?,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),由題意無(wú)法求出的值域,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.11、B【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因?yàn)?,所以,,所?又因?yàn)?,所?因?yàn)椋?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題14、9【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.15、0.1【解析】
根據(jù)原則,可得,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:隨機(jī)變量,則期望為所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算,掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、60【解析】
直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為:,取,則的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2)的方程為.【解析】
(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因?yàn)椋粗本€的斜率分別為且,設(shè)點(diǎn),則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)求解出導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可;(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關(guān)系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.∴.由(*)式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的解,把代入(*)式,得,∴,即所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù),難度較難.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷;(2)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題,可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點(diǎn),由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點(diǎn),連接,又為菱形,故,為的中點(diǎn).又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)要證平面平面,只需證平面,而,所以只需證,而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形,又由于是的中點(diǎn),所以,從而可證得結(jié)論;(2)由于在中,,而平面平面,所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn),所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.【詳解】(1)由,所以平面四邊形為直角梯形,設(shè),因?yàn)?所以在中,,則,又,所以,由,所以為等邊三角形,又是的中點(diǎn),所以,又平面,則有平面,而平面,故平面平面.(2)解法一:在中,,取中點(diǎn),所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),方向?yàn)檩S方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量,由得取,則設(shè)直線與平面所成角大小為,則,故直線與平面所成角的正弦值為.解法二:在中,,取中點(diǎn),所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,過(guò)作于,連,則由平面平面,所以,又,則平面,又平面所以,在中,,所以
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