2023中考數(shù)學幾何壓軸題

2023中考真題匯編—幾何綜合問題例1：28.（2023.北京）在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH。若點P在線段CD上，如圖1。①依題意補全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；若點P在線段CD的延長線上，∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路。（可以不寫出計算結果．．．．．．．．．）例2：25(2023.上海)已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長線與射線OQ相交于點E、與弦CD相交于點F(點F與點C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝4/5．設OP＝x，△CPF的面積為y．(1)求證：AP＝OQ；求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；當△OPE是直角三角形時，求線段OP的長．例3：24（2023.天津）將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（，0），點B（0，1），點O（0，0）.過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN⊥AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A′.設OM=m，折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S.（Ⅰ）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標；（Ⅱ）如圖②，當點A′落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S；（Ⅲ）當S=時，求點M的坐標（直接寫出結果即可）．例4：25（2023.重慶）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點E角平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的線段，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF。如圖1，若點H是AC的中點，AC=2，求AB，BD的長。如圖1，求證：HF=EF。如圖2，連接CF，CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由。例5：26（2023，南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．求證：∠A=∠AEB．連接OE，交CD于點F，OE⊥CD．求證：△ABE是等邊三角形．例6：25（2023.南京)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3）例7：24.（2023.廣州）如圖10，四邊形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.（1）試探究箏形對角線之間的位置關系，并證明你的結論；（2）在箏形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC>AB，BD，AC為對角線，BD=8.①是否存在一個圓使得A，B，C，D四個點都在這個圓上？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由；②過點B作BF⊥CD，垂足為F，BF交AC于點E，連接DE.當四邊形ABED為菱形時，求點F到AB的距離.例8：22(2023年浙江杭州12分）如圖，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E若AD/DB=1/3=，AE=2，求EC的長設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F，C，G為頂點的三角形與△EDC有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點P，問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由例9：22（2023.長沙）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°<α<90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F。求證：△AOE≌△COF；當α=30°時，求線段EF的長度。例10：27（2023.成都）已知,ACEC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內，∠CAE+∠CBE=90°。如圖①，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF。求證：△CAED△CBF；若BE=1,AE=2，求CE的長。如圖②，當四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BC=EF/FC時，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值；如圖③，當四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB=∠GEF=45°時，設,,BE=m，AE=n，CE=p，試探究,,m、n、p三者之間滿足的等量關系。（直接寫出結果，不必寫出解答過程）例11：24（2023.長沙）.如圖，在直角坐標系中，⊙M經(jīng)過原點O（0,0），點A(,0)與點B(0,-，點D在劣弧OA上，連接BD交x軸于點C，且∠COD=∠CBO。求⊙M的半徑；求證：BD平分∠ABO；（3）在線段BD的延長線上找一點E，使得直線AE恰為⊙M的切線，求此時點E的坐標。例12：25(2023.福州)如圖.在銳角中，D，E分別為AB,BC中點,F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM//EF交AC于點M(1)求證:DM=DA(2)點G在BE上,且∠BDG=∠C.如圖②,求證:△DEG∽△ECF（3）在圖②中.取CE上一點H，使∠CFH=∠B.若BG=1求EH的長.例13：23（2023.沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B的坐標為（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O、B重合），過點P與y軸平行的直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R，設點P橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t=40時，直線l恰好經(jīng)過點C．（1）求點A和點C的坐標；（2）當0＜t＜30時，求m關于t的函數(shù)關系式；（3）當m=35時，請直接寫出t的值；（4）直線l上有一點M，當∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周長為60時，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．例14：24（2023.沈陽）如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，點E是邊AB上的一點，點F是邊CD上一點，將?ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGH，點A的對應點為點H，點D的對應點為點G．（1）當點H與點C重合時．①填空：點E到CD的距離是；②求證：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面積；當點H落在射線BC上，且CH=1時，直線EH與直線CD交于點M，請直接寫出△MEF的面積．例15：26.（2023.哈爾濱）AB,CD是⊙O的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點E，連接AD，過點B作BF⊥AD,垂足為點F，直線BF交直線CD于點G.（1）如圖1，檔點E在⊙O外時，連接BC，求證BE平分∠GBC；（2）如圖2，當點E在⊙O內時，連接AC，AG,求證：AC=AG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BO并延長交AD于點H，若BH平分∠ABF,AG=4，tan∠D=，求線段AH的長.例16：24.（2023.南昌）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1，圖2，圖3中，AF,BE是△ABC的中線,AF⊥BE,垂足為P.像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a,AC=b,AB=c.特例探索（1）如圖1，當∠ABE=45°，c=2時，a=，b=；如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a=，b=；歸納證明（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2b2c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式；拓展應用（3）如圖4，在□ABCD中，點E,F,G分別是AD,BC,CD的中點，BE⊥EG,AD=2,AB=3.求AF的長.例19：23.(2023.陜西)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點B作⊙O的切線DE，與AC的延長線交于點D，作AE⊥AC交DE于點E．(1)求證：∠BAD=∠E；(2)若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長．例17：24.（2023年廣東9分）⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過BC的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG，CP，PB.（1）如題圖1；若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數(shù)；（2）如題圖2，在DG上取一點k，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；（3）如題圖3，取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB.例18：26（2023.河北)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖15－1擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α（0≤α≤60）.發(fā)現(xiàn)：(1)當α=0°，即初始位置時，點P直線AB上.(填“在”或“不在”)，求當α是多少時，OQ經(jīng)過點B？(2)在OQ旋轉過程中，簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最?。坎⒅赋鲞@個最小值；(3)如圖15－2，當點P恰好落在BC邊上時，求α及S陰影.拓展：如圖15－3，當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM=x(x>0)，用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍.探究：當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值.例20：25.(2023.陜西)如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．(1)如圖1，點M是四邊形ABCD邊AD上的一點，則△BMC的面積為；(2)如圖2，點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點，請你求出△BNC周長的最小值；(3)如圖3，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．例21：23.(2023.安徽)如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．(1)求證：AD＝BC；求證：△AGD∽△EGF；如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求AD/EF的值．例22：22（2023.河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE.將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.問題發(fā)現(xiàn)①當α=0°時，AE/BD=_____________；②當α=180°時，AE/BD=__________（2）拓展探究試判斷：當0°≤α＜360°時，AE/BD的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.例23：23．（2023?山西）綜合與實踐：制作無蓋盒子任務一：如圖1，有一塊矩形紙板，長是寬的2倍，要將其四角各剪去一個正方形，折成高為4cm，容積為616cm3的無蓋長方體盒子（紙板厚度忽略不計）．請在圖1的矩形紙板中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕．請求出這塊矩形紙板的長和寬．任務二：圖2是一個高為4cm的無蓋的五棱柱盒子（直棱柱），圖3是其底面，在五邊形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．（1）試判斷圖3中AE與DE的數(shù)量關系，并加以證明．圖2中的五棱柱盒子可按圖4所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個矩形紙板的長和寬至少各為多少cm？請直接寫出結果（圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計）．例24：21（2023.黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN,過點C的切線交AB的延長線于點P.（1）求證：∠BCP=∠BAN;（2）求證：AM/MN=CB/BP例25：25．（2023?吉林）兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設圖形中所有的點，線都在同一平面內）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動．設三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）．（1）當點C落在邊EF上時，x=cm；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N．直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值．例26：27．（2023?南通）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉，得到△PDE，點D落在線段PQ上．（1）求證：PQ∥AB；（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．例27：23．（2023?濰坊）如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結果不必說明理由．例28：24（2023?溫州）如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC=4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ=3x．（1）用關于x的代數(shù)式表示BQ，DF．（2）當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．（3）在點P的整個運動過程中，①當AP為何值時，矩形DEGF是正方形？②作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長（直接寫出答案）例29：24（2023?呼和浩特）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外的一點，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC求證：PA是⊙O的切線；（2）連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F(xiàn)為BD上的一點，若M為弧BC的中點，且∠DCF=∠P，求證：BD/D=FD/ED=CD/AD．例30：23（2023.海南）如圖9-1，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．求證：△ADP≌△ECP；若BP=n·PK，試求出n的值；（3）作BM⊥AE于點M，作KN⊥AE于點N，連結MO、NO，如圖9-2所示．請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．例31：25（2023.南寧）如圖14，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F.求證：CD是⊙O的切線.若OF/FD=2/3,求∠E的度數(shù).連接AD，在（2）的條件下，若CD=3，求AD的長例32：25（2023.貴陽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．（1）求MP的值；（4分）（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當AF等于多少時，△MEF的周長最??？（4分）（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值.（計算結果保留根號）（4分）例33：22（2023?烏魯木齊）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E．（1）求證：DC=DE；（2）若tan∠CAB=1/2，AB=3，求BD的長．例34：27（2023.蘭州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D。以AB上一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D。判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；若AC=3，∠B=30°，①求⊙O的半徑；②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積（結果保留根號和）。例35：22（2023.昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為半徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上。求證：直線FG是⊙O的切線；若CD＝10，EB＝5,求⊙O的直徑．例36：25（2023?包頭）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，動點P從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿BC方向運動，動點Q從點C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CD方向運動，P，Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點D時停止運動，點P也隨之停止，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）求線段CD的長；（2）t為何值時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？（3）伴隨P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l．①t為何值時，l經(jīng)過點C？②求當l經(jīng)過點D時t的值，并求出此時刻線段PQ的長．例37：26（2023.青海）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點M，CM交⊙O于點D．（1）求證：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的長．例38：25（2023.寧夏）如圖，是一副學生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°,∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°,∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合．將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉，旋轉過的角為α，旋轉過程中邊A1C1與邊AB的交點為M,設AC=a．計算A1C1的長；當α=30°時，證明：B1C1∥AB；若a=+，當α=45°時，計算兩個三角板重疊部分圖形的面積；當α=60°時，用含a的代數(shù)式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=(－)/4-，cos15°=(+)/4+，tan15°=2－sin75°=(+)/4,cos75°=(－)/4-,tan75°=2+）例39：25．（2023.山東臨沂）如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，B