經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件冪級(jí)數(shù)

1第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(2)比值法(1)比較法(3)根值法設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù).(常數(shù)k>0)；若大的收斂，則小的也收斂；若小的發(fā)散，則大的也發(fā)散.1)當(dāng)2)當(dāng)時(shí),收斂;或時(shí),發(fā)散.3.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法(萊布尼茨審斂法)(i)(ii)2第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)第十二章3第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.定義：為定義在區(qū)間I

上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).記為即例如：級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)定義在的級(jí)數(shù)4第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域.2.收斂點(diǎn)與收斂域:例如級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?－1,1);發(fā)散域?yàn)樽⒁猓汉瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.5第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二為級(jí)數(shù)的和函數(shù),

并寫成若用則余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n

項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它3.和函數(shù):(定義域是?)如:6第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),

其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱1.定義：7第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.冪級(jí)數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)：顯然，當(dāng)x=0時(shí)，收斂.例如級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散；收斂域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)闀r(shí)，有和函數(shù)由此看出:它的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間.這個(gè)結(jié)論對(duì)于一般的冪級(jí)數(shù)也成立嗎？.8第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對(duì)收斂.(2)如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.簡記:收斂發(fā)散發(fā)散9第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,10第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對(duì)收斂.(2)如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.簡記:絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散11第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使當(dāng)時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.也收斂,如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對(duì)收斂.12第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二反之,若當(dāng)時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.

時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切x處發(fā)散.如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切x處絕對(duì)收斂.13第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二幾何說明:絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散說明:因此,阿貝爾定理刻畫了冪級(jí)數(shù)的收斂域的特征14第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二推論:不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：如果冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，當(dāng)x=R與x=－R時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散15第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，發(fā)散當(dāng)時(shí)，的收斂半徑為R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域.規(guī)定問題:如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?(1)冪級(jí)數(shù)只在x=0處收斂時(shí)，收斂域?yàn)閧0};(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂時(shí)，收斂區(qū)間為16第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)3.冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法：定理2.

是它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)且滿足：則1)當(dāng)≠0時(shí),2)當(dāng)＝0時(shí),3)當(dāng)＝∞時(shí),的收斂半徑為說明:據(jù)此定理知17第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.即時(shí),即時(shí),2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3)若則對(duì)除x=0以外的一切x原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意

x原級(jí)數(shù)因此因此因此級(jí)數(shù)的收斂半徑18第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二說明:1)注意定理的條件：冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)是它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)不缺項(xiàng)存在或?yàn)榍?)定理的條件是結(jié)論的充分條件，不是必要條件.3)定理的證明中找收斂半徑的方法叫比值法(或根值法),該法適用于任何函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).4)用定理找收斂半徑的方法叫公式法，該法適用于標(biāo)準(zhǔn)的冪級(jí)數(shù)(即不缺項(xiàng)的).19第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二對(duì)端點(diǎn)x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù)

20第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例2.

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=121第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二解:缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,例3.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及收斂域.考慮級(jí)數(shù)應(yīng)用直接法，即時(shí)，即時(shí)，級(jí)數(shù)為22第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二級(jí)數(shù)發(fā)散,因?yàn)樵?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散,例3.求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及收斂域.23第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例4.的收斂半徑.解:

級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由24第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例4.的收斂半徑.另解:

級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.級(jí)數(shù)變?yōu)楣适諗堪霃綖闀r(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.25第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例5.解:

令級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>