新海高中、昆山中學(xué)、梁豐高中2020屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省新海高中、昆山中學(xué)、梁豐高中2020屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）一．填空題(共12小題)1.已知集合，，則_____．【答案】【解析】【分析】由并集定義可直接求得結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)榧希?，由并集定義得：。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。2。已知復(fù)數(shù)z滿足1iz＝2i，其中i是虛數(shù)單位,則z的模為_(kāi)______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷脧?fù)數(shù)的除法法則可得，進(jìn)而求得模即可【詳解】由題，,所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模，考查復(fù)數(shù)除法法則的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題3.為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了名學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，所得數(shù)據(jù)都在中,其頻率分布直方圖如圖所示，已知在中的頻數(shù)為，則的值為_(kāi)____．【答案】400【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出的頻率，再由在的頻數(shù)，能求出．【詳解】由頻率分布直方圖得:的頻率為:，在中頻數(shù)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻率、總數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4。如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸入n的值是10,則輸出S的值是_____．【答案】54【解析】【分析】按照程序框圖運(yùn)行程序，直到滿足輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序,輸入，，不滿足，循環(huán)；,，不滿足,循環(huán)；，,不滿足，循環(huán)；,,不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；,,不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；,,不滿足,循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，滿足，輸出.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。5.已知,，若隨機(jī)選取，則直線的斜率為正值的概率是_____．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出所有基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),由古典概型概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】直線的斜率,共有種情況；若,則,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，共種情況；直線的斜率為正值的概率。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解，屬于基礎(chǔ)題。6。已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則該直四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】側(cè)棱長(zhǎng)為，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以側(cè)面積為7。設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為_(kāi)___________.【答案】【解析】∵，∴,∴，∴．答案：點(diǎn)睛：在等差數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和的計(jì)算中，項(xiàng)的下標(biāo)和的性質(zhì)，即若，則，常與前n項(xiàng)和公式結(jié)合在一起，利用整體思想解題，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高運(yùn)算的速度．8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，恰好得到函數(shù)的的圖象，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意可得：,由誘導(dǎo)公式的結(jié)論可知：，取可得：.點(diǎn)睛：由y＝sinx的圖象，利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）(A＞0，ω＞0）（x∈R)的圖象，要特別注意:當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換（伸縮變換)，平移的量是|φ｜個(gè)單位;而先周期變換（伸縮變換)再平移變換,平移的量是個(gè)單位．9。在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右支上，為等邊三角形，則的面積為_(kāi)____．【答案】【解析】分析】利用雙曲線和等邊三角形對(duì)稱性可設(shè),，利用和點(diǎn)在雙曲線上可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得三角形面積?！驹斀狻坑呻p曲線方程知：，根據(jù)雙曲線和等邊三角形的對(duì)稱性可設(shè)，，其中，由得:，即，又,，解得：,，，。故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線中三角形面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用雙曲線和等邊三角形的對(duì)稱性確定兩點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系.10。在平行四邊形ABCD中，，邊AB，AD的長(zhǎng)分別為2和1，若M，N分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且滿足,則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系,利用比例關(guān)系，求出，的坐標(biāo)，然后通過(guò)二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍．【詳解】解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，,，所以，，，因?yàn)?二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：,所以時(shí)，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的綜合應(yīng)用,平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查計(jì)算能力,屬于中檔題．11。在中,，，則當(dāng)角最大時(shí),的面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求得，利用余弦定理和基本不等式可確定當(dāng)最大時(shí)，，由此得到和，代入三角形面積公式可得結(jié)果。【詳解】設(shè),，，則，，由余弦定理得：，整理得，解得：，，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，在上單調(diào)遞減，時(shí)，最大，此時(shí)，，.故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到余弦定理和三角形面積公式、基本不等式的應(yīng)用;解題關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造等式，利用基本不等式確定最值.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2＝1，圓M:(x+a+3）2+（y﹣2a)2＝1(a為實(shí)數(shù)）。若圓O和圓M上分別存在點(diǎn)P,Q，使得∠OQP＝30°,則a的取值范圍為_(kāi)____.【答案】a≤0【解析】【分析】從圓上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，，利用圓和圓上分別存在點(diǎn),,使得，可得,進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意，圓為實(shí)數(shù)），圓心為圓上任意一點(diǎn)向圓作切線,切點(diǎn)為，，所以與圓有交點(diǎn)，解得,故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算公式、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．13。已知，,，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用已知條件目標(biāo)可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造,，分別求最小值即可.【詳解】解：令，，，,在上遞減,在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值:所以，的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三元函數(shù)的最值問(wèn)題，利用條件減元，構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)與二次知識(shí)處理問(wèn)題.考查函數(shù)與方程思想,減元思想，屬于中檔題。14.已知函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，且它們成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)__________?！敬鸢浮?【解析】【分析】去絕對(duì)值,將函數(shù)寫出分段函數(shù)形式.根據(jù)零點(diǎn)定義將函數(shù)化為有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.對(duì)分類討論即可求解?！驹斀狻亢瘮?shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)即有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根。令，即有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)根分別為且.去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得函數(shù)當(dāng)時(shí),,解得若，則,由三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列可得因而,解得此時(shí)在上有一個(gè)解，符合題意。若,在上兩個(gè)不同的解，設(shè)為,此時(shí)所以是的兩個(gè)根,化簡(jiǎn)可得所以因?yàn)槿齻€(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列則所以化簡(jiǎn)得解方程可得或(舍）當(dāng)時(shí),至多有兩個(gè)根,不符合題意綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值集合為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用,分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的意義,綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15。如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC,B1C1的中點(diǎn)．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【答案】（1）詳見(jiàn)解析;(2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的方法，證明平面。（2)通過(guò)證明平面，由此證得。【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，連接，由于是中點(diǎn)，所以且，而且，所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形，所以,由于平面，平面，所以平面。（2）連接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于，所以。由于四邊形是矩形且，所以四邊形是正方形,所以，由于,所以平面，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題。16。已知在中,，，且的面積為9。（1）求；（2）當(dāng)為銳角三角形時(shí)，求的值.【答案】（1)或；（2）。【解析】【詳解】⑴因?yàn)镾△ABC=,又AB=6，BC=5，所以，又，所以，當(dāng)cosB=時(shí),，當(dāng)cosB=時(shí)，，所以或.⑵由為銳角三角形得B為銳角，所以AB=6,AC=，BC=5，所以，又，所以，所以，，所以。17.如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)和,其中,三點(diǎn)共線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，測(cè)得,，，,，若以所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系則河岸可看成是曲線(其中是常數(shù))的一部分，河岸可看成是直線（其中為常數(shù)）的一部分．（1）求的值．（2)現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋，其中分別在上，且，的橫坐標(biāo)為．寫出橋的長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)明定義域；當(dāng)為何值時(shí)，取到最小值？最小值是多少？【答案】（1），.（2）；當(dāng)時(shí)取到最小值,為【解析】【分析】(1）計(jì)算，,，，將點(diǎn)代入直線方程計(jì)算得到答案。(2）計(jì)算，得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案?！驹斀狻浚?)由題意得:，，∴，，,，把,代入得，解得:，把，代入得，解得。（2）由（1）得：點(diǎn)在上，∴，①橋的長(zhǎng)為到直線的距離，故；②由①得:,而，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即“=”成立，∴?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，均值不等式求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力。18。如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，線段長(zhǎng)為,橢圓的離心率為．（1）求該橢圓的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn)．①若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②求證點(diǎn)在一條定直線上，并寫出該直線方程．【答案】（1）;（2)①；②證明詳見(jiàn)解析，直線方程為．【解析】【分析】（1)由短軸長(zhǎng)及離心率和之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）①由(1）可得的坐標(biāo),設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出的坐標(biāo)，求出直線,再求兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出直線，再求兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)的關(guān)系，由兩根之和及兩根之積代入可得，解得，即在直線上．【詳解】(1）,，又，解得：，橢圓的方程為；（2）①由(1)可得：,,設(shè)，，直線方程為，代入橢圓方程整理得：解得:，，，直線方程為：;直線方程為，由得：，，；②設(shè)，，由整理可得：,則，，直線方程為；直線方程為；由得：，又，，，,，在定直線上?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、橢圓中的定直線問(wèn)題；求解定直線問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠?qū)?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)利用某一變量表示出來(lái),通過(guò)化簡(jiǎn)整理得到定直線。19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,設(shè)數(shù)列滿足．(1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，，且數(shù)列,都是以為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式的所有正整數(shù)的集合．【答案】（1）或；(2）．【解析】【分析】（1）利用可得，利用等差數(shù)列基本量表示出等式，可得到,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果;（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式可整理化簡(jiǎn)得到，由此得到,可驗(yàn)證出數(shù)列的單調(diào)性，由此可確定所求的的集合?！驹斀狻浚?)，由得：,設(shè)等差數(shù)列公差為,則，整理可得：，，解得：或,或；（2)由題意得：，，，，；；設(shè),記，則當(dāng)時(shí),；當(dāng)且時(shí),；又，，,，在時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，，，，，，，，滿足條件的正整數(shù)的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式的應(yīng)用、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí)；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)驗(yàn)證數(shù)列的單調(diào)性確定臨界值，進(jìn)而得到滿足不等式的取值,屬于較難題。20.已知函數(shù)．（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn);（3)設(shè),若在上是單調(diào)減函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）,；(2）詳見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)切線的斜可求出的值，把切點(diǎn)代入切線方程可求出的值；（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再對(duì)求導(dǎo),判斷其在上單調(diào)性,然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明；（3）先將函數(shù)整理成，，令，通過(guò)求導(dǎo)、換元和構(gòu)造函數(shù)可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．然后分①，②和③三類情況，分別討論在滿足在上是單調(diào)減函數(shù)的情形下的取值范圍．【詳解】(1），，解得：,又，，解得：;（2)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),；在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，,又，，在和上各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3)，,令，則,令，設(shè),，則，在上單調(diào)遞增，,即當(dāng)時(shí)，,，在上單調(diào)遞增。①當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，，令，則恒成立，在上單調(diào)遞減，，解得:；②當(dāng),即時(shí)，，由①知:,在上是減函數(shù),恒