華中科技大學(xué)《數(shù)值計(jì)算方法》考試試卷

華中科技大學(xué)《數(shù)值計(jì)算方法》考試試卷2006?2007學(xué)年第一學(xué)期

《計(jì)算方法》課程考試試卷（A卷）（開卷）院（系）專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)—一—二四五六七八九十總分得分考試時(shí)間:下午2:30~5:00考試日期:院（系）專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)—一—二四五六七八九十總分得分考試時(shí)間:下午2:30~5:00考試日期:2007年1月30日解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人A二1．已知矩陣一.填空題（每小題4分，共28份）~1-「01」，則2.若用正n邊形的面積作為其外接圓面積的近似值，則該近似值的相對誤差是3.三次方程x3-x2-x+1=0的牛頓迭代格式是 。4.若求解某線性方程組有迭代公式X5+1）二BX（n）+F，其中—-j~a-3」，則該迭代公式收斂的充要條件 。p— —f—5.設(shè)/（x）二xex，則滿足條件I2） {2丿P（x）二 。（i0,1,2）的二次插值公式I1f（x）dx6.已知求積公式0代數(shù)精度，則Q二—。沁(1—Q)f(0)+Qf(1/2)+(1+a)f(1)至少具0次7.改進(jìn)的Euler方法hy二y+-[f(t,y)+f(t ,y+hf)]n+1 n2 nn n+1n n應(yīng)用于初值問題y'(t)=y(t)，y(0)=1的數(shù)值解兒二 。得分評卷人（10分）為數(shù)值求得方程x2—x—2二0的正根，可建立如下迭代格式x= 2+x,n=0,1,2,n' n-1試?yán)玫ǖ氖諗坷碚撟C明該迭代序列收斂，且滿足n：xn=2得分評卷人(20分)給定線性方程組得分評卷人2x+x+2x=101 2 3<—4x—x—5x=—191 2 34x+8x+2x=26123（1）試用Gauss消去法求解其方程組；得分評卷人四.（12分）已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人四.（12分）已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166解答內(nèi)容不得超過裝訂線試造出差商表，利用二次Newton插值公式計(jì)算sin（1.609）（保留5位有效數(shù)字），并給出其誤差估計(jì)。得分評卷人J1cos(x2)dx0五. （14分）用Romberg算法計(jì)算積分精確到10—4）。得分評卷人六.(16分)給出線性0-方法y=y+h[0f+(1—0)f]n+1 n n n+1(1)計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差；(0<0<1)，2） 當(dāng)0=？時(shí)，其方法為2階相容3） 當(dāng)該方法應(yīng)用于初值問題y'(t)y'(t)=九y(t),<T],y(t0)=y0時(shí)（其中九為實(shí)常數(shù)），其在t=tn處的數(shù)值解yn=?2006?2007學(xué)年第一學(xué)期《計(jì)算方法》課程考試試卷（B卷）（開卷）院（系） 專業(yè)班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 考試日期:2007年1月30日 考試時(shí)間:下午2:30~5:00題號(hào)—一二三四五六七八九十總分得分得分評卷人2得分評卷人2．A二1．已知矩陣七.填空題(每小題4分，共28份)

忑-42一

忑-，則若用正n邊形的面積作為其內(nèi)接圓面積的近似值，則該近似值的相對誤差是3．方程x二ln(l+x2)的牛頓迭代格式是4．4．則該迭代公式收斂的充要條件是1 、；'av'aaB=若求解某線性方程組有迭代公式X(n+1)二BX(n)+F，其中解答內(nèi)容不得超過裝訂線5?設(shè)f(x)=盲±7，則滿足條件pP(x)二的二次插值公式6．a(chǎn)7．已知求積公式'隱式中點(diǎn)方法0f(x)dx?8[f(0)+6f(a)+f(1)]至少具i次代數(shù)精度，則y=y+hf(t+h/2,n+n+i)n+1 n n 2應(yīng)用于初值問題y'(t)=y(t)，y(°)=1的數(shù)值解yn得分評卷人八. (10分)證明：對任何初值x0得分評卷人x=cosx,n=1,2,TOC\o"1-5"\h\zn n-1所生成的序列4“'均收斂于方程X=C0SX的根。得分評卷人九. (20分)給定線性方程組8x+x-x=81 2 3<x—7x+2x=—41232x+x+9x=121 2 31)試用Gauss消去法求解其方程組；(2)給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并說明其二種迭代格式的收斂性。

得分評卷人字），并給出其實(shí)際誤差。十.（12分）已知f（x）=ex（3x—ex），插值節(jié)點(diǎn)得分評卷人字），并給出其實(shí)際誤差。x二1.00,x二1.02,x二1.04,x二1.06,0 1 2 3試構(gòu)造Lagrange插值公式計(jì)算f（1.03）的近似值（保留4位有效數(shù)得分評卷人J1sin(x2)dx0得分評卷人J1sin(x2)dx0（精確到10-4）。解答內(nèi)容不得超過裝訂線得分評卷人(5)當(dāng)0=?時(shí),十二?（16分）給出單支0-方法y二y+hf[01+（1-0）t ,0y+（1-0）y]（0<0<1）n+1 n n n+1 n n+1（4）計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差；其方法為2階相容；6）當(dāng)該方法應(yīng)用于初值問題y'(t)-y(t九y(t),y0時(shí)（其中九為實(shí)常數(shù)），其在t二tn處的數(shù)值解yn二?2005~2006學(xué)年《計(jì)算方法》試題班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 成績 題號(hào)—一—二三四五六七八九十總分得分一.填空題（每空3分，共18分）1-2、1.已知矩陣I-3 4丿，則IIAII2.方程xex-1二0的Newton迭代格式為 a丿，且a丿，且A可分解為A二LLt，其中L為對角線上元素全等于1的下三角矩陣，則a=4.已知⑴）二yi,i二0，1，2；x0<x<x2,且xoimZ2f⑶（x）AM，則其拉格朗日插值余項(xiàng)R滿足估計(jì)式Rl< 。J2f（x）dx?1f（1）+Af（2）+1f⑵nr|已知求積公式i 6 3 6，則A= 。h+1,y+1)]n+1 n+1 是y+1,y+1)]n+1 n+1 是解常微分方程初值問題的梯形公式n+1 - 2丿n?丿階方法。二（10分）試導(dǎo)出計(jì)算Va的Newton迭代公式，并由此公式計(jì)算32，要求精確到10-5。三.（12分）給定線性方程組2x+x=112<x+3x+x=—1123x+2x=123分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。（15分）利用余弦函數(shù)cosx在x0=0,S=:,x2=[處的值導(dǎo)出其二次Lagrange插值多項(xiàng)式，并以此近似計(jì)算cos:，且給出該近似值的相對誤差。（15分）某學(xué)生在大學(xué)一、二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績?nèi)缦拢簩W(xué)期x1234平均成績y63.270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績的上升趨勢，并估計(jì)出他在大學(xué)三四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績。（15分）用Romberg算法計(jì)算'°血）抵（步長—從1逐步減半到8）。（15分）試導(dǎo)出求解初值問題y'=f（x，y），叫=yo的2步3階公式y(tǒng)=y+—（bf+bf+bf）,n+2 n+1 0n1n+12n+2并給出其絕對穩(wěn)定域。2004~2005學(xué)年《計(jì)算方法》試題（2004年11月26日）班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 成績 題號(hào)—一二二四五六七八九十總分得分一-（20分）1.用簡單迭代法求方程x2-x-1二0在x0二I，5附近的具有4位有效數(shù)字的近似根,并證明收斂性。2.試導(dǎo)出計(jì)算去（2.試導(dǎo)出計(jì)算去（a>0）的Newton迭代公式，使公式中既無開方，又無除法運(yùn)算。二.(10)1.給定線性方程組5x—2x—x=—1TOC\o"1-5"\h\z1 2 3<—x+10x+5x=21 2 3x—2x+10x=31 2 3-212--10_A=—40—5b=—19482，26分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。三.（15）設(shè)有線性代數(shù)方程組Ax=b，其中用列選主元Gauss消去法求解此方程組。用LU分解法求解此方程組。四.（15）1.用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的開方求“16；x1 23yx1 23y—202y'402.已知函數(shù)表,求其插值多項(xiàng)式，并寫出誤差估計(jì)式。五.（10分）已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x01234f(x)510142126i試用最小二乘法求出擬合直線y二ax+b。-2h-101-2h-101j1 1dx 1j2hf(x)dx沁Af(—h)+Af(0)+Af(h)2.用Romberg算法求o1+x （步長h從1取到8）o|y'+y二0七.（15分）1.用改進(jìn)Euler法求解初值問題1?。?）二0，取h=0.2,0<x<1.02.試導(dǎo)出求解y'二f（x，y），y（x0）二y0的下列公式y(tǒng)二y+h（Py'+Py'+Py'）n+1 n 1n-1 2n3n+19并求出局部截?cái)嗾`差首項(xiàng)。2003~2004學(xué)年《計(jì)算方法》課程考試試卷院（系院（系） 專業(yè)班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 指： 方程xex-1=0的一個(gè)有根區(qū)間為: ，可構(gòu)造出它的一個(gè)收斂的迭代格式為： 。解方程f（x）二0的Newton迭代公式為 ，Newton迭代法對于單根是階局部收斂的。4.解三角線性方程組的方法是 __過程。5.矩陣A的譜半徑定義為P（A）=，它與矩陣范數(shù)的關(guān)系是

線性方程組Ax二b中令A(yù)二D+L+U,其中D是A的對角部分構(gòu)成的矩陣，L和U分別是A的（負(fù)）嚴(yán)格下（上）三角矩陣，則Jacobi迭代法的迭代矩陣是 。f（x）的差分形式的Newton插值多項(xiàng)式得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人二.（10分）設(shè)f（x）=x3-3x2+4x-得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人得分評卷人三. （10分）請用二分法計(jì)算方程f（x）二x3-3x2+4x-3二0的近似根，并進(jìn)行到第3步為止。四.(20分)用緊湊格式的三角分解法求解線性方程組:2x+x+x=01 2 3<x+x+x=3123x+x+2x=11 2 3五.（15分）用余弦函數(shù)cosx在x0=0,x]=『x2=^三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值寫出二次Lagrange插值多項(xiàng)式函數(shù)，并近似計(jì)算cos:及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。六.（15分）某學(xué)生在大學(xué)一二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績?nèi)缦拢簩W(xué)期(x)1234平均成績（y）63.270.576.678.4

試求出一條最佳的直線以反映其平均成績的上升趨勢，并估計(jì)出他在大學(xué)三四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績，將表格填完整。計(jì)算方法》上機(jī)實(shí)驗(yàn)試題1.(25分)計(jì)算積分xndxn=0,l,2,???,20x+5n=0,l,2,???,20若用下列兩種算法(A)nn-(A)nn-1(B)n-1試依據(jù)積分I的性質(zhì)及數(shù)值結(jié)果說明何種算法更合理。n2.(25分)求解方程f(x)=O有如下牛頓迭代公式(1)二xn-1(1)二xn-1f(x)n— -廣(x)n-1編制上述算法的通用程序，并以心，x0—xI<en-1給定(￡為預(yù)定精度)作為終止迭代的準(zhǔn)則。(2)利用上述算法求解方程f(x):二cosx一x=0這里給定x0=n/4,且預(yù)定精度