2023年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題匯編

2018年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題匯編1000字以下是2018年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題的匯編：1.二次函數(shù)圖像向上開口，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(3,-5)$，過點(diǎn)$(1,-11)$，求函數(shù)解析式。解：設(shè)所求函數(shù)為$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知條件得到以下三個(gè)方程組：\\begin{align}&f(3)=-5\\quad\\Rightarrow\\quad9a+3b+c=-5\\\\&f(1)=-11\\quad\\Rightarrow\\quada+b+c=-11\\\\&f(x)=ax^2+bx+c\\quad\\Rightarrow\\quadf'(x)=2ax+b\\end{align}因?yàn)閳D像向上開口，所以$a>0$。求出頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)$x=-\\frac{2a}=3$，代入上式3得到$b=-6a$。再將$b=-6a$代入上式2得到$c=-8a-11$。將$b=-6a$和$c=-8a-11$代入上式1得到$-33a=-32$，解得$a=\\frac{32}{33}$。因此所求函數(shù)的解析式為$f(x)=\\frac{32}{33}x^2-\\frac{64}{11}x-\\frac{619}{33}$。2.已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像經(jīng)過點(diǎn)$(1,3)$，過點(diǎn)$(2,1)$的切線斜率為$-4$，求函數(shù)解析式。解：因?yàn)閳D像經(jīng)過點(diǎn)$(1,3)$，所以有$f(1)=a+b+c=3$。又因?yàn)檫^點(diǎn)$(2,1)$的切線斜率為$-4$，所以有$f'(2)=4a+b=-4$。代入$f(1)=3$得到$b=-13-4a$。代入$f'(2)=4a+b=-4$得到$a=3$。因此$b=-13-4a=-25$，$c=f(1)-a-b=-3$。所以所求函數(shù)的解析式為$f(x)=3x^2-25x-3$。3.已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)$(2,1)$和$(4,-1)$，過點(diǎn)$(3,0)$的直線為該二次函數(shù)的切線，求函數(shù)解析式。解：因?yàn)檫^點(diǎn)$(3,0)$的直線為該二次函數(shù)的切線，所以在點(diǎn)$(3,0)$處二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直線斜率。設(shè)所求函數(shù)為$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知條件得到以下三個(gè)方程組：\\begin{align}&f(2)=a(2)^2+b(2)+c=1\\\\&f(4)=a(4)^2+b(4)+c=-1\\\\&f'(3)=2a(3)+b=k\\qquad\\text{其中}k\\text{為直線斜率}\\end{align}聯(lián)立以上三個(gè)方程解得$a=-\\frac{1}{2}$，$b=\\frac{11}{2}$，$c=-8$。因此所求函數(shù)的解析式為$f(x)=-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{11}{2}x-8$。4.原點(diǎn)$O$到拋物線$y=ax^2+bx+c$的距離恒為定值$k$，求$a$的值。解：首先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，則拋物線的解析式為$y=a(x-h)^2+k$。由于原點(diǎn)到拋物線的距離為$k$，所以有$\\frac{|ah^2+k|}{\\sqrt{a^2+1}}=k$。根據(jù)圖像性質(zhì)可以知道，拋物線的軸線與橫軸平行，因此$h=0$。將$h=0$代入上式得到$|k|=k\\sqrt{a^2+1}$，解得$a=0$或者$a=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$，因此$a$的值為$0$或者$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$。5.已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$經(jīng)過點(diǎn)$(1,2)$，$(2,4)$，$(3,6)$，求函數(shù)解析式。解：由已知條件可得到以下三個(gè)方程組：\\begin{align}&f(1)=a+b+c=2\\\\&f(2)=4a+2b+c=4\\\\&f(3)=9a+3b+c=6\\end{align}將以上方程組整理成增廣矩陣并進(jìn)行高斯消元，解得$a=0$，$b=2$，$c=0$。因此所求函數(shù)的解析式為$f(x)=2x$。6.二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$與$g(x)=2x-1$在$x=2$處相切，求$a$的值。解：因?yàn)?f(x)$和$g(x)$在$x=2$處相切，所以它們?cè)?x=2$處的函數(shù)值相等，且它們?cè)?x=2$處的導(dǎo)數(shù)也相等。因此有以下兩個(gè)方程：\\begin{align}&f(2)=g(2)\\quad\\Rightarrow\\quad4a+2b+c=3\\\\&f'(2)=g'(2)\\quad\\Rightarrow\\quad4a+b=2\\end{ali