第十講虛功原理與單位載荷法

第十講虛功原理與單位載荷法第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二余功與余能

ComplementaryWorkandComplementaryEnergy彈性體的余能Vc數(shù)

值上等于余功：余功的定義:上講回顧第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

單向應力狀態(tài)下的余能密度為故拉壓桿與梁的余能為余能計算《材料力學（II）》第1版，單輝祖編著，高教社第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二克羅第－恩格塞定理

彈性體的余能對載荷

Fk

的偏導數(shù)，等于該載荷的相應位移

Dk－克羅第－恩格塞定理第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二卡氏定理線性彈性體的應變能，對載荷

Fk的偏導數(shù)，等于該載荷的相應位移

Dk

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卡氏第二定理對于線性彈性體：第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二卡氏定理1）適用于線彈性體；2）附加載荷法；3）引入新變量，區(qū)分相關載荷；4）求相對位移；5）正確理解載荷相應位移的概念。應用卡氏定理的幾個問題：第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二§4變形體虛功原理變形體虛功原理變形體虛功原理的證明第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理幾個概念

1）與外力保持平衡并滿足靜力邊界條件的內(nèi)力，稱為靜力可能內(nèi)力或可能內(nèi)力

1、可能內(nèi)力與外力（靜力許可場）2）桿的可能內(nèi)力用FN,T,FS與M表示）可能內(nèi)力與外力結構的靜力許可場第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

1）滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件的任意結構位移，稱為幾何可能位移，相應之變形稱為可能變形2、

可能位移與可能變形（運動許可場）

3）桿微段的變形用dd,df與dq表示

2）桿件的位移：幾個概念運動許可場第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理可能內(nèi)力滿足：可能位移與變形滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）例如第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二可能內(nèi)力變形體虛功原理Px12l2l1APyPP12l2l1APxPy第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二可能內(nèi)力變形體虛功原理Px132l2l3l1APy平衡方程有無數(shù)內(nèi)力解答；

任一組內(nèi)力解答均為可能內(nèi)力PxPy第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二132l2l3l1AA’Δl2Δl1Δl3可能變形變形體虛功原理132l2l3l1AA’Δl2Δl1Δl3滿足變形協(xié)調(diào)條件的任一組變形均為可能變形第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

假想的、微小的可能位移，稱為結構的虛位移，相應之變形稱為虛變形桿微段的虛變形用dd*、df*與dq*表示3、

虛位移與虛變形4、

虛功（以梁為例）結構的外力與內(nèi)力任取結構的虛位移與虛變形幾個概念如何表示？二者的關系？如溫度變形第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二5、內(nèi)力虛功與外力虛功

作用在所有微段上的可能內(nèi)力在虛變形上作之總虛功－內(nèi)力虛功外力在可能位移上所作之總虛功－外力虛功第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理

可以證明：外力在虛位移上所作外力虛功

We，等于可能內(nèi)力在虛變形上所作內(nèi)力虛功

Wi，即

We＝Wi稱為變形體虛功原理（虛位移原理）PrincipleofVirtualWork第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理的例證可能內(nèi)力滿足：虛位移滿足：（平衡條件）（靜力邊界條件）（變形連續(xù)條件）（位移邊界條件）第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二外力虛功內(nèi)力虛功比較證畢！第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理的例證——討論討論：1）簡支梁：位移邊界條件與靜力邊界條件第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二變形體虛功原理的例證——討論2）懸臂梁：位移邊界條件與靜力邊界條件第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二適用于線彈性、非線彈性、非彈性體關于變形體虛功原理外力內(nèi)力虛位移虛變形滿足變形協(xié)調(diào)條件、位移邊界條件靜力許可場運動許可場彼此獨立外力虛功內(nèi)力虛功滿足平衡方程、靜力邊界條件第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二§5單位載荷法單位載荷法的基本公式單位載荷法的常用公式例題第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二單位載荷法的基本公式結構的載荷狀態(tài)構造單位(載荷)狀態(tài)運動許可場靜力許可場第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二D－線位移，加單位力D－角位移，加單位力偶D－相對線位移，加一對相等相反單位力D－相對角位移，加一對相等相反單位力偶

關于位移與單位載荷關于位移方向

當所得位移為正，則位移與所加單位載荷同向D－廣義位移，施加相應單位廣義載荷實際變形由載荷狀態(tài)下的實際內(nèi)力確定第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二線彈性拉壓桿與桁架：處于平面彎曲的線彈性梁與剛架：基本變形情況線彈性軸：單位載荷法的常用公式第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二單位載荷法的常用公式組合變形情況對于線彈性桿或桿系，微段變形與內(nèi)力關系：第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二例題解：1.構造單位載荷狀態(tài)2.求支反力，建立彎矩方程例

5-1第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二AB段：BC段：3.位移計算第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二例5-2求qA=?應如何分段，坐標系如何選?。拷猓?.構造單位載荷狀態(tài)2.分段建立彎矩方程第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二解：影響小曲率梁變形的主要內(nèi)力－彎矩例

5-3一小曲率梁，求截面A與B間的相對轉角()由虛功原理可得第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二AB段：BC段：例

5-4解：第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二(