《有理數(shù)》(提高)知識(shí)講解

《有理數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解撰稿：吳婷婷審稿：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念.2．理解并會(huì)用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運(yùn)算法則進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算3．學(xué)會(huì)借助數(shù)軸來(lái)理解絕對(duì)值、有理數(shù)比較大小等相關(guān)知識(shí).4.理解科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)的相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用；5.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中體現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】分類(lèi)一有關(guān)概念一I有理數(shù)卜-分類(lèi)一有關(guān)概念一I有理數(shù)卜-I相反數(shù)I絕對(duì)值「倒數(shù)--1數(shù)軸科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)I科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)I【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類(lèi)：（1）按定義分類(lèi)：（2）按性質(zhì)分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒(méi)有3個(gè)蘋(píng)果用3表示，沒(méi)有蘋(píng)果用0表示表示某種狀態(tài)0oC表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)．要點(diǎn)詮釋(1)一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如兀.(2)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱(chēng)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的．()求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“一”號(hào)即可.(3)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“一”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)．4．絕對(duì)值：(1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.數(shù)a的絕對(duì)值記作|。.(幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算1.法則：()加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).()減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即ab=a(b)(3)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.②任何數(shù)同0相乘，都得0.()除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a：b=a-1(bW0).b()乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0.(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行;③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸捌尕?fù)偶正”口訣的應(yīng)用：(1)多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－(－3)]=－3，－[(+－3)]=3.(2)有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：(-3)X(一)X(―6)=-36,而(-3)X(一)X6=36.(3)有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：(—3)2=9,(—3)3=—27..運(yùn)算律：()交換律： ①加法交換律:ab=b；a②乘法交換律:ab=ba；

=a； ②乘法結(jié)合律：(=a； ②乘法結(jié)合律：(a()分配律：a =a要點(diǎn)三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小；(3作)差比較法．(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法．要點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于 的數(shù)表示成ax10n的形式(其中1<網(wǎng)<10,n是正整數(shù))，此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.例如： 2x10=.2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長(zhǎng)江的長(zhǎng)約為 0m,這里的 km就是近似數(shù).要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂话悴捎盟纳嵛迦敕ㄈ〗茢?shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.3.精確度：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱(chēng)這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的精確度.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.()精確度有兩種形式：①精確到哪一位.②保留幾個(gè)有效數(shù)字.這兩種的形式的意義不一樣，一般來(lái)說(shuō)精確到哪一位可以表示誤差絕對(duì)值的大小，例如精確到0.1米，說(shuō)明結(jié)果與實(shí)際數(shù)相差不超過(guò)0.05米，而有效數(shù)字往往用來(lái)比較幾個(gè)近似數(shù)哪個(gè)更精確些.【典型例題】類(lèi)型一、有理數(shù)相關(guān)概念?.已知x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，lx+y1+(a-1)2=0,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值.【思路點(diǎn)撥】 若有理數(shù)與互為相反數(shù)，則 =,反過(guò)來(lái)也成立.若有理數(shù)與互為倒數(shù)，則，反過(guò)來(lái)也成立．若有理數(shù)與互為倒數(shù)，則，反過(guò)來(lái)也成立．【答案與解析】因?yàn)閤與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，(a-1)2>0,/所以x+y=0,mn=1,a=1,所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010=a2-(0+1)a+02009+(-1)2010=a2-a+1.Va=1,二原式=12-1+1=1【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念.舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高 35712復(fù)9習(xí)例題2】【變式1】選擇題(1)已知四種說(shuō)法：①|(zhì)a|=a時(shí)，a>；|a|=a時(shí)，a<. ②|a|就是a與a中較大的數(shù).③|a|就是數(shù)軸上a到原點(diǎn)的距離. ④對(duì)于任意有理數(shù)，|a^a<|a|.其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()．BC．D．(2)有四個(gè)說(shuō)法：①有最小的有理數(shù)②有絕對(duì)值最小的有理數(shù)③有最小的正有理數(shù)．BC．D．(2)有四個(gè)說(shuō)法：①有最小的有理數(shù)②有絕對(duì)值最小的有理數(shù)③有最小的正有理數(shù)④沒(méi)有最大的負(fù)有理數(shù)上述說(shuō)法正確的是()?①②B.③④C.②④?①②B.③④C.②④()已知(也切3>0,則(A．a(chǎn)b<0B．a(chǎn)b>0）a>0且b<0（）若 ，貝+A.120. B-15. C0 D.D.①②a<0且b<0的值是（ ）(5)下列各對(duì)算式中，結(jié)果相等的是( )A.-a6與(-a)6B.也3與|-a|3 C.[(-a)2]3與(即)2 d.(ab)3與ab3【答案(1)C；(2)C；(3)A；(4)D；(5)C【變式2】某市200年8的國(guó)民生產(chǎn)總值約為333億.元9，預(yù)計(jì)200年9比上一年增長(zhǎng)表示200年9這個(gè)市的國(guó)民生產(chǎn)總值應(yīng)是(精確到0.)0_1___元_.___【答案】3.67x1010提示：333.9乂1.1:367.29（億元）:3.67x10io（元）在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：99100100101【思路點(diǎn)撥】在aaa、b在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：99100100101【思路點(diǎn)撥】在aaa、b均為正數(shù)的條件下，根據(jù)“7>1,7=1,-<1分別得到>b,bbb=b,<b”來(lái)比較兩數(shù)的大小.【答案】>【解析】法一：作差法：9910099100（-【解析】法一：作差法：9910099100（-101）100-99x101+100x100 + 100101101x10010100>0,9910010099100100>- 101法二：作商法：由于9910099101——x法二：作商法：由于9910099101——x 99991001011001001000099 100<1,所以——<—10010199 100再根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，得到：—->--【總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法，要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用.舉一反三：【變式】在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào).11111111111111【答案】>1111【答案】>11111(提示：倒數(shù)法較簡(jiǎn)便)類(lèi)型二、有理數(shù)的運(yùn)算【高清課堂：有理數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算】11 2\-4-V3)1 1\-3類(lèi)型二、有理數(shù)的運(yùn)算【高清課堂：有理數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算】11 2\-4-V3)1 1\-33V3)一1\-6—+-2—2(一全7x"(3)-25?(-4)xfi-12x(-15+24)111i3741=+1―--—-2.5+5x6—53—(—1}00—12?5 1+-1-32x2211〃1JJ1【答案與解析]()原式=-4-+3-+6--2-=2JJ 乙 I JL乙5 434 2原式=--x一x—x—=—-121523 9原式=-32+(-4)x1-12x(-15+16)3=-104原式=[13+(—2)+1+3]——x5x(—3)=2-125-1-12+(-!)原式=1+11-9x2| 二-'9【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算有很多技巧，如：正、負(fù)數(shù)分別相加；分?jǐn)?shù)中，同分母或分母有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)結(jié)合相加；除法轉(zhuǎn)化為乘法、正向應(yīng)用乘法分配律:逆向應(yīng)用分配律：舉一反三：8 3 2-8 3 2-0.25]x199———x[(--)2-2]9 2 31/5、1117（）［（——）2=1——x—（）TOC\o"1-5"\h\z7 148（）2x(--)-(--)x(-2—)+(--)3x—

9 9 2 2 95 11 7 8 3 2()[(--)2+1x——0.25]x199———x[(--)2-2]7 14 8 9 2 325 14 7 1 8 3 4=(——x x-——)x199——-x(-2)49 25 8 4 9 2 9

11、…8/43?(—)x199——(—x——x2)TOC\o"1-5"\h\z44 9 292-0-(|-3)-0-2+353X-9()53X-9()-2132x(——)—(——)x(—2—)+(——)

9 9 2 2_9/5、/5、/5、/1、5—4X(-9)—(-9)X(-2)+(-8)X9=(-5)x(9+5+1)9 428-_217先觀(guān)察下列各式:24先觀(guān)察下列各式:1X43n(n(n+3) 31n根據(jù)以上觀(guān)察，計(jì)算:1 1 1 + + 1 1 1 + + 1X44X77X10 的值.2005x20081(【答案與解析】原式—31—T+-11(【答案與解析】原式—31—T+-1( 11—1——+——+1(11(31710)3120052008)144771020052008)1\—1\—2008)12007——X 320086692008【總結(jié)升華】根據(jù)題中提供的拆項(xiàng)方法把每一項(xiàng)拆成3—1【總結(jié)升華】根據(jù)題中提供的拆項(xiàng)方法把每一項(xiàng)拆成3—1n的形式，然后再進(jìn)行計(jì)算.舉一反三：有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高例】【高清課堂:有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高例】【變式】用簡(jiǎn)單方法計(jì)算：1111+—+—+——+824488011111+—+—+——+82448801120【答案】原式11 + +2x44x11 + +2x44x611 + +6x88x101

10X1211——+——441—+..6.+-=A1012 24類(lèi)型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用.(1)數(shù)形結(jié)合思想：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且|a|>|b|,求|a|求b|ba|的值. 1 1 1 。 0bA．2b+a B．2b-a C．a(chǎn)D．b(2)分類(lèi)討論思想：已知a是任一有理數(shù)，試比較|a|與2a的大小.—(1)(3)轉(zhuǎn)化思想：(—999)+——.I357【答案與解析】a|(1)從數(shù)軸上a、 兩點(diǎn)的位置可以看出a<0,>0,且|a|>|,所以|a||aa|=aa=a.a(2)a可能是正數(shù)，0或負(fù)數(shù)，這就需要分類(lèi)討論：當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a>0, 2a^0,所以|a|>2a當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0, 2a=0,所以|a|=2a當(dāng)a<0時(shí)，|a|=a,02>0,又W2a所以|a|<2a綜上所述：當(dāng)aN0時(shí)，|a|N2a當(dāng)a<0時(shí)，|a|<2a(1\()(—999)+——二(—1000+1)x(—35)=(—1000)x(—35)+1x(—35):34965.1357【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問(wèn)題的有效手段.數(shù)形結(jié)合——“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，具體化；分類(lèi)討論中注意分類(lèi)的兩條原則：分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類(lèi)要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.類(lèi)型四、規(guī)律探索6.下面兩個(gè)多位數(shù)1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：將第1位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫(xiě)在第2位；若積為兩位數(shù)，則將其個(gè)位數(shù)字寫(xiě)在第2位．對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的．當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是(．)A．495．B497．C501 ．D503【思路點(diǎn)撥】多位數(shù)1248624…是怎么來(lái)的？當(dāng)?shù)?個(gè)數(shù)字是1