高等數(shù)學考題09

高等數(shù)學考題一、填空題（每小題１分，共１０分）________１１．函數(shù)ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定義域為_________√１－ｘ2_______________。２．函數(shù)ｙ＝ｘ＋ｅx上點（０，１）處的切線方程是______________。ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．設(shè)ｆ（X）在Xo可導且ｆ’（Xo）＝Ａ，則ｌｉｍ───────────────h→oh＝_____________。４．設(shè)曲線過（０，１），且其上任意點（Ｘ，Ｙ）的切線斜率為２Ｘ，則該曲線的方程是____________。ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。x→∞Ｘ７．設(shè)ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），則ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。_______R√R2－ｘ2８．累次積分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化為極坐標下的累次積分為____________。00ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程───＋──（───）2的階數(shù)為____________。ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．設(shè)級數(shù)∑ａn發(fā)散，則級數(shù)∑ａn_______________。n=1n=1000二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的內(nèi)，１～１０每小題１分，１１～２０每小題２分，共３０分）（一）每小題１分，共１０分１１．設(shè)函數(shù)ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，則ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0時，ｘｓｉｎ──＋１是ｘ①無窮大量②無窮小量③有界變量④無界變量３．下列說法正確的是①若ｆ（X）在X＝Xo連續(xù)，則ｆ（X）在X＝Xo可導②若ｆ（X）在X＝Xo不可導，則ｆ（X）在X＝Xo不連續(xù)③若ｆ（X）在X＝Xo不可微，則ｆ（X）在X＝Xo極限不存在④若ｆ（X）在X＝Xo不連續(xù)，則ｆ（X）在X＝Xo不可導４．若在區(qū)間（ａ，ｂ）內(nèi)恒有ｆ’（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，則在（ａ，ｂ）內(nèi)曲線?。剑妫ǎ棰偕仙耐够、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟。担O(shè)Ｆ’＝Ｇ’，則①Ｆ＋Ｇ為常數(shù)②Ｆ－Ｇ為常數(shù)③Ｆ－Ｇ＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫│ｘ│ｄｘ＝-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空間表示的圖形是①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ軸的平面③過ｏｚ軸的平面④直線ｘ８．設(shè)ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ──，則ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．設(shè)ａn≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，則級數(shù)∑ａnn→∞ａn=1①在ｐ〉１時收斂，ｐ〈１時發(fā)散②在ｐ≥１時收斂，ｐ〈１時發(fā)散③在ｐ≤１時收斂，ｐ〉１時發(fā)散④在ｐ〈１時收斂，ｐ〉１時發(fā)散１０．方程ｙ’＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是①一階線性非齊次微分方程②齊次微分方程③可分離變量的微分方程④二階微分方程（二）每小題２分，共２０分１１．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．設(shè)ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可導，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，則至少有一點ζ∈（ａ，ｂ）使①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ’（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ’（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ’（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ’（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．設(shè)ｆ（X）在X＝Xo的左右導數(shù)存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo可導的①充分必要的條件②必要非充分的條件③必要且充分的條件④既非必要又非充分的條件ｄ１４．設(shè)２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，則ｆ（０）＝１，則ｆ（ｘ）＝ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．過點（１，２）且切線斜率為４ｘ3的曲線方程為ｙ＝①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝0tｄｘ５．求過點Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直線方程。___６．設(shè)ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。xasinθ７．計算∫∫ｒｓｉｎθｄｒｄθ。00ｙ＋１８．求微分方程ｄｙ＝（────）2ｄｘ通解。ｘ＋１３９．將ｆ（ｘ）＝─────────展成的冪級數(shù)。（１－ｘ）（２＋ｘ）四、應(yīng)用和證明題（共１５分）１．（８分）設(shè)一質(zhì)量為ｍ的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為ｋ〉０）求速度與時間的關(guān)系。___１２．（７分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當ｘ〉１時，２√ｘ〉３－──。ｘ高等數(shù)學（一）參考答案和評分標準一、填空題（每小題１分，共１０分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１１５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ２６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）π/2π８．∫ｄθ∫ｆ（ｒ2）ｒｄｒ00９．三階１０．發(fā)散二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的內(nèi)，１～１０每小題１分，１１～２０每小題２分，共３０分）（一）每小題１分，共１０分１．③２．③３．④４．④５．②６．②７．②８．⑤９．④１０．③（二）每小題２分，共２０分１１．④１２．④１３．⑤１４．③１５．③１６．②１７．①１８．③１９．①２０．②三、計算題（每小題５分，共４５分）１１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］（２分）２１１１１１──ｙ’＝──（────－──－────）（２分）ｙ２ｘ－１ｘｘ＋３__________１／ｘ－１１１１ｙ’＝──／──────（────－──－────）（１分）２√ｘ（ｘ＋３）ｘ－１ｘｘ＋３１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）２．解：原式＝ｌｉｍ────────────────（３分）x→4/3３１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］＝──────────────────────＝８（２分）３１＋ｅx－ｅx３．解：原式＝∫───────ｄｘ（２分）（１＋ｅx）2ｄｘｄ（１＋ｅx）＝∫─────－∫───────（１分）１＋ｅx（１＋ｅx）2１＋ｅx－ｅx１＝∫───────ｄｘ＋─────（１分）１＋ｅx１＋ｅx１＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋─────＋ｃ（１分）１＋ｅx４．解：因為ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）ｄｙ－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ所以───＝────────────────＝－ｔｇｔ（２分）ｄｘ（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ５．解：所求直線的方向數(shù)為｛１，０，－３｝（３分）ｘ－１ｙ－１ｚ－２所求直線方程為────＝────＝────（２分）１０－３____６．解：ｄｕ＝ｅx+√y+sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ）（３分）__ｄｙ＝ｅx+√y+sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋─────］（２分）___２√ｙπasinθ１π７．解：原積分＝∫ｓｉｎθｄθ∫ｒｄｒ＝──ａ2∫ｓｉｎ3θｄθ（３分）00２0π/2２＝ａ2∫ｓｉｎ3θdθ＝──ａ2（２分）0３ｄｙｄｘ８．解：兩邊同除以（ｙ＋１）2得──────＝──────（２分）（１＋ｙ）2（１＋ｘ）2ｄｙｄｘ兩邊積分得∫──────＝∫──────（１分）（１＋ｙ）2（１＋ｘ）2１１亦即所求通解為────－────＝ｃ（２分）１＋ｘ１＋ｙ１１９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝────＋────（１分）１－ｘ２＋ｘ１１１＝────＋───────（１分）１－ｘ２ｘ１＋──２∞１∞ｘnｘ＝∑ｘn＋──∑（－１）n──（│ｘ│〈１且│──│〈１）（２分）n=0２n=0２n２∞１＝∑［１＋（－１）n───］ｘn（│ｘ│〈１）（２分）n=0２n+1四、應(yīng)用和證明題（共１５分）ｄｕ１．解：設(shè)速度為ｕ，則ｕ滿足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ（３分）ｄｔ１解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m）（３分）ｋｍｇ由ｕ│t=0＝０定出