南開大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習資料要點

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》復習資料一、考試說明考試形式和試卷結(jié)構(gòu)考試形式：當堂開卷試卷內(nèi)容比例：概率論部分約占72% 數(shù)理統(tǒng)計部分約占28％題型比例：選擇題約占24%，填空題約占24％，解答題約占52%說明:在下列的復習題中，包括試題中題目分數(shù)約為70分，包括了所有試題題型，由于考試形式為開卷，所以請同學們認真做一下下面的復習題，這樣至少保證通過考試，在確保通過考試的基礎(chǔ)上，請同學們認真復習，取得滿意的成績。二、復習題(一)單項選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、A、B、C表示事件，下列三個有關(guān)事件的關(guān)系式中，正確的有( ).(1)=()()(2)B=A=AB (3)A、。個； B、1個；C、2個；口、3個知識點答案等可能概型cTOC\o"1-5"\h\z2、擲2顆骰子，設(shè)點數(shù)之和為3的事件的概率為p，則p二()(A)1; (B)1;2 4(C)_1; (D)_1.18 36知識點答案等可能概型c3、一部文集，按順序排放在書架的同層上，則各卷自左到右或自右到左卷號

1?—16恰好為1、2、 3、1?—161 1(A)— (B)—8 12知識點答案等可能概型b4、某次國際會議共有1000人參加，其中有400人來自天津，350人來自北京，250人來自國外。已知有100人將在會議發(fā)言，則恰好有40個發(fā)言者是天津人的概率為（ ）.A、C40CA、C40C60—400600C100

1000C40C35C25——400350250C400C350C250100010001000C40C35C25—400 350250C1001000知識點答案超幾何概型bC40C60 400600C400C350C250100010001000B、D.現(xiàn)讓他們各自獨立地對同5、已知4b兩事件滿足P(AB)=P(AB),若P(A)=p，則UP(B)=(D.現(xiàn)讓他們各自獨立地對同A.1-p B.p C.p(1-p)知識點答案隨機事件概率a6、已知甲乙兩人射擊的命中率分別為0.8和0.9,一目標各射一次，求目標被命中的概率為（ ）。A、0.72; B、0.84;C、0.93; D、0.98知識點答案條件概率d7、袋中有三張彩票，其中只有一張是可以中獎的。甲、乙、丙三個人一次從袋中取出一張彩票，則（ ）.A、甲中獎的概率最大 B.乙中獎的概率最大

口、三個人中獎的概率相同知識點答案口、三個人中獎的概率相同知識點答案條件概率與全概率公式DC、丙中獎的概率最大8、設(shè)某批產(chǎn)品中甲、乙、丙三個廠家的產(chǎn)量分別占45%,35%,20%,各廠產(chǎn)品中次品率分別為4%、2%和5%.現(xiàn)從中任取一件，取到的恰好是次品的概率為（）.A.0.035B.0.038A.0.035D.0.045知識點答案全概公式aD.0.045知識點答案全概公式aC.0.0769、設(shè)事件A,B相互獨立，且P（A）=3Pb）=5，則p（a?B）=（TOC\o"1-5"\h\zA.工 B.i15 5C.4 D.I15 3知識點答案隨機事件的獨立性d).TOC\o"1-5"\h\z1。、設(shè)隨機變量X~B(2,p),Y~B(3,p”若p{x>1}=9,則P{Y>1}=().A.31 B.19 C. D..241 27 15 13知識點答案二項分布bC、0.950D、0.97511、設(shè)隨機變量（1,4）,已知①J%）=0.025，則p4C、0.950D、0.975A、0.025 B. 0.050知識點答案正態(tài)分d12、設(shè)隨機變量Nd。*若日不變，當。增大時概率P{N<1}( ).A、A、增大B.減小C、不變D、增減不定知識點答案正態(tài)分布b13、設(shè)x的概率密度為f(x)= 1 ,則y=2X的概率密度f(y)=( ).X 兀(1+X2) y(A) 2(A) 2兀(4+y2)(B) 1兀(1+4y2)_arctgy,兀知識點答案隨機變量函數(shù)的分布_arctgy,兀知識點答案隨機變量函數(shù)的分布a(C) 1 ;兀(1+y2)(D)14、設(shè)x和y是相互獨立的兩個隨機變量，x服從[0,1]上的均勻分布，即x~u(0,2),y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布即Y~e⑵，則E(XY)=( )A.1A.1B.2 C.3 D.4知識點答案期望和方差b15、對兩個隨機變量X和Y，若E[][X][Y],貝1」( ).A、D()(X)(Y);B、E[][X]E[Y];C、D()(X)D(Y); D、上述結(jié)論都不一定成立.知識點答案數(shù)學期望的性質(zhì)d16、隨機變量X~b(n,p)，且已知E(X)二2.4,D(X)二1.44，則此二項分布中參數(shù)n和

知識點答案數(shù)學期望ap=( ).(A)n=6,p=0.4；(C)n=6,p=0.6 ；(B)n=4,p=0.6;(D)n=4,p=(B)n=4,p=0.6;(D)n=4,p=0.4.A、3 B、4 C、9D、16知識點答案期望和方差cTOC\o"1-5"\h\z18、設(shè)隨機變量X和Y都服從區(qū)間[0，1]上的均勻分布，則E[]=( ).A、1/6； B、1/2； C、1； D、2知識點答案期望和方差cTOC\o"1-5"\h\z19、兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(1,4)和N(0,9),則D(23Y)=( )．A、72B、84 C、97 101知識點答案數(shù)學期望與方差C20、對兩個隨機變量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),則( )成立。(A)D(XY)=D(X)D(Y)； (B)D(X+Y)=D(X)+D(Y);(C)X和Y相互獨立； (D)x和y不相互獨立.知識點答案期望和方差b21、設(shè)隨機變量X和Y的方差D(X),D(Y)都不為零，則D()(X)(Y)是X與Y( )．A、不相關(guān)的充分必要條件； B、獨立的充分條件，但不是必要條件;C、獨立的充分必要條件； D、不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件．知識點答案方差的性質(zhì)a22、設(shè)D(X)=2，則根據(jù)切比雪夫不等式抑X一E(X)|>3}<().(A)2; (B)1;TOC\o"1-5"\h\z9 4(C)3; (D)1.4 3知識點答案切比雪夫不等式aTOC\o"1-5"\h\z23、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(r,O2),其中日未知，。2已知X1,X2,X3是取自總體X的一個樣本，則以下不能作為統(tǒng)計量的是( ).A、X1+R B、X12/4 C、2X1+3X2+4X3 D、(X123)/02知識點答案統(tǒng)計量aTOC\o"1-5"\h\z24、設(shè)X12,…是正態(tài)總體N(出。2)的樣本，則樣本均值x的方差D(x)=( )．A、O2 B、nO2 C、O2 D、O22知識點答案統(tǒng)計量CTOC\o"1-5"\h\z25、隨機變量X服從(0-1)分布，參數(shù)p未知，有容量為n的樣本觀察值x1,X，……則參數(shù)P的最大似然估計為( ).2

A、x1,x2,…,中的最大值｛x1,x2,???，｝ B、x1,x2,…,中的最小值｛x1,x2,???，｝C、x1,x2,…,的中間值2 D、x1,x2,…,的平均值(x12+…)知識點答案最大似然估計D26、設(shè)總體X~N（出02）,02已知而從為未知參數(shù)，X,X，…X是從總體X中抽取12n的樣本，記X=1￡x，又①（X）表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，已知中（1.96）nii=1=0.975,由（1.28）=0.90,則日的置信度為0.95的置信區(qū)間是（ ）。A、(X—0.975.2,X+0.975.nn0nn),B、(A、(X—0.975.2,X+0.975.nn0nn),B、(X-1.96.2,X+1.96.2),nn nnC、(X-1.28.工,X+1.28.2),nn nnD、知識點答案區(qū)間估計b(X—0.90.衛(wèi),X+0.90.匕).nn nn27、設(shè)總體己服從正態(tài)分布N（由02）,其中旦,02均為未知參數(shù)，己,匚…己12是取自總體己的樣本，記；=1￡m,S2=1￡色-；）2,則R的置信度為1-a的置信區(qū)間ninnii=1 i=1為（）。A、(，一t(n-1).屋忑+1(n-1)工)a飛n久nn2 2B、(；-t(n-1).~JL=,；+1(n-1)-Ln=)a nn-1 a n--12 2C、(J(n-1):忑+1(n-1)2)annannD、J?T>+,口t+)2 2知識點答案區(qū)間估計b28、設(shè)總體罰艮從正態(tài)分布N（旦,。2）,其中n未知而c已知，（己,己，此）為取12n則G—z0.05的置信區(qū)間，自總體己的樣本，記；=1￡則G—z0.05的置信區(qū)間，i=1其置信度為（）。A、0.95C、A、0.95C、0.975D、0.90知識點答案區(qū)間估計dB、0.0529、在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)H0，備擇假設(shè)H1，則稱（ ）為犯第二類錯誤。A、H0為真，接受A、H0為真，接受H1B、H0不真，接受H0C、H0為真，拒絕H1 D、H0不真，拒絕H030、在假設(shè)檢驗中，顯著性水平30、在假設(shè)檢驗中，顯著性水平a表示（）。知識點答案假設(shè)檢驗aA、P｛接受H00為假｝ B、置信度為aC、P｛拒絕H00為真｝ D、無具體意義知識點答案假設(shè)檢驗c31、在假設(shè)檢驗中，下列結(jié)論正確的是（）。A、A、只犯第一類錯誤B、只犯第二類錯誤C、C、既可能犯第一類也可能犯第二類錯誤D、不犯第一類也不犯第二類知識點知識點錯誤知識點答案假設(shè)檢驗c（二）填空題1、從一個裝有10個黑球和4個白球的袋中，抽出5個球、其中2個是黑球、3個是白球的抽取方法共有 種.（答案：180）|知識點|等可能概I型「2、有5只球，隨機地放入5個盒子中，則每個盒子中恰好有1只球的概率為（答案：454=24/625）|知識點|等可能概I型I3、由50人組成的人群中至少有兩個人在同一天過生日的概率為（答案：0.97）|知識點|等可能概I型I4、設(shè)P（A）（B）=1/2,P（）=1/3，則A與B都不發(fā)生的概率為（答案：1/3）隨機事件的概率5、設(shè)A、B是兩隨機事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,AuB,則P（尸 .（答案：6/7）|知識點|條件概率6、$P（A）=1/2（B）=1/3（）=1/3，則P（尸.（答案：1/2）|知識點|獨立性7、一項任務同時拍甲、乙二人分別單獨去完成。甲能完成任務的概率為。.9,乙能完成任務的概率為0.8,則該項任務將被完成的概率為.（答案：0.98）|知識點|獨立性8、同時擲3枚均勻的硬幣，則至多有一枚硬幣字面朝上的概率為_.（答案：7/8）|知識點|伯努利概I型I9、離散型隨機變量X的分布律為Ph1,2,3,則常數(shù)a為（答案：6）知識點離散型隨機變量的分布律10、一電話總機每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，則某一分鐘呼喚次數(shù)大于2的概率是 _．（答案：1一1%-4）I知識點I泊松分布11、設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27,則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為.（答案：1/3）|知識點|二項分布12、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)如下，則常數(shù)a為.acosx--<%acosx2 2其它（答案：1/2）|知識點|概率密度13、設(shè)X在（0,a）服從均勻分布，已知方程4%2+4X%+X+2=0有實根的概率為0.8,則a= （答案：10）|知識點均勻分布知識點知識點14、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)f(x)(答案：2)知識點連續(xù)型隨機變量的分布15、設(shè)隨機變量X服從二項分布B(5)、Y服從二項分布B(5)，且它們相互獨立，則服從二項分布B()，其中.(答案：10)知識點隨機變量函數(shù)的分布16、在句子“ ”中隨機的取一單詞，以x表示取到的單詞所包含的字母個數(shù)，則E(x)= ^(答案：27/8)I知識點I

數(shù)學期望17、設(shè)隨機變量X的分布律為a100.5 1 2心，則01/31/61/61/121/40 (答案：1／2)知識點數(shù)學期望18、設(shè)(1,4),(-1⑼，且X與Y相互獨立，則D(-34Y尸.(答案：180)|知識點方差19、設(shè)D(X)=1,D(Y)=2,且x與丫相互獨立，則D(2Y)=(答案:9)20、設(shè)(入)，若E[⑴(2)]=1,則人=.(答案：1)|知識點|數(shù)學期望21、設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，X的概率密度為f(x),10e10x0，則X0x￡0的方差=.(答案：100)知識點數(shù)學期望與方差22、設(shè)E[X][Y]=2()=-1/6廁E[]=.(答案：23/6)知識點協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)23、設(shè)E(X)=0,D(X)=1,則根據(jù)切比雪夫不等式P{-2<X<2}>.(答案:3/4)

24、設(shè)總體X~%2（n）,X,X，…X是來自X的樣本，則1 2 10D（X）=（其中X=1￡x）?ni

i=1（答案：5）25、已知X?t（n），貝X2~F（1,F（1,n））26、數(shù)理統(tǒng)計中的一類基本問題是依據(jù)樣本所提供的信息，對總體分布的未知參數(shù)作出估計，稱之為，這是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一。（答案：參數(shù)估計）|知識點|參數(shù)估計27、采用的估計方法不同，同一未知參數(shù)有不同的估計量，這就要求建立衡量一個估計量優(yōu)劣的標準，一般來說，其評價標準有三種：,和相合性。（答案：無偏性；有效性）知識點估計量的評

選標準

28、設(shè)總體X~N（旦,o2）,且。2已知，X,X，…,X為來自總體X的容量為n的樣本，12 nX=1￡x，總體均值r的置信水平為1—a的置信區(qū)間是（X.入2,X+入工），則ni=1i n n入二.（答案:z）a2I知識點I區(qū)間估計29、設(shè)色,己，…,己）是取自正態(tài)總體N（r,o2）的樣本，若c已知，要檢驗12nH:r=r⑴為已知常數(shù)），H:rwr，應用檢驗法；檢驗的統(tǒng)計量0 0 0 0 0 是；當H0成立時，該統(tǒng)計量服從分布。（答案：。；u=；-%；標準正態(tài)）o/nn|知識點|假設(shè)檢驗30、設(shè)E總體伍。2）,X1,X2,…，為其樣本，其中。2未知。則對假設(shè)檢驗問題H0：g=M0,H1：日金玲，在顯著水平a下，應取拒絕域 。（答案：R>t（n_i））s/、力a2I知識點I^假設(shè)檢驗31、設(shè)總體1~N（R,o2）,如果使用殍檢驗法，且在給定的顯著性水平a，其拒絕域為（%2（n.I）.）,則相應的假設(shè)檢驗H0： ；若拒絕域為a 0 (0,%2(n-(0,%2(n-1)]U[72(n—1),+s),i-a2（答案：則相應的假設(shè)檢驗H0：H:o2=o2)00假設(shè)檢驗(三)計算和證明題1、有兩臺鉆機鉆孔，第一臺鉆孔數(shù)量是第二臺的兩倍，第一臺鉆孔不合格率為0.05，第二臺鉆孔不合格率為0.08，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一鉆孔不合格，求是第一臺鉆孔的概率.(答案：5/9)從結(jié)果反推原因的問題，用貝葉斯公式：令事件該孔是第一臺鉆機鉆的；該孔不合格P(B)=(2/3)*(1/20)+(1/3)*0.08=1/30+2/75P()=(2/3)*(1/20)=1/30P()()(B)=(1/30)/(1/30+2/75)=5/92、某種型號的電器的壽命x(以小時記)具有以下的概率密度：「10002、某種型號的電器的壽命x(以小時記)具有以下的概率密度：「1000x20X>1000其它現(xiàn)有一大批此種器件，設(shè)各器件損壞與否相互獨立，任取5只，問其中至少有2只壽命大于2000小時的概率是多少？(答案：13)16先求出他的函數(shù)分布 F(x)1000*x八-1P(X>2000)=1-(F(2000)(1000))=1-(-1/2-(-1))=1/2然后記取出器件壽命大于2000小時的個數(shù)為y用二項分布求出P⑴(0)的概率再1(1)(0)就可以算出P(y>=2)的概率了最后結(jié)果是0.90625=1316|知識點|二項分布3、根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為120小時的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機地取100個，設(shè)他們的壽命是相互獨立的，求這100個元件的壽命的總和大于12960個小時的概率.標準正態(tài)分布數(shù)值表：x0.70.750.80.850.90.95①(x)0.75800.77340.78810.80230.81590.8289（答案：0.2119）單個元件均值E（X）=120,概率密度f（x）=1/120e八（120）方差D（X）=120*120=14400100個元件壽命12120E（S）=120*100=12000D（S）=14400*100=1440000所以【（12000）所200】服從標準正太分布 中心極限定理。P（S>12960）【（12000）/1200>（12960-12000）/1200）】【（12000）/1200>0.8]=1-0.8的正太分布=1-0.7881=0.2119知識點正態(tài)分布4、x的概率密度為

X0<x<4,求隨機變量Y=2X+8的概率密度。0其它知識點隨機變量函數(shù)的分布11c-—y11c-—y——8<y<1632 40其它答案：f(y)二1YY為反面5、一枚均勻的硬幣拋擲3次，設(shè)X為3Y為反面出現(xiàn)的次數(shù)，求并列出()的聯(lián)合分布律。

(答案：()=(0,3)表示三次拋硬幣三次全部是反面P(03)=(1/2)八3=1/8()=(1,1)表示三次拋硬幣一次正兩次反面P(11)(1,3)(1/2)八3=3/8()=(2,1)表示三次拋硬幣兩次正一次反面P(21)(2,3)(1/2)八3=3/8()=(3,3)表示三次拋硬幣三次全部是正面P(33)=(1/2)八3=1/8X\Y012300001/81003/80203/80031/8000)|知識點|聯(lián)合分布6、有 兩個相互獨立工作的電子裝置它們的壽命(1,2)(小時)一一- . .一一 一一一 1 Xi— 一一一一一服從同一指數(shù)分布e(250)，其概率密度為f(x)=\-250e-250x>0，若將這兩個電0x<0子裝置串聯(lián)組成整機，求整機壽命Y的均值。因兩個電子裝置為串聯(lián)，因而N的概率密度為2—2x/ff 、C源⑺=七'x>00, x<0.于是N的數(shù)學期望為石（7V）=「端"（龍》片二子產(chǎn)氣無二號（答案：125）知識點多維隨機7、設(shè) 隨機變量（x,y）的概率密度為f（xy）一3|）|<x，0<x<1,其變量 J力［0,其它中C為 常數(shù).（1）求常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度f（x）和f（y）,并說明X和y是否相互獨立.（答案：（1）c二1；1+y—1（答案：（1）c二1；1+y—1<y<0<1—y0<y<10其它；x和y不⑵2x0小y廠fx(x)=0<x<1?;其它6,0,f(x,y)=其廣X,求邊緣概率密度N）和“y）.知識點多維隨機9、設(shè)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為Y\X103-10.20.1010.100.320.10.10.1求：（1）E[X]；（2）E[Y]；（3）E[]|知識點|

多維隨機解：變量P{1}=0.4 ， P{0}=0.2 ， P{3}=0.4E[X]=1*0.4+0*0.2+3*0.4=1.6P{1}=0.4，P{1}=0.3，P{2}=0.3，E[Y]=1*0.41*0.3+2*0.3=0.7E[]=1.610、甲、乙兩船均為7點到8點到達某碼頭，且兩船到達時間是隨機的，每只船卸貨需要20分鐘，碼頭同一時間只能允許一只船卸貨，求兩只船使用碼頭發(fā)生沖突的概率。解：X、Y均服從（0,60）上的均勻分布，P{|X-YI420}=1-40義40/60/60=5/9知識點獨立的隨機變量11、設(shè)相互獨立,它們分布律分別為p30.30.76p0.60.4試求隨機變量的分布律。答案:0.180.54p38答案：112、設(shè)連續(xù)型隨機變量l~f（x）=\0<x<11<x<2，求E己。其它13、隨機變量x的分布律如下:、、 8求E(X)，E(I^IXbE(X2)-I知識點I數(shù)學期望答案：15/814、假定每個人生日在各個月份的概率相同，求三個人中生日在第一季度的人數(shù)的期望。(答案：3)4設(shè)三個隨機變量范(1,2,3)，如果3個人中的第i個人在第一季度出生，則"，否貝1E0,則先服從0-1分布，且有P簞)=1/4，因此E"/4,(1,2,3)設(shè)§為3個人在第一季度出生的人數(shù)，則［"+0+瓷，因此E§(§1+§2+§3)=3E§3/4=0.75|知識點|數(shù)學期望15、擲20個骰子，求這20個骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的數(shù)學期望.知識點數(shù)學期望答案：70=((1+2+3+4+5+6)*1/6)*20=(21*1/6)*20=7016、設(shè)發(fā)行體育彩票1000萬張，其中一等獎1張，獎金500萬元，二等獎9張，獎金1萬元，三等獎90張，獎金100元，四等獎900張，獎金10元，問一張獎券獲得獎金的期望值為多少？(答案：0.5108)(1*500+9*1+90*0.01+900*0.001)/1000=0.5108I知識點I數(shù)學期望17、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)kxa0x1>0,且已知=3/4,0else求的值.(答案：23)知識點數(shù)學期望,1x八，八 -+——2Vx<02418、 隨機變量X的概率密度為f(x"1—X0<x<2，求24——0其他D(X)。19、設(shè)連續(xù)型隨機變量(x,丫)的概率密度為小、112J2 0<y<X<1求f(x，y)={ ，求PI0其它 "知識點相關(guān)系數(shù)解 f(x)二1f(x,y)dy二「12y2dd=4x3 0&x&1x- 0 其它14E(x)=J1x-4x3dx-05f(y)-

y(a J112y2dx-12y2(1-y)J+sf(x,y)dx=\y/ 7- 0 其它0&y&1E(y)-J112y2(1-y)ydy-305E(xy)-J1dxJxxy-12y2dy-J1003x5dx--2143 1Cov(XY)-E(XY)-E(X)E(Y)——5義5-前又 E(x2)-J1x2-4x3dx—-03所以 D(x)-E(x2)-E2(x)-2-(4)2-23 5 75E(y2)-J112y2(1-y)y2dy-12J12(y4-y5)dy-523 1d(y)-E(y2)-E2(y)---(-)2—-JJ 乙。20、設(shè)對目標獨立發(fā)射400發(fā)炮彈，單發(fā)命中率等于0.1，試用中心極限定理近似計算命中數(shù)超過50發(fā)的概率。標準正態(tài)分布數(shù)值表：X1.651.671.7