(DOC)-【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第9講 函數(shù)的應(yīng)用教案 理 新人教版

【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第9講函數(shù)的應(yīng)用教案理新人教版

第9講函數(shù)的應(yīng)用

【2013年高考會(huì)這樣考】

1．考查二次函數(shù)模型的建立及最值問題．

2．考查分段函數(shù)模型的建立及最值問題．

3．考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、“對(duì)勾”型函數(shù)模型的建立及最值問題．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，解答應(yīng)用問題的重點(diǎn)在信息整理與建模上，建模后利用函數(shù)知識(shí)分析解決問題．

基礎(chǔ)梳理

1．常見的函數(shù)模型及性質(zhì)

(1)幾類函數(shù)模型

①一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．

②二次函數(shù)模型：y＝ax＋bx＋c(a≠0)．

③指數(shù)函數(shù)型模型：y＝ab＋c(b＞0，b≠1)．

④對(duì)數(shù)函數(shù)型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)．

⑤冪函數(shù)型模型：y＝ax＋b.

(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)

nx2

一個(gè)防范特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．

四個(gè)步驟

(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；

(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；1

(3)解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題；

(4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論．

雙基自測(cè)

1．(人教A版教材習(xí)題改編)從1999年11月1日起，全國(guó)儲(chǔ)蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收，某人2011年6月1日存入若干萬元人民幣，年利率為2%，到2012年6月1日取款時(shí)被銀行扣除利息稅138.64元，則該存款人的本金介于

()．

A．3～4萬元

C．5～6萬元B．4～5萬元D．2～3萬元

1386400解析設(shè)存入的本金為x，則x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34660.40

答案A

2．(2012·新鄉(xiāng)月考)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0.1x(0＜x＜240，x∈N)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()．

A．100臺(tái)B．120臺(tái)C．150臺(tái)D．180臺(tái)

解析設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬元)，則f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x)＝0.1x＋5x－3000≥0，∴x≥150.

答案C

3．有一批材料可以圍成200米長(zhǎng)的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地(如圖)，且內(nèi)部用此材料隔成三個(gè)面積相等的矩形，則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為()．

222*

A．1000米

C．2500米22B．2000米D．3000米22

解析設(shè)三個(gè)面積相等的矩形的長(zhǎng)、寬分別為x米、y米，如圖，則4x＋3y＝200，又矩形

200－4x2場(chǎng)地的面積S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)＋2500，∴當(dāng)x＝25時(shí)，Smax3

＝

2500.

答案C

4．(2011·湖北)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為__________級(jí)；9級(jí)地震的2

最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的________倍．

解析由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震級(jí)為6級(jí)．因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級(jí)地震最大振幅為A9，則lgA9－lg0.001＝9解得A9＝10，同理5級(jí)地震最大振幅A5＝10，所以9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的10000倍．

答案610000

5．(2012·東三校聯(lián)考)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：

加密發(fā)送解密明文――→密文――→密文――→明文

已知加密為y＝a－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．

解析依題意y＝a－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a－2，解得a＝2.所以加密為y＝2－2，因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2－2，解得x＝4.

答案4

xx326xx

考向一一次函數(shù)、二次函數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

【例1】?(2011·武漢調(diào)研)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生產(chǎn)x臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)＝3000x－20x，C(x)＝500x＋4000(x∈N)．現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過100臺(tái)．

(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；

(2)求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差．

[審題視點(diǎn)]列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值．

解(1)由題意，得x∈[1,100]，且x∈N.*2*

P(x)＝R(x)－C(x)

＝(3000x－20x)－(500x＋4000)

＝－20x＋2500x－4000，22

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000]－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x.

1252(2)P(x)＝－20x－＋74125，2

當(dāng)x＝62或x＝63時(shí)，P(x)取得最大值74120元；

因?yàn)镸P(x)＝2480－40x是減函數(shù)，

所以當(dāng)x＝1時(shí)，MP(x)取得最大值2440元．

3

故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為71680元

.

二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，

解決實(shí)際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，根據(jù)圖象的對(duì)稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解．

【訓(xùn)練1】經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，1且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價(jià)格為g(t)＝t＋

230(1≤t≤30，t∈N)，后20天價(jià)格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫出該種商品的日銷售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；(2)求日銷售額S的最大值．解(1)根據(jù)題意，得

1－2t＋2002＋30，1≤t≤30，t∈N，S＝

45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N

－t＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，＝

－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.

2

(2)①當(dāng)1≤t≤30，t∈N時(shí)，

S＝－(t－20)2＋6400，

∴當(dāng)t＝20時(shí)，S的最大值為6400；②當(dāng)31≤t≤50，t∈N時(shí)，

S＝－90t＋9000為減函數(shù)，

∴當(dāng)t＝31時(shí)，S的最大值為6210.∵6210＜6400，

∴當(dāng)t＝20時(shí)，日銷售額S有最大值6400.

考向二指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

【例2】?某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；

(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效．求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)？

[審題視點(diǎn)]根據(jù)圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再分段求出時(shí)間長(zhǎng)．

kt，0≤t≤1，

解(1)設(shè)y＝1t－a

，t＞1.2

當(dāng)t＝1時(shí)，由y＝4得k＝4，

4t，0≤t≤1，11－a

由＝4得．a(chǎn)＝3.則y＝1t－3

2，t>1.2

0≤t≤1，(2)由y≥0.25得

4t≥0.25，

t＞1，

或1t－3

≥0.25.2

1

解得≤t≤5，

16

179

因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5－

1616

可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解不等式

問題進(jìn)行求解．

【訓(xùn)練2】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)；

(4)如果20年后該城市人口總數(shù)不超過120萬人，年自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？(參考數(shù)據(jù)：1.012≈1.113,1.012≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)

解(1)1年后該城市人口總數(shù)為

9

10

y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)

2年后該城市人口總數(shù)為

y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%

＝100×(1＋1.2%).3年后該城市人口總數(shù)為

2

y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%

＝100×(1＋1.2%).

3

x年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后，人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)≈112.7(萬人)．(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人，即100×(1＋1.2%)＝120，

x

10

x＝log1.012

120

log1.0121.20≈16(年)．100

20

20

(4)由100×(1＋x%)≤120，得(1＋x%)≤1.2，兩邊取對(duì)數(shù)得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，0.079所以lg(1＋x＝0.00395，

20所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，即年自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在0.9%.

考向三函數(shù)y＝x

【例3】?(2010·湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：

ax

C(x)＝

k

x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建3x＋5

造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[審題視點(diǎn)]用基本不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件．解(1)由已知條件C(0)＝8則k＝40，

800

因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．

3x＋5800

(2)f(x)＝6x＋10－10

3x＋5≥2

6x＋10800

－10＝70(萬元)，3x＋5

800

當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝即x＝5時(shí)等號(hào)成立．

3x＋5

所以當(dāng)隔熱層為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元．

求函數(shù)解析式同時(shí)要注意確定函數(shù)的定義域，對(duì)于y＝x＋(a>0)類型的函數(shù)最值

問題，特別要注意定義域問題，可考慮用均值不等式求最值，否則要考慮使用函數(shù)的單調(diào)性．【訓(xùn)練3】某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？800

解設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為xm，則后側(cè)邊長(zhǎng)為2

ax

x

∴蔬菜種植面積

y＝(x－4)

8002＝808－2x＋1600(4<x<400)．

xx

x·

1600

80，

1600∵x＋xx

∴y≤808－2×80＝648(m).1600當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40，

2

x

8002

此時(shí)＝20m，y最大＝648(m)．

x

∴當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m

時(shí)，蔬菜的種植面積最大，為648m.

2

規(guī)范解答5——應(yīng)用題中的函數(shù)建模問題

(【問題研究】解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，因此，首先要熟悉和掌握幾類常用的函數(shù)模型.求解中容易在以下兩個(gè)地方出現(xiàn)失誤：,1列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，會(huì)出現(xiàn)由

于理不清楚各個(gè)量之間的關(guān)系，而導(dǎo)致列出錯(cuò)誤的關(guān)系式.這一點(diǎn)在求解應(yīng)用題時(shí)是常出現(xiàn)的錯(cuò)誤；,2列出解析式，在求最優(yōu)解的過程中，由于方法使用不當(dāng)而出現(xiàn)求解上的錯(cuò)誤.,【解決方案】1閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述部分所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.,2根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題.,3利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函

數(shù)問題即數(shù)學(xué)模型予以解答，并求得結(jié)果.,4將所得結(jié)果代入原問題中，對(duì)具體問題進(jìn)行解答.)

【示例】?(本題滿分12分)(2011·湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確