2023年福建省武平縣高考數學倒計時模擬卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數Z的共掘復數記作)，已知復數4對應復平面上的點(一1,一1),復數22：滿足1/2=-2.則匕2|等于()

A.0B.2C.VioD.10

2.若z=(3T)(a+2i)(awR)為純虛數，貝z=()

16.20.

A.—iB.6iC.—iD.20

33

3.在關于x的不等式以2+2X+1>。中，“q>l”是".+2x+l>0恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，且滿足f(x)=/(2-x),當xe［0,1］時，f{x)=x,則函數

x+4

F(x)=/(%)+-——在區(qū)間［-9,10］上零點的個數為()

1-2%

A.9B.10C.18D.20

5.羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從3名男生4，4，和3名女生用，B2,層中

各隨機選出兩名，把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則4和4兩人組成一隊參加比賽的概率為

()

1

C.一

9

6.已知函數〃x)=sin2x+g,則函數“X)的圖象的對稱軸方程為()

.TC.

A.X=k7T--,kGZB.X=KTt^—.kGZ

44

1,兀1r

C.X=—k7T,kGZD.X=—K7T+—,kGZ

224

7.過拋物線y2=2px(〃>0)的焦點尸的直線與拋物線交于A、B兩點，且赤=2萬，拋物線的準線/與工軸交于

C,AACF的面積為80，則|AB|=()

A.6B.9C.9V2D.6夜

8.《普通高中數學課程標準(2017版)》提出了數學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素

養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值

高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是()

A.甲的數據分析素養(yǎng)高于乙

B.甲的數學建模素養(yǎng)優(yōu)于數學抽象素養(yǎng)

C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲

v*3/7Inx

9.已知函數/(x)=/--3+土―—。在區(qū)間(1,一)上恰有四個不同的零點，則實數。的取值范圍是()

Inxx

A.(e,3)U(3,+?0B.[0,e)C.(e]+8)D.(fo,e)U{3}

10.關于函數/(X)=|COSX|+COS|2R,有下列三個結論:①萬是的一個周期；②f(x)在上單調遞增；

③f(x)的值域為則上述結論中，正確的個數為()

A.0B.1C.2D.3

11.已知向量)=(1,4),b=(-2,m),若|￡+向=|￡-加，則加=()

11

A.---B.—C.-8D.8

22

12.在平行六面體ABC。—A與中，M為AG與4。的交點，若荏=￡,而，海=",則與兩相等的向

量是()

.山

//24.......?//

1—?1—?-?1-]_>]-.11-?]一一

A.—a+—b+cB.——a——h+cC.—a——b+cD.——a+—b+c

22222222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知非零向量〃出的夾角為?，且忖=1,|2￡-勾=6,則忖=.

14.已知平面向量”，5的夾角為q，￡=（百,1）,且|Z-B|=JL則|B|=

15.已知相，”為正實數，S.m+n=mn,則加+2〃的最小值為.

16.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是cm',體積是cm\

上I□

I----4-----1H2T

正視圖用視圖

俯視圖

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）（1）求曲線y=f和曲線y=?圍成圖形的面積；

cos20°

（2）化簡求值:

cos350Jl-sin20

x=V3+1

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為廣。為參數），以坐標原點為極點，x軸正半

y=73t

軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線。的極坐標方程為夕=4cos0.

（1）求直線，的普通方程與曲線。的直角坐標方程；

（2）設點火°,3）,直線/與曲線C交于不同的兩點兒B,求高+看的值?

19.（12分）已知公差不為零的等差數列｛%,｝的前〃項和為S“，q=4,%是與與知的等比中項?

（1）求s“；

（2）設數列也｝滿足乙=%,%=勿+3x2%,求數列出｝的通項公式.

20.(12分)在［ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2c，cosB=2a—。，

(I)求/C的大小；

(II)若爹i—g醞=2,求AABC面積的最大值.

21.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據測試成績評定“合

格，，，，不合格，，兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)

計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,40][40,60][60,801[80,100]

頻數6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為g,求j的數學期望EC).

22.(10分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為若岳=b(sinC+百cosC).

(1)求角3的大??；

7T

(2)若4=一，。為AABC外一點，DB=2,CD=1,求四邊形ABDC面積的最大值.

3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

__2

根據復數4的幾何意義得出復數4,進而得出4,由Z/Z2=-2得出Z2=-=可計算出入,由此可計算出上2|.

z]

【詳解】

由于復數4對應復平面上的點(T—1),???馬=—1—"則I=T+i,

-222(1+0,,r---L

2,.-.z2=-==—=^-^-^=i+l,因此，㈤=>/T7F=VL

故選：A.

【點睛】

本題考查復數模的計算，考查了復數的坐標表示、共筑復數以及復數的除法，考查計算能力，屬于基礎題.

2.C

【解析】

根據復數的乘法運算以及純虛數的概念，可得結果.

【詳解】

z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—

z=(3—i)(a+2i)(aeR)為純虛數，

；?3a+2=0且6—a。0

小2…20.

得。=一一，此時z=—I

33

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的概念與運算，屬基礎題.

3.C

【解析】

討論當。>1時，分2+2%+1>0是否恒成立；討論當以2+2*+1>0恒成立時，”>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當a>l時，A=4—4a<0,由)=以2+2x+l開口向上，貝！lax?+2%+1>0恒成立；

當以2+2x+l>0恒成立時，若。=0,貝！|2x+l>0不恒成立，不符合題意,

Ia>0

若"0時，要使得以2+2x+l>0恒成立，貝！1〈人..八，即.

△=4-4。<0

所以“4>1”是“ax2+2x+l>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

【點睛】

本題考查了命題的關系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時，一般分成兩步，若PF,則推出〃

是q的充分條件；若則推出p是夕的必要條件.

4.B

【解析】

x+4

由已知可得函數/(X)的周期與對稱軸，函數尸(X)=/(x)+「「在區(qū)間［-9,10］上零點的個數等價于函數/(X)

1-2%

Y4-4

與g(X)=---圖象在［-9,10］上交點的個數，作出函數/(*)與g(x)的圖象如圖，數形結合即可得到答案.

l-2x

【詳解】

Y+4V-I-4-

函數尸(x)=/(x)+在區(qū)間［-9,10］上零點的個數等價于函數/(X)與g(X)=一"圖象在［-9,10］上交

1-2%1-2%

點的個數，

由f(x)=f(2-x),得函數/(x)圖象關于x=l對稱，

?：/(x)為偶函數，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=f(x),得函數周期為2.

又\,當xG［0,1］時，f(x)=x,且/(x)為偶函數，...當0］時，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

l-2x2124x-2

作出函數f(x)與g(X)的圖象如圖：

x+4

即函數尸(x)=/(x)+-——?在區(qū)間［-9,10］上零點的個數為10.

1-2%

故選：B.

【點睛】

本題考查函數的零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，屬于中檔題.

5.B

【解析】

根據組合知識，計算出選出的4人分成兩隊混合雙打的總數為5^^，然后計算A和分在一組的數目為

最后簡單計算，可得結果.

【詳解】

由題可知：

分別從3名男生、3名女生中選2人：C；C；

將選中2名女生平均分為兩組：冬

將選中2名男生平均分為兩組：爺

則選出的4人分成兩隊混合雙打的總數為:

x~?lz^2z^2z^l

=18

3c3丁丁仆一^

4和耳分在一組的數目為C\C\=4

42

所以所求的概率為商=工

189

故選：B

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成〃?組，則要除以A；；,即機!，審清題

意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.

6.C

【解析】

〃x)=cos2x,將2尤看成一個整體，結合y=cosx的對稱性即可得到答案.

【詳解】

由已知，〃x)=cos2x,^-2x=kn,k&Z,x=—kn,k&Z.

故選：C.

【點睛】

本題考查余弦型函數的對稱性的問題，在處理余弦型函數的性質時，一般采用整體法，結合三角函數cosX的性質，是

一道容易題.

7.B

【解析】

設點A（%,y）、3（毛,%），并設直線AB的方程為了=，致+々，由衣=2麗得%=一2%，將直線AB的方程代

入韋達定理，求得|乂|，結合AACE的面積求得，的值，結合焦點弦長公式可求得|A8|.

【詳解】

設點A（XQJ、3（0必），并設直線4?的方程為％=陽+〃，

_p_

將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立x=，1iy+2,消去x得V一2/wzy-p?=0,

y2-2px

由韋達定理得X+%=2〃加，％%=一"，

AF=（曰-X],一X｝麗QAF=2FB^,??一弘=2%，..凹=-2%，

***=—p"9可得|%|=~Y~P9El=21y2I=，

拋物線的準線/與X軸交于

AACF的面積為gxpx&p=*/=80,解得〃=4,則拋物線的方程為y2=8%，

,,92

所以'|明=%+工2+〃=‘‘+%-+4=2——+p=9"

88

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

8.D

【解析】

根據雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.

【詳解】

對于A選項，甲的數據分析3分，乙的數據分析5分，甲低于乙，故A選項錯誤.

對于B選項，甲的建模素養(yǎng)3分，乙的建模素養(yǎng)4分，甲低于乙，故B選項錯誤.

對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故C選項錯誤.

對于D選項，甲的總得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的總得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素養(yǎng)整

體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查圖表分析和數據處理，屬于基礎題.

9.A

【解析】

函數/(x)=-匚-3+生Y-。的零點就是方程一匚-3+汕匹-。=0的解，設g(x)=上，方程可化為

InxxInxxinx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的導數g'(x),利用導數得出函數的單調性和最值，由

此可根據方程解的個數得出”的范圍.

【詳解】

X3/7Inxx

由題意得;——3+----------0有四個大于1的不等實根，記g(x)=L，則上述方程轉化為

InxxInx

(^(x)-3)+a|—-11=0,

(g(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因為g'(x)=Aj3,當xe(l,e)時，g'(x)<0,g(尤)單調遞減；當xe(e,+o。)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增;

ylil人J

所以g(x)在龍=6處取得最小值，最小值為g(e)=e.因為3>e,所以g(x)=3有兩個符合條件的實數解，故

X3〃Inx

/(%)=--―3+-——■—〃在區(qū)間(1，叱)上恰有四個不相等的零點，需。〉e且

Inxx

故選：A.

【點睛】

本題考查復合函數的零點.考查轉化與化歸思想，函數零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數的性質，本

題考查了學生分析問題解決問題的能力.

10.B

【解析】

利用三角函數的性質，逐個判斷即可求出.

【詳解】

①因為/(X)=/(X+7),所以乃是"X)的一個周期，①正確；

②因為/(乃)=2,/)=#<2,所以f(x)在上不單調遞增，②錯誤；

冗

③因為./■(—?=/(X),所以"X)是偶函數，又萬是"X)的一個周期，所以可以只考慮xe0,-時，〃X)的值域.當

兀

xe0,—時，t=cosxG[0,1],

/(x)=|cosx|+cos12x1=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-\=2r+t-\

y=2『+”l在[0,1]上單調遞增，所以f(x)的值域為,③錯誤；

綜上，正確的個數只有一個，故選B.

【點睛】

本題主要考查三角函數的性質應用.

11.B

【解析】

先求出向量a+La-E的坐標，然后由|￡+5|=|￡-向可求出參數加的值.

【詳解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

貝！Ja+5=(-1,4+〃?)，a-b=(3A-ni)

\a+h\=jF+(4+,〃)2,\a-b\=^32+(4-/w)-

y.\a+b\^a-b\,則Jr+H+M、=,3。+(4-姆,解得=

故選：B

【點睛】

本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.

12.D

【解析】

根據空間向量的線性運算，用4,作基底表示的即可得解.

【詳解】

根據空間向量的線性運算可知

=羽+/6

…+綱4+M

=AAt+^-A8+AD)

因為AB=AD=h,A4j=c,

則旗(一4豆+

1-1r-

=——a+—b+c

22

即BM=-—a+—b+c,

22

故選：D.

【點睛】

本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知條件得出4邪一41萬|?|B|-cos＜萬,5＞+戶=3,可得2|?|2-|a|-l=O,解之可得答案.

【詳解】

向量,5的夾角為名且12萬一萬|=百，向=1,可得:碗2-4|萬|?|B|-cos〈萬石＞+戶=3,

可得21Ml2-|初-1=0,解得|利=1,

故答案為:L

【點睛】

本題考查根據向量的數量積運算求向量的模，關鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數量積化簡求解即可，屬

于基礎題.

14.1

【解析】

根據平面向量模的定義先由坐標求得也，再根據平面向量數量積定義求得75；將.一彳化簡并代入即可求得|加.

【詳解】

￡=（國），則同=J（G『+12=2，

平面向量B的夾角為?，則由平面向量數量積定義可得a4=BH5|cosq=2xWxg=W，

根據平面向量模的求法可知J--0=yla-2a-b+b=百，

代入可得,4_2忖+麻=73，

解得忖=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了平面向量模的求法及簡單應用，平面向量數量積的定義及運算，屬于基礎題.

15.3+20

【解析】

1111H72%

m+n^mn=>-+-=\,所以有〃?+2〃=（加+2〃）（一+—）=3+—+——，再利用基本不等式求最值即可.

mnmnnm

【詳解】

由已知，—+—=1,所以〃z+2〃=（/n+2n）（―-t--）=34--+—>3+2^2,

mnmnnm

當且僅當［m=6rl,即〃z=&+i,〃=21時，等號成立.

m+n=mn2

故答案為：3+272

【點睛】

本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.

16.20+舶S

【解析】

1

S=2x二x4x2+2?+4x2+2x2,=20+4W

試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積2

P=-X4X2X2=8

體積2,故填：20+44,8,

考點：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)|(2)叵

【解析】

(1)求曲線y=x?和曲線y=J7圍成的圖形面積，首先求出兩曲線交點的橫坐標0、1,然后求石-f在區(qū)間[0,1]

上的定積分.

(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算出cos20°=而)?(cosl0"+sinl0°),

cos35°=-^-(coslO°+sinl0)

然后再整體代入可得;

【詳解】

解：

=J(l-sin20)-J(cos10°+sin10。J

=1一sin20)?(cos10°4-sin10)

cos35°=cos(45,-1())=cos45°cos100+sin45°sin1()。

+sin10°

^(1-sin20").(cos100+sin10)

cos20

??cos35。Qi荷=(coslO°+sinlO"M-sin200

【點睛】

本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應用，屬于中檔題.

18.(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^

【解析】

(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，利用消去參數，即可得到直線/的

直角坐標方程；

(2)由于M(0,3)在直線/上，寫出直線/的標準參數方程參數方程，代入曲線C的方程利用參數的幾何意義即可得出

【詳解】

(1)直線/的普通方程為y=-\/^x+3,即Gx+y-3=0,

222

根據極坐標與直角坐標之間的相互轉化，尤=pcos。，p=x+y,

而/9=4COS6,則p2=4pcos。，

即(x-2)2+V=4,

故直線1的普通方程為Gx+y-3=0,

曲線C的直角坐標方程(X-2>+V=4

(2)點M(0,3)在直線/上，且直線/的傾斜角為120。，

可設直線的參數方程為：

代入到曲線C的方程得

/+(2+3同+9=0,%+/2=-(2+3揚，楂=9,

1111，+修2+3叢

由參數的幾何意義知------+---------+---=---------------

聞網|

|WA|\MB\\t2\9

【點睛】

熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線/的參數方程中的參數的幾何意義是解題的關鍵，難度一般.

19.(1)—3/-；(2)2=3x2向一9.

2

【解析】

(1)根據題意，建立首項和公差的方程組，通過基本量即可寫出前〃項和

(2)由(1)中所求，結合累加法求得久.

【詳解】

q+2d—4

at+2d-4,

(1)由題意可得即《

2

(q+44=(q++104)2d=atd.

4=2

又因為d#(),所以.「所以=〃+1.

a=1

〃(2+"+1)_n2+3n

s?22

(2)由條件及(1)可得優(yōu)=%=3.

由已知得a-2=3x2油，2—%=3x2"(〃22)

所以勿=3“一%)+(%-%)+???+(4W)+4

=3(2"+2"T+2"2+L+22)+3=3X2,,+I-9(?>2).

又仇=3滿足上式,

所以6,=3x2"”-9

【點睛】

本題考查等差數列通項公式和前〃項和的基本量的求解，涉及利用累加法求通項公式，屬綜合基礎題.

20.(1)C=-(2)2G

3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式，結合特殊角的三角函數值，求得角C；

(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數量積的定義，結合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面積公式計算即可得到所求的值.

詳解：(1)V2ccosB=2a-h,

2sinCcosB=2sinA-sinB,/.2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB,

..171

/.2sinBcosC=sinB,/.cosC=—,C=—

23

(II)取BC中點￡>,則逐一；函|=2=|方，在中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC?

(注：也可將而—g函|=2=|方兩邊平方)即4=后+e)一日,

22、吐—些=紇所以"W8,當且僅當。=4乃=2時取等號.

V422

此時S?BC加也。=亨。人，其最大值為2百,

點睛：該題考查的是有關三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導公式，和角公式，向量的平方即為向量模

的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關的公式進行運算即可求得結果.

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21.(1)64,65；(2)—；(3)￡(^)=12.

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【解析】

(1)根據頻率分布直方圖及其性質可求出a/,c,平均數，中位數;

(2)設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,由條件概率公

式P(B|A)=*；W可求出;

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(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數為而x10=4,“合

格''的學生數為6；由題意可得4=0,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列

與數學期望.

【詳解】

由題意知，樣本容量為——-——=60,b=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

a=60-6-12-24=18,c=---------=0.015.

60x20

(1)平均數為(3()x0.005+5()x0.015+7()x0.02+90x0.01)x20=64,

設中位數為x,因為().(K)5x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xe(60,80),則0.005x20+0.015x20+(x-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

(2)