與四邊形、三角形、相似有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題

與四邊形、三角形、相似有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題PAGEPAGEPAGE4三角形，四邊形，圓與相似相關(guān)的動(dòng)態(tài)問題1．（8分）如圖，已知的半徑為6cm，射線經(jīng)過點(diǎn)，，射線與相切于點(diǎn)．兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以5cm/s的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以4cm/s的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．ABQOABQOPNM（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與相切？3如圖10，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DE，DF．．（1）求證：ΔBEF∽ΔCEG．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)，使得將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6（本題滿分9分）（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大?。籆BCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.7如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q。（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形。8如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．9小華將一張矩形紙片（如圖1）沿對(duì)角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），其中，然后將這兩張三角形紙片按如圖3所示的位置擺放，紙片的直角頂點(diǎn)落在紙片的斜邊上，直角邊落在所在的直線上.若與相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，當(dāng)紙片沿方向平移時(shí)（如圖3），請(qǐng)你觀察、測(cè)量、的長(zhǎng)度，猜想并寫出與的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；在（1）的條件下，求出的大小（用含的式子表示），并說(shuō)明當(dāng)°時(shí)，是什么三角形？圖1圖2在圖3的基礎(chǔ)上，將紙片繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角度小于90°），此時(shí)變成，同樣取的中點(diǎn)，連接、（如圖4），請(qǐng)繼續(xù)探究與的數(shù)量關(guān)系和的大小，直接寫出你的猜想，不需要證明，并說(shuō)明為何值時(shí)，為等邊三角形.圖1圖2圖4圖3圖4圖3 10如圖1，正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)分別在線段上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到的距離為，記為（當(dāng)點(diǎn)分別與重合時(shí)，記）．（1）當(dāng)時(shí)（如圖2所示），求的值（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)落在對(duì)角形上？請(qǐng)說(shuō)出你的理由，并求出此時(shí)的值（結(jié)果保留根號(hào)）；（3）請(qǐng)你補(bǔ)充完成下表（精確到0.01）：0.0300.290.290.130.03（4）若將“點(diǎn)分別在線段上滑動(dòng)”改為“點(diǎn)分別在正方形邊上滑動(dòng)”．當(dāng)滑動(dòng)一周時(shí)，請(qǐng)使用（3）的結(jié)果，在圖4中描出部分點(diǎn)后，勾畫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的大致圖形．AHFDGAHFDGCBE圖1圖2B(E)A(F)DCGHADCB圖3HHDACB圖412．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．14課堂上，老師將圖①中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和大小不變，但位置發(fā)生了變化．當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到．已知，．（1）的面積是；點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；（2）課后，小玲和小惠對(duì)該問題繼續(xù)進(jìn)行探究，將圖②中繞的中點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)交于，交軸于．此時(shí)，和的坐標(biāo)分別為，和，且經(jīng)過點(diǎn)．在剛才的旋轉(zhuǎn)過程中，小玲和小惠發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的三角形與重疊部分的面積不斷變小，旋轉(zhuǎn)到時(shí)重疊部分的面積（即四邊形的面積）最小，求四邊形的面積．（3）在（2）的條件下，外接圓的半徑等于．yyx11B1A1A(4，2)B(3，0)O圖①yx11A(4,2)B(3,0)O圖②(1,3)(3,2)D(3,-1)CE16．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，=1\*GB3①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？第16題圖第16題圖圖甲圖乙圖丙（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫圖不寫作法）（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．17（本題滿分8分）如圖所示，的直徑AB=4，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為C，連結(jié)AC.（1）若∠CPA=30求PC的長(zhǎng)；MPOCBA(2）若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，∠CPA的平分線交AC于點(diǎn)M.你認(rèn)為∠CMPMPOCBA18.兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：(1)如圖11(1)，△DEF沿線段AB向右平移(即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng))，連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積.AABEFCD圖11(1)(2)如圖11(2)，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由.AABEFCD圖11(2)(3)如圖11(3)，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連結(jié)AE，請(qǐng)你求出sinα的值.AAB(E)(F)CD圖11(3)E(F)α3.(2008年永州)（10分）如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙O相切于點(diǎn)A，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），PO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線與直線m相交于點(diǎn)D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設(shè)AP＝x，OD＝y(tǒng)，試用含x的代數(shù)式表示y．（3）試探索x為何值時(shí)，△ACD是一個(gè)等邊三角形．1．(2008年內(nèi)江市)如圖，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，．22.（2008年湖北省宜昌市））如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點(diǎn)S，在線段RS上存在一點(diǎn)T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點(diǎn)E、F恰好分別在邊BC、AC上.（1）△ABC與△SBR是否相似？說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你探索線段TS與PA的長(zhǎng)度之間的關(guān)系；（3）設(shè)邊AB=1，當(dāng)P在邊AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值.21.(2008年·東莞市)（本題滿分9分）（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；CBCBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大小.答案：1.（2008年泰安市）（第19題）P1如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點(diǎn)依次落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（第19題）P答案：2008解析：由題意得：的橫坐標(biāo)為1，的橫坐標(biāo)為2，有一定的規(guī)律，橫坐標(biāo)每翻轉(zhuǎn)一次，就增加1，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2008。（2010哈爾濱）１．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，在△DCE中，∠DCE＝90°，DC＝EC＝6，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上．將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′（點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E′），連接AD′、BE′，過點(diǎn)C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段AD′于點(diǎn)M，則MN的長(zhǎng)為．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？AUTONUM．（2008年龍巖市）（14分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).（1）求AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；（第25題圖）

）（備用圖）（3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M（第25題圖）

）（備用圖）(2010臺(tái)州市)22．類比學(xué)習(xí)：一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位．用實(shí)數(shù)加法表示為3+（）=1．若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì){a，b}叫做這一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}與“平移量”{c，d}的加法運(yùn)算法則為．解決問題：（1）計(jì)算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把動(dòng)點(diǎn)P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置還是點(diǎn)B嗎?在圖1中畫出四邊形OABC.②證明四邊形OABC是平行四邊形.（3）如圖2，一艘船從碼頭O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭P（2，3），再?gòu)拇a頭P航行到碼頭Q（5，5），最后回到出發(fā)點(diǎn)O.請(qǐng)用“平移量”加法算式表示它的航行過程．（第（第22題）yO圖2Q（5,5）P（2,3）yO圖111xx解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．……………2分yO11yO11xABC（2）①畫圖…………………2分最后的位置仍是B．……1分②證明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）∴OC=AB==，OA=BC==，∴四邊形OABC是平行四邊形．…………3分（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0,0}．……2分（2010河南）19．（9分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB的長(zhǎng)為x．（1）當(dāng)x的值為____________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；（2）當(dāng)x的值為____________時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；；（3）點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，以P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說(shuō)明理由．(1)3或8(2)1或11(3)由(2)可知，當(dāng)BP=11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形∴EP=AD=5過D作DF⊥BC于F，則DF=FC=4，∴FP=3∴DP=5∴EP=DP故此時(shí)□PDAE是菱形即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形。（2010廣東中山）22．如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2。動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得△FMN，過△FMN三邊的中點(diǎn)作△PQW。設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒。試解答下列問題：（1）說(shuō)明△FMN∽△QWP；（2）設(shè)0≤x≤4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）。試問x為何值時(shí)，△PQW為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，△PQW不為直角三角形？（3）問當(dāng)x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值。第22題圖（2）A第22題圖（2）ABCDFMNWPQ第22題圖（1）ABMCFDNWPQ22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF∴∠QPW=∠MNF同理可得：∠PQW=∠NFM或∠PWQ=∠NFM∴△FMN∽△QWP（2）當(dāng)時(shí)，△PQW為直角三角形；當(dāng)0≤x<，<x<4時(shí)，△PQW不為直角三角形。（3）（2010·浙江溫州）24．(本題l4分)如圖，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BBl∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF上AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連結(jié)DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；(3)以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．①當(dāng)t>時(shí)，連結(jié)C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍(寫出答案即可)．（2010·浙江湖州）25．如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)PC，過點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于E（1）在線段AD上是否存在不同于P的點(diǎn)Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；ABC第25題DPE（2）當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)ABC第25題DPE（此題沒有給答案）24．（2010年山東省青島市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最??？若存在，求出y的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．（圖（3）供同學(xué)們做題使用）ABABC圖（3）ADBCF（E）圖（1）ADBCFE圖（2）PQ（用圓珠筆或鋼筆畫圖（用圓珠筆或鋼筆畫圖）【答案】解：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.則AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上. 4分圖（2）QADBCFEPM圖（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴拋物線開口向上.∴當(dāng)t=3時(shí)，y最小=.答：當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2. 8分CEADBF圖（3）PQN（3CEADBF圖（3）PQN過P作，交AC于N，∴.∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：當(dāng)t=1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.25．（2010年門頭溝區(qū)）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由．如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）圖圖①【關(guān)鍵詞】正方形與旋轉(zhuǎn)【答案】解：（1）如圖①AH=AB………..1分（2）數(shù)量關(guān)系成立.如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°∴Rt△AEB≌Rt△AND………………3分∴AE=AN，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45°∵AM=AM∴△AEM≌△ANM………………….4分∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB=AH……………...5分（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.設(shè)AH=x，則MC=, NC=圖②在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得∴………6分解得.（不符合題意，舍去）∴AH=6.……………7分[來(lái)源:Zxxk.Com]圖③1.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著正方形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，它的方向第7題圖是下圖的（）第7題圖AABCD【關(guān)鍵詞】翻轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)【答案】A2.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．(1)求梯形ABCD的周長(zhǎng)；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【關(guān)鍵詞】運(yùn)動(dòng)與等腰三角形【答案】解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E∵四邊形ABCD是直角梯形∴四邊形ABED是矩形∴AD=BE=2，AB=DE=8在Rt△DEC中，CE===6∴梯形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+DA=28.（2）①∵梯形ABCD的周長(zhǎng)為28，PQ平分梯形ABCD的周長(zhǎng)∴BP+BC+CQ=14又∵BP=CQ=t∴t+8+t=14∴t=3∴當(dāng)t=3時(shí)，PQ平分梯形ABCD的周長(zhǎng).②（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過點(diǎn)Q 作QG⊥AB于點(diǎn)G∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC=∴CF=，QF=，PG==，QG=8－=（8－t）2+22=t2+16t+68，PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=若DQ=PD，則（10－t）2=t2+16t+68，解得：t=8；若DQ=PQ，則（10－t）2=，解得：t1=，t2=＞8（舍去），此時(shí)t=；（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10－t，∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無(wú)法構(gòu)成三角形；（iii）當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD=DQ=t－10，∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；綜上所述，當(dāng)t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.（2010遼寧省丹東市）25．如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由．圖圖①圖②圖③第25題圖A·BCDEF···【關(guān)鍵詞】等邊三角形【答案】25．（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上， 3分（說(shuō)明：答對(duì)一個(gè)給2分）（2）成立． 4分證明：法一：連結(jié)DE，DF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE． 7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． 8分∴MF=NE． 9分NNCABFMDENCABFMDE法二：延長(zhǎng)EN，則EN過點(diǎn)F． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN． 8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN． 9分法三：連結(jié)DF，NF． 5分∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°． 8分又∵△DEF是△ABC各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得點(diǎn)N在EF上，∴MF=EN． 9分（3）畫出圖形（連出線段NE）， 11分MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）． 12分1.（2010年福建省晉江市）如圖，在等邊中，線段為邊上的中線.動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，以為一邊且在的下方作等邊，連結(jié).(1)填空：度；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上(點(diǎn)不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn))時(shí)，試求出的值；(3)若，以點(diǎn)為圓心，以5為半徑作⊙與直線相交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中(點(diǎn)與點(diǎn)重合除外)，試求的長(zhǎng).AABC備用圖(1)ABC備用圖(2)【關(guān)鍵詞】等邊三角形、動(dòng)點(diǎn)問題【答案】(1)60；(2)∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，∴.(3)①當(dāng)點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合）時(shí)，由(2)可知≌，則，作于點(diǎn)，則，連結(jié)，則.在中，，，則.在中，由勾股定理得：，則.②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴，同理可得：.③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵與都是等邊三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.綜上，的長(zhǎng)是6.（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）.⑴△EFG的邊長(zhǎng)是____（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x＝2時(shí)，點(diǎn)G的位置在_______；⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值.BE→F→CBE→F→CADG【答案】解：⑴x，D點(diǎn)；⑵①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y＝x2；②分兩種情況：Ⅰ.當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，所以，此時(shí)y＝x2－（3x－6）2＝.Ⅱ.當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，∵EC＝6－x,∴y＝（6－x）2＝.⑶當(dāng)0＜x≤2時(shí)，∵y＝x2在x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，∴x＝2時(shí)，y最大＝；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，∵y＝在x＝時(shí)，y最大＝；當(dāng)3≤x≤6時(shí)，∵y＝在x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，∴x＝3時(shí)，y最大＝.BECFADGPH圖2綜上所述：當(dāng)x＝時(shí)，yBECFADGPH圖2BEFCBEFCADGNM圖12.(2010福建泉州市惠安縣)如圖，把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合（如圖①）.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：00＜α＜900），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）.（1）在上述過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y,①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；②當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的EQ\F(5,16)，求此時(shí)BH的長(zhǎng).圖圖①圖②【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)【答案】（1）BH=CK.如圖2，∵點(diǎn)O是等腰直角三角板ABC斜邊中點(diǎn)∴∠B=∠GCK=450，BG=CG由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知∠BGH=∠CGK∴△BGH≌△CGK∴BH=CK.（2）①由(1)易知S四邊形CHGK=△ABC=4，∴S△GKH=S四邊形CHGK-S△KCH=4-CH×CK得y=（0＜χ＜4）②當(dāng)y=EQ\F(5,16)×8=時(shí)，即=，解得χ=1或χ=3.∴當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的EQ\F(5,16)時(shí)，BH=1或BH=3.（2010年常州）28.（本小題滿分10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)P、Q分別是AB邊和CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，且保持AP-CQ.設(shè)AP=（1）當(dāng)PQ∥AD時(shí)，求的值；（2）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時(shí)，求的取值范圍；（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，連接EP、EQ，設(shè)△EPQ的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍.3.（2010山東青島市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．ADBCF（E）圖（1）ADBCADBCF（E）圖（1）ADBCFE圖（2）PQ解：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.則AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上. 4分圖（2）QADBCFEP圖（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴拋物線開口向上.∴當(dāng)t=3時(shí)，y最小=.答：當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2. 8分（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.過P作，交AC于N，CEADCEADBF圖（3）PQN∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：當(dāng)t=1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上. 12分(2010臺(tái)州市)（第24題）H24．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長(zhǎng)為x，△HDE的面積為y（第24題）H（1）求證：△DHQ∽△ABC；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？24．（14分）（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，∴，…………3分（圖1）（圖2）∴△DHQ∽△ABC．……………………1分（圖1）（圖2）（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，ED=，QH=，此時(shí)．…………3分當(dāng)時(shí)，最大值．②如圖2，當(dāng)時(shí)，ED=，QH=，此時(shí)．…………2分當(dāng)時(shí)，最大值．∴y與x之間的函數(shù)解析式為y的最大值是．……………………1分（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．顯然ED=EH，HD=HE不可能；……………………1分②如圖2，當(dāng)時(shí)，若DE=DH，=，；…………1分若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，；………1分若ED=EH，則△EDH∽△HDA，∴，，．……1分∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形.24．(東營(yíng)市本題滿分10分)如圖，在銳角三角形ABC中，，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形DEFG.（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；B（第24題圖）ADEFGCB（備用圖（1））ACB（備用圖（2））AC（2）設(shè)DE=xB（第24題圖）ADEFGCB（備用圖（1））ACB（備用圖（2））ACBB（第24題圖(1)）ADEFGCMN解：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖（1），過點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,………1分∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴.………2分解之得.∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4.8.…3分B（第24題圖（2））B（第24題圖（2））ADEFGC①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時(shí)x的范圍是≤4.8…4分②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，如圖（2），設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)P，MB（第24題圖(3)）ADEFGCNMB（第24題圖(3)）ADEFGCNPQ∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,…………5分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.………6分所以,即.………7分由題意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為(0<x≤(0<x≤4.8)當(dāng)≤4.8時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.82=23.04當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為.因?yàn)?4>23.04，所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24.…10分24．（湖北省咸寧市本題滿分12分）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．AABCD（備用圖1）ABCD（備用圖2）QABCDlMP（第24題）E解：（1）過點(diǎn)C作于F，則四邊形AFCD為矩形．QABCDlQABCDlMP（第24題）EFRtRt．∴．即，∴．（2）∵為銳角，故有兩種情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．此時(shí)，即，∴．ABCDABCD（備用圖1）QPElM此時(shí)RtRt∴．由（1）知，，而，∴．∴．ABCD（備用圖2）MQRFABCD（備用圖2）MQRFP（3）為定值．……9分當(dāng)＞2時(shí)，如備用圖2，．由（1）得，．∴． ∴．∴． ∴．∴四邊形AMQP為矩形． ∴∥．……11分∴∴．……12分24.（荊州市12分）如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°．（1）直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，將△AEF沿EF折疊，得到△，求△與五邊形OEFBC重疊部分的面積．解：（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2分）（2）連結(jié)OD,如圖（1），由結(jié)論（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF(4分)∴，即：∴y與x的解析式為：(6分)（3）當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況.①當(dāng)EF=AF時(shí)，如圖（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,B在A’F上（A’F⊥EF）∴△A’EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積.∵∴∴∴（也可用）(8分)②當(dāng)EF=AE時(shí)，如圖（3），此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四邊形DEAB是平行四邊形∴AE=DB=∴(10分)③當(dāng)AF=AE時(shí)，如圖（4），四邊形AEA’F為菱形且△A’EF在五邊形OEFBC內(nèi).∴此時(shí)△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A’EF面積.由（2）知△ODE∽△AEF,則OD=OE=3∴AE=AF=OA-OE=過F作FH⊥AE于H,則∴綜上所述，△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為或1或（12分）26.(湖南常德市)如圖10，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.(1)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖11的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖12的位置時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于H，交AD于M.①求證：AG⊥CH;②當(dāng)AD=4，DG=時(shí)，求CH的長(zhǎng)。AABCDEF圖10GAD圖11FEBCGADBCEFHM圖12ABCDEFABCDEFG圖11四邊形、四邊形是正方形，∴