滬教版相似三角形專題復(fù)習(xí)教學(xué)案

./相似三角形綜合復(fù)習(xí)一、基礎(chǔ)知識<一>.比例1.第四比例項(xiàng)、比例中項(xiàng)、比例線段；2.比例性質(zhì)：〔1基本性質(zhì)：〔2合比定理：〔3等比定理：3.黃金分割：如圖,若,則點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)．4．平行線分線段成比例定理<二>相似1.定義:我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.2.相似多邊形的特性:相似多邊的對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等.3.相似三角形的判定〔1平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。〔2如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似。〔3如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似。〔4如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似。4.相似三角形的性質(zhì)〔1對應(yīng)邊的比相等,對應(yīng)角相等.〔2相似三角形的周長比等于相似比.〔3相似三角形的面積比等于相似比的平方.〔4相似三角形的對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比.5.三角形中位線定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。6.梯形的中位線定義：梯形兩腰中點(diǎn)連線叫做梯形的中位線.梯形的中位線性質(zhì):梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半.7.相似三角形的應(yīng)用:１、利用三角形相似,可證明角相等；線段成比例〔或等積式；２、利用三角形相似,求線段的長等3、利用三角形相似,可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。<三>位似:位似:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且是每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.這時(shí)的相似比又稱為位似比.位似性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比二、經(jīng)典例題例1.如圖在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在長為1的小正方形頂點(diǎn)上．〔1填空：∠ABC=______,BC=_______．〔2判定△ABC與△DEF是否相似？[考點(diǎn)透視]本例主要是考查相似的判定及從圖中獲取信息的能力.例2.如圖所示,D、E兩點(diǎn)分別在△ABC兩條邊上,且DE與BC不平行,請?zhí)钌弦粋€(gè)你認(rèn)為適合的條件_________,使得△ADE∽△ABC．例3.如圖,王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí),測得影子CD的長為1米,繼續(xù)往前走2米到達(dá)E處時(shí),測得影子EF的長為2米,已知王華的身高是1.5米,那么路燈A的高度等于〔A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米例4.如圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,這個(gè)正方形零件的邊長是多少？例5.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D、E在直線BC上運(yùn)動,設(shè)BD=x,CE=y．〔1如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2如果∠BAC的度數(shù)為α,∠DAE的度數(shù)為β,當(dāng)α、β滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),〔1中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立,試說明理由．例6.一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm,放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m,若放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí),問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方,放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏？三．適時(shí)訓(xùn)練〔一選擇題1．梯形兩底分別為m、n,過梯形的對角線的交點(diǎn),引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長為〔〔A〔B〔C〔D2．如圖,在正三角形ABC中,D,E分別在AC,AB上,且＝,AE＝BE,則〔〔A△AED∽△BED〔B△AED∽△CBD〔C△AED∽△ABD〔D△BAD∽△BCD題2題4題53．P是Rt△ABC斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,滿足這樣條件的直線共有〔〔A1條〔B2條〔C3條〔D4條4．如圖,∠ABD＝∠ACD,圖中相似三角形的對數(shù)是〔〔A2〔B3〔C4〔D55．如圖,ABCD是正方形,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件中,不能推出△ABP與△ECP相似的是〔〔A∠APB＝∠EPC〔B∠APE＝90°〔CP是BC的中點(diǎn)〔DBP︰BC＝2︰36．如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列條件：〔1∠B＋∠DAC＝90°；〔2∠B＝∠DAC；〔3＝；〔4AB2＝BD·BC其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的共有〔〔A3個(gè)〔B2個(gè)〔C1個(gè)〔D0個(gè)題6題7題87．如圖,將△ADE繞正方形ABCD頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABF,連結(jié)EF交AB于H,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是〔〔AAE⊥AF〔BEF︰AF＝︰1〔CAF2＝FH·FE〔DFB︰FC＝HB︰EC8．如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AD上任意一點(diǎn),則有〔〔A△ABE的周長＋△CDE的周長＝△BCE的周長〔B△ABE的面積＋△CDE的面積＝△BCE的面積〔C△ABE∽△DEC〔D△ABE∽△EBC9．如圖,在□ABCD中,E為AD上一點(diǎn),DE︰CE＝2︰3,連結(jié)AE、BE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,則S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于〔〔A4︰10︰25〔B4︰9︰25〔C2︰3︰5〔D2︰5︰25題9題10題1110．如圖,直線a∥b,AF︰FB＝3︰5,BC︰CD＝3︰1,則AE︰EC為〔．〔A5︰12〔B9︰5〔C12︰5〔D3︰211．如圖,在△ABC中,M是AC邊中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),且AE＝AB,連結(jié)EM并延長,交BC的延長線于D,此時(shí)BC︰CD為〔〔A2︰1〔B3︰2〔C3︰1〔D5︰212．如圖,矩形紙片ABCD的長AD＝9cm,寬AB＝3cm,將其折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別為〔〔A4cm、cm〔B5cm、cm〔C4cm、2cm〔D5cm、2cm題12〔二填空題13．已知線段a＝6cm,b＝2cm,則a、b、a＋b的第四比例項(xiàng)是_____cm,a＋b與a－b的比例中項(xiàng)是_____cm．14．若＝＝＝－m2,則m＝______．15．如圖,在△ABC中,AB＝AC＝27,D在AC上,且BD＝BC＝18,DE∥BC交AB于E,則DE＝_______．16．如圖,□ABCD中,E是AB中點(diǎn),F在AD上,且AF＝FD,EF交AC于G,則AG︰AC＝______．題16題17題1817．如圖,AB∥CD,圖中共有____對相似三角形．如圖,已知△ABC,P是AB上一點(diǎn),連結(jié)CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加條件______〔只要寫出一種合適的條件．19．如圖,AD是△ABC的角平分線,DE∥AC,EF∥BC,AB＝15,AF＝4,則DE的長等于________．題19題20題2120．如圖,△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,AE＝EC,AD＝18,BE＝15,則△ABC的面積是______．21．如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD＝8,BC＝10,則梯形ABCD面積是_________．22．如圖,已知AD∥EF∥BC,且AE＝2EB,AD＝8cm,AD＝8cm,BC＝14cm,則S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．<三>解答題23.方格紙中,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形．請你在圖示的10×10的方格紙中,畫出兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形,并加以證明〔要求所畫三角形是鈍角三角形,并標(biāo)明相應(yīng)字母．24.如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E為BC中點(diǎn),延長AC、DE相交于點(diǎn)F,求證＝．25.如圖,在△ABC中,AB＝AC,延長BC至D,使得CD＝BC,CE⊥BD交AD于E,連結(jié)BE交AC于F,求證AF＝FC．26.已知：如圖,F是四邊形ABCD對角線AC上一點(diǎn),EF∥BC,FG∥AD．求證：＋＝1．27.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長線于F、H,求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH．28.如圖,∠ABC＝∠CDB＝90°,AC＝a,BC＝b．〔1當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),△ABC∽△CDB？〔2過A作BD的垂線,與DB的延長線交于點(diǎn)E,若△ABC∽△CDB．求證四邊形AEDC為矩形〔自己完成圖形．29.如圖,在矩形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),EF⊥EC交AB于F,連結(jié)FC〔AB＞AE．〔1△AEF與△EFC是否相似？若相似,證明你的結(jié)論；若不相似,請說明理由；〔2設(shè)＝k,是否存在這樣的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在,說明理由．30.如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝6cm,CA＝8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2cm的速度沿CA、AB運(yùn)動到點(diǎn)B,則從C點(diǎn)出發(fā)多少秒時(shí),可使S△BCP＝S△ABC？31.如圖,小華家〔點(diǎn)A處和公路〔L之間豎立著一塊35m長且平行于公路的巨型廣告牌〔DE．廣告牌擋住了小華的視線,請?jiān)趫D中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū),并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設(shè)為BC．一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段BC的時(shí)間是3s,已知廣告牌和公路的距離是40m,求小華家到公路的距離〔精確到1m．32.某老師上完"三角形相似的判定"后,出了如下一道思考題：如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD相交于O,試問：△AOB和△DOC是否相似？某學(xué)生對上題作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中,∵AD∥BC,∴,∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC．請你回答,該學(xué)生的解答是否正確？如果正確,請?jiān)诿恳徊胶竺鎸懗龈鶕?jù)；如果不正確,請簡要說明理由．33.如圖：四邊形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,①過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點(diǎn)E、F,求證：；②如圖：若過BD上另一點(diǎn)E作BD的垂線交BA、BC延長線于F、G,又有什么結(jié)論呢？你會證明嗎？34.陽光通過窗口照射到室內(nèi),在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)<如圖所示>,已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的高BC.35.〔1如圖一,等邊△ABC中,D是AB上的動點(diǎn),以CD為一邊,向上作等邊△EDC,連結(jié)AE。求證：AE//BC；〔2如圖二,將<1>中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。請問：是否仍有AE//BC？證明你的結(jié)論。36.如圖,從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線AB、AC,切點(diǎn)分別為B、C,且⊙O直經(jīng)BD=6,連結(jié)CD、AO?！?求證：CD∥AO；〔2設(shè)CD=x,AO=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍；〔3若AO+CD=11,求AB的長。37.已知：如圖,在正方形ABCD中,AD=1,P、Q分別為AD、BC上兩點(diǎn),且AP=CQ,連結(jié)AQ、BP交于點(diǎn)E,EF平行BC交PQ于F,AP、BQ分別為方程的兩根.〔1求的值〔2試用AP、BQ表示EF〔3若S△PQE=,求n的值38.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知OA=12cm,OB=6cm,點(diǎn)P從O點(diǎn)開始沿OA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動：點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動,如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t<s>表示移動的時(shí)間〔,那么：OPAXYBQ〔1設(shè)△POQ的面積為OPAXYBQ〔2當(dāng)△POQ的面積最大時(shí),△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ,試判斷點(diǎn)C是否落在直線AB上,并說明理由?！?當(dāng)為何值時(shí),△POQ與△AOB相似？39.如圖,矩形PQMN內(nèi)接于△ABC,矩形周長為24,AD⊥BC交PN于E,且BC＝10,AE＝16,求△ABC的面積．40.已知：如圖,△ABC中,AB＝AC,AD是中線,P是AD上一點(diǎn),過C作CF∥AB,延長BP交AC于E,交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．41.在Rt△ABC中,∠C=90,BC=9,CA=12,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,〔第41題DE⊥DB交AB于點(diǎn)E,⊙O是△BDE的外接圓,交BC于點(diǎn)F〔第41題〔1求證:AC是⊙O的切線;〔2聯(lián)結(jié)EF,求的值.42.請閱讀下列材料：〔圖1圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．即如右圖1,若弦AB、CD交于點(diǎn)P則PA·PB=PC·PD．請你根據(jù)以上材料,解決下列問題.〔圖1已知⊙O的半徑為2,P是⊙O內(nèi)一點(diǎn),且OP=1,過點(diǎn)P任作一弦AC,過A、C兩點(diǎn)分別作⊙O的切線m和n,作PQ⊥m于點(diǎn)Q,PR⊥n于點(diǎn)R.〔如圖2<1>若AC恰經(jīng)過圓心O,請你在圖3中畫出符合題意的圖形,并計(jì)算：的值；<2>若OP⊥AC,請你在圖4中畫出符合題意的圖形,并計(jì)算：的值；〔圖2<3>若AC是過點(diǎn)P的任一弦〔圖2,請你結(jié)合<1><2>的結(jié)論,猜想：的值,并給出證明．〔圖2〔圖4〔圖3〔圖4〔圖343.已知,是的平分線．將一個(gè)直角的直角頂點(diǎn)在射線上移動,點(diǎn)不與點(diǎn)重合.〔1如圖,當(dāng)直角的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)、時(shí),請判斷與的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔2如圖,在〔1的條件下,設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn),且,求的值；〔3若直角的一邊與射線交于點(diǎn),另一邊與直線、直線分別交于點(diǎn)、,且以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,請畫出示意圖；當(dāng)時(shí),直接寫出的長.44.圖1是邊長分別為4EQ\R<,3>和3的兩個(gè)等邊三角形紙片和疊放在一起〔與重合．〔1固定△,將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△,連結(jié)〔如圖2．此時(shí)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；〔2設(shè)圖2中的延長線交于,并將圖2中的△在線段上沿著方向以每秒1個(gè)單位的速度平移,平移后的△設(shè)為△〔如圖3．設(shè)△移動〔點(diǎn)在線段上的時(shí)間為x秒,若△與△重疊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍；〔3若固定圖1中的△,將△沿方向平移,使頂點(diǎn)C落在的中點(diǎn)處,再以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,設(shè),邊交于點(diǎn)M,邊交于點(diǎn)N〔如圖4．此時(shí)線段的值是否隨的變化而變化？如果沒有變化,請你求出的值；如果有變化,請你說明理由．圖1圖2圖3圖445.如圖：是⊙O的直徑,是弦,,延長到點(diǎn),使得．<1>求證：是⊙O的切線；<2>若,求的長．46.已知：如圖,AB為⊙O的直徑,AD為弦,∠DBC=∠A.〔1求證：BC是⊙O的切線；〔2若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的長.47.在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在BC上,且DE∥AB,將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△〔使＜180°,連接、,設(shè)直線與AC交于點(diǎn)O.〔1如圖①,當(dāng)AC=BC時(shí),:的值為；〔2如圖②,當(dāng)AC=5,BC=4時(shí),求:的值；〔3在〔2的條件下,若∠ACB=60°,且E為BC的中點(diǎn),求△OAB面積的最小值.圖①圖②48.