現(xiàn)代控制理論總復(fù)習(xí)定稿版

現(xiàn)代控制理論總復(fù)習(xí)定稿版第1頁/共72頁

1.線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解

線性定常系統(tǒng)非齊次方程解的組成：

自由運(yùn)動+強(qiáng)制運(yùn)動當(dāng)初始時刻

初始狀態(tài)時，其解為：式中，。（2）安徽理工大學(xué)電氣系第2頁/共72頁當(dāng)初始時刻為，初始狀態(tài)為時，其解為：式中，。證明過程:1.積分法，詳見692.拉氏變換法:第3頁/共72頁上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右邊第二項，其中：兩個拉氏變換函數(shù)的乘積是一個卷積的拉氏變換，即以此代入式（5），并取拉氏反變換，即得：安徽理工大學(xué)電氣系第4頁/共72頁三種常見的激勵及其對應(yīng)的解（70）1.脈沖響應(yīng)即當(dāng)時解為：2.階躍響應(yīng)即當(dāng)時解為：3.斜坡響應(yīng)即當(dāng)時解為：第5頁/共72頁例：已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，求解：安徽理工大學(xué)電氣系第6頁/共72頁安徽理工大學(xué)電氣系第7頁/共72頁套路總結(jié)：1.先寫出系統(tǒng)矩陣A,控制矩陣B,輸出矩陣C2.求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：a.由定義求解（難以得到解析式，不推薦）

b.變換系統(tǒng)矩陣為對角陣、約旦陣62（推薦）

c.拉氏反變換法（掌握拉氏反變換公式）（推薦）

d.凱萊-哈密頓定理（66）3.觀察激勵是否為沖擊、階躍或者斜坡函數(shù)，如果是這三類函數(shù)，則求解可以直接套用公式。（70）4.由以上求解結(jié)果通過輸出方程，求解輸出量。第8頁/共72頁2.能控（觀）標(biāo)準(zhǔn)型的實現(xiàn)對于一個單輸入單輸出的系統(tǒng)，一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，便可以直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。只有系統(tǒng)是完全能控（完全能觀）才能化成能控（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型。所以標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的第一步是判斷能控和能觀性，下面看一下怎么判斷能控和能觀性。第9頁/共72頁線性定常系統(tǒng)的能控性判別具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型（或者變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型）系統(tǒng)的能控性判別1．單輸入系統(tǒng)具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)矩陣的單輸入系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：

線性定常系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則有兩種形式，一種是先將系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)陣，確定系統(tǒng)的能控性；另一種方法是直接根據(jù)狀態(tài)方程的A

陣和B

陣，確定其能控性。或式中(2)(1)安徽理工大學(xué)電氣系第10頁/共72頁安徽理工大學(xué)電氣系第11頁/共72頁系統(tǒng)的能控性，取決于狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣b。在A為對角陣的情況下，如果b的元素有為0的，則系統(tǒng)是不完全能控的在A為約旦標(biāo)準(zhǔn)矩陣時，只有當(dāng)b中相應(yīng)于約旦塊的最后一行的元素為零時，系統(tǒng)是不完全能控的。不能控的狀態(tài)，在結(jié)構(gòu)圖中表現(xiàn)為存在與u(t)無關(guān)的孤立塊。安徽理工大學(xué)電氣系第12頁/共72頁注意：如果在約旦標(biāo)準(zhǔn)陣中出現(xiàn)兩個以上同一特征值有關(guān)的約旦塊，對單輸入系統(tǒng)，系統(tǒng)是不能控的；對多輸入系統(tǒng)，則要考察T-1B中，與那些相同特征值對應(yīng)的約旦塊的最后一行元素所形成的矢量是否線性無關(guān)，如果線性無關(guān)，系統(tǒng)才是能控的。安徽理工大學(xué)電氣系含義：對于：如果

行線性無關(guān)，則狀態(tài)能控第13頁/共72頁u-x間的傳遞函數(shù)陣為：狀態(tài)完全能控的充分必要條件是Wux(s)沒有零點和極點重合現(xiàn)象。否則被相消的極點就是不能控的模式，系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)。單輸入系統(tǒng)，從系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣判斷系統(tǒng)的能控性安徽理工大學(xué)電氣系(44，45)第14頁/共72頁線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)其能控的充分必要條件是由A，b構(gòu)成的能控性矩陣滿秩，即rankM=n.否則，當(dāng)rankM<n時，系統(tǒng)為不能控的。直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性1．單輸入系統(tǒng)(14)(13)安徽理工大學(xué)電氣系第15頁/共72頁多輸入系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為式中，B為nr階矩陣；u為r維列矢量。其能控的充分必要條件M的秩為n.(15)2．多輸入系統(tǒng)安徽理工大學(xué)電氣系第16頁/共72頁系統(tǒng)矩陣A為對角線型的情況下，系統(tǒng)能觀的充要條件是出矩陣C中沒有全為零的列。若第i列全為零，則狀態(tài)變量xi(t)為不能觀的。安徽理工大學(xué)電氣系在系統(tǒng)矩陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的情況下，系統(tǒng)能觀的充分必要條件是輸出矩陣C中，對應(yīng)每個約旦塊開頭的一列（首列）的元素不全為零。定常系統(tǒng)能觀性的判別方法一第17頁/共72頁注意：約旦陣J中沒有兩個約旦塊與同一特征值有關(guān)，如果有兩個約旦塊與同一個特征值有關(guān)，則每個約旦塊開頭的一列（首列）線性無關(guān)；安徽理工大學(xué)電氣系第18頁/共72頁直接通過A和C構(gòu)造N矩陣系統(tǒng)能觀的充要條件rankN=n定常系統(tǒng)能觀性的判別方法二第19頁/共72頁判斷好系統(tǒng)的能控和能觀性之后求解系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型1．能控標(biāo)準(zhǔn)I型(1)若線性定常單輸入系統(tǒng)：是能控的，則存在線性非奇異變換：安徽理工大學(xué)電氣系(2)第20頁/共72頁(3)使其狀態(tài)空間表達(dá)式(1)化成能控標(biāo)準(zhǔn)1型：(4)其中(5)安徽理工大學(xué)電氣系第21頁/共72頁

稱形如式(4)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)I型。其中為特征多項式：的各項系數(shù)。安徽理工大學(xué)電氣系是cTc1相乘的結(jié)果，即第22頁/共72頁例將下列狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)I型解：方法一，（1）判別系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)能控，可以化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。安徽理工大學(xué)電氣系第23頁/共72頁（2）A的特征多項式（3）計算可直接寫出：

需通過計算得到安徽理工大學(xué)電氣系第24頁/共72頁（4）得到系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為：還可以直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：安徽理工大學(xué)電氣系第25頁/共72頁若線性定常單輸入系統(tǒng)：2.能控標(biāo)準(zhǔn)型(6)相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(6)轉(zhuǎn)換成：(7)是能控的，則存在線性非奇異變換：(8)其中(9)安徽理工大學(xué)電氣系第26頁/共72頁(10)(11)并稱形如式(8)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)型。式(9)中的是系統(tǒng)特征多項式：的各項系數(shù)，亦即系統(tǒng)的不變量。

式(11)中的是相乘的結(jié)果，即：(12)安徽理工大學(xué)電氣系第27頁/共72頁例：寫出以下傳遞函數(shù)的能控標(biāo)準(zhǔn)II型。解：無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟芸貥?biāo)準(zhǔn)型。所以：控標(biāo)準(zhǔn)II型為：安徽理工大學(xué)電氣系第28頁/共72頁套路總結(jié)先根據(jù)M或零極點判別系統(tǒng)的能控性計算系統(tǒng)的Tc1和Tc2計算安徽理工大學(xué)電氣系第29頁/共72頁單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型

與變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型的條件相似，只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀時，即有：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才可能導(dǎo)出能觀標(biāo)準(zhǔn)型。若線性定常系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換：(13)(14)1．能觀標(biāo)準(zhǔn)型

狀態(tài)空間表達(dá)式的能觀標(biāo)準(zhǔn)型也有兩種形式，能觀標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型，它們分別與能控標(biāo)準(zhǔn)型和能控標(biāo)準(zhǔn)型相對偶。安徽理工大學(xué)電氣系第30頁/共72頁使其狀態(tài)空間表達(dá)式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)

稱形如式(15)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)I型。其中是矩陣A的特征多項式的各項系數(shù)。安徽理工大學(xué)電氣系取變換陣：(19)第31頁/共72頁2．能觀標(biāo)準(zhǔn)型(20)若線性定常單輸出系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換(21)安徽理工大學(xué)電氣系-1第32頁/共72頁使其狀態(tài)空問表達(dá)式(20)變換為：(22)其中

(23)(24)(25)稱形如式(22)的狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。安徽理工大學(xué)電氣系第33頁/共72頁例：試將下列狀態(tài)空間表達(dá)式變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)型安徽理工大學(xué)電氣系解：第34頁/共72頁rank(N)=3，所以系統(tǒng)是能觀的。計算系統(tǒng)的特征多項式即a0=2a1=-9a2=0安徽理工大學(xué)電氣系第35頁/共72頁例：寫出以下傳遞函數(shù)的第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。解：無零極點相約，故能控且能觀測?？梢曰癁槟苡^測標(biāo)準(zhǔn)型。所以：第二能觀測標(biāo)準(zhǔn)型為：安徽理工大學(xué)電氣系第36頁/共72頁套路總結(jié)先根據(jù)N或者零極點判別系統(tǒng)的能觀性計算系統(tǒng)的To1的逆矩陣和To2的逆矩陣寫出計算第37頁/共72頁3.按能控性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)(1)是狀態(tài)不完全能控，其能控性判別矩陣：的秩則存在非奇異變換：安徽理工大學(xué)電氣系(2)目的：將系統(tǒng)顯性分解為能控和不能控兩部分。為實現(xiàn)做準(zhǔn)備。第38頁/共72頁將狀態(tài)空間表達(dá)式(1)變換為：(3)其中(4)(5)第39頁/共72頁(6)

可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換為式(3)后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間就被分解成能控的和不能控的兩部分，其中維子空問：是能控的，而維子系統(tǒng)：

是不能控的。對于這種狀態(tài)結(jié)構(gòu)的分解情況如圖所示，因為對不起作用，僅作無控的自由運(yùn)動。顯然，若不考慮維子系統(tǒng)，便可得到一個低維的能控系統(tǒng)。安徽理工大學(xué)電氣系第40頁/共72頁至于非奇異變換陣：(7)

其中個列矢量可以按如下方法構(gòu)成，前個列矢量是能控性矩陣M中的個線性無關(guān)的列，另外的個列在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。安徽理工大學(xué)電氣系第41頁/共72頁例：按能控性分解例題系統(tǒng)的能控性矩陣rank(M)=2系統(tǒng)不完全能控。安徽理工大學(xué)電氣系第42頁/共72頁解：構(gòu)造非奇異變換陣線性變換之后的狀態(tài)空間表達(dá)式為安徽理工大學(xué)電氣系第43頁/共72頁能控子系統(tǒng)不能控子系統(tǒng)輸出量分解y=y1+y2R第44頁/共72頁-1-2-2ux1x2x3__第45頁/共72頁按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：其狀態(tài)不完全能觀的，其能觀性判別矩陣的秩(8)則存在非奇異變換：(9)安徽理工大學(xué)電氣系第46頁/共72頁將狀態(tài)空間表達(dá)式(8)變換為：(10)其中(11)(12)(13)安徽理工大學(xué)電氣系第47頁/共72頁安徽理工大學(xué)電氣系非奇異變換陣是這樣構(gòu)成的，取(14)

其中前n1個行矢量是能觀性判別陣中的n1個線性無關(guān)的行，另外的(n-n1)個行矢量在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。-1第48頁/共72頁例：按能觀性分解例題解：系統(tǒng)的能觀性矩陣rank(N)=2系統(tǒng)不完全能觀。安徽理工大學(xué)電氣系構(gòu)造非奇異變換陣第49頁/共72頁線性變換之后的狀態(tài)空間表達(dá)式為第50頁/共72頁按能控性和能觀性進(jìn)行分解142

1)如果線性系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的，若對該系統(tǒng)同時按能控性和能觀性進(jìn)行分解，則可以把系統(tǒng)分解成能控且能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四部分。當(dāng)然，并非所有系統(tǒng)都能分解成有這四個部分的。安徽理工大學(xué)電氣系能控子空間能觀測子空間能控能觀能控不能觀不能控能觀不能控也不能觀穩(wěn)定性和李雅普諾夫方法第51頁/共72頁套路總結(jié)能控性分解構(gòu)造非奇異矩陣Rc能觀性分解構(gòu)造非奇異矩陣Ro能控能觀性分解變換系統(tǒng)陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型第52頁/共72頁Lyapunov穩(wěn)定性方法主要內(nèi)容：

通過求解特征方程的特征值，利用其性質(zhì)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（間接法）

不求解微分方程，而利用經(jīng)驗和技巧構(gòu)造能量函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（直接法）其基本思路和分析方法與經(jīng)典理論一致特別適用于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)（因其狀態(tài)方程求解困難）對任意階線性或非線性、定?；驎r變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析均適用的一般性方法4.穩(wěn)定性和李雅普諾夫方法安徽理工大學(xué)電氣系第53頁/共72頁2)V(x)是正定的，即當(dāng)。

3)V(x)沿狀態(tài)軌跡方向計算的時間導(dǎo)數(shù)分別滿足下列條件：①若為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài)Xe為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此稱穩(wěn)定判據(jù)。

②若為負(fù)定；或者雖然為半負(fù)定．但對任意初始狀態(tài)來說，除去x=0外，對不恒為零。那么原點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步還有當(dāng)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此稱漸近穩(wěn)定判據(jù)。1)V(x)對所有x都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。③若為正定，那么平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。此稱不穩(wěn)定判據(jù)。安徽理工大學(xué)電氣系如果存在一個標(biāo)量函數(shù)V(x)，它滿足：第54頁/共72頁例4-4：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。解：令原點是唯一平衡點安徽理工大學(xué)電氣系第55頁/共72頁

設(shè)則半負(fù)定反設(shè)

只有平衡狀態(tài)滿足安徽理工大學(xué)電氣系第56頁/共72頁這個結(jié)果是相矛盾的。所以這種情況不會發(fā)生在狀態(tài)方程的解運(yùn)動軌跡上。綜合以上分析可知,系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處是大范圍漸近穩(wěn)定的。安徽理工大學(xué)電氣系第57頁/共72頁例4-5：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1)

令即原點是平衡狀態(tài)。設(shè)安徽理工大學(xué)電氣系第58頁/共72頁則：其它半負(fù)定令只有全零解非零狀態(tài)時原點是漸近穩(wěn)定，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。安徽理工大學(xué)電氣系第59頁/共72頁套路總結(jié)1.令狀態(tài)方程為0.求出平衡狀態(tài)2.構(gòu)造利亞普諾夫函數(shù)V（x）3.判斷V（x）導(dǎo)數(shù)是負(fù)定還是半負(fù)定。如果是半負(fù)定判斷在除平衡點之外是否恒為零第60頁/共72頁5.狀態(tài)觀測器的設(shè)計仿照系統(tǒng)（A,B,C)的結(jié)構(gòu)，設(shè)計一個相同的系統(tǒng)來觀測狀態(tài)x，可以證明，這種狀態(tài)觀測器只有當(dāng)觀測器的初始狀態(tài)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全相同時，觀測器的輸出才嚴(yán)格等于系統(tǒng)的實際狀態(tài)X,要想保持初始狀態(tài)相同，實際上是不可能的，所以利用輸出信息對狀態(tài)誤差進(jìn)行校正，便可構(gòu)成漸進(jìn)狀態(tài)觀測器。