計(jì)算方法龍貝格高斯求積公式

計(jì)算方法龍貝格高斯求積公式第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,我們知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為1次,3次和5次復(fù)合梯形、復(fù)合Simpson、復(fù)合Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階無論從代數(shù)精度還是收斂速度,復(fù)合梯形公式都是較差的有沒有辦法改善梯形公式呢?2023/4/182第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二一、復(fù)合梯形公式的遞推化各節(jié)點(diǎn)為復(fù)合梯形(Trapz)公式為--------(1)--------(2)2023/4/183第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二--------(3)由(1)(2)兩式可42023/4/18(3)式稱為遞推的梯形公式遞推梯形公式加上一個(gè)控制精度,即可成為自動(dòng)選取步長(zhǎng)的復(fù)化梯形公式優(yōu)點(diǎn)：梯形法計(jì)算簡(jiǎn)單缺點(diǎn)：收斂慢，為了達(dá)到要求的精度，需要二分區(qū)間多次，分點(diǎn)大量增加，計(jì)算量很大第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二--------(3)2023/4/185第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二則由(1)(2)(3)式,有2023/4/186第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二因此(1)(2)(3)式可化為如下遞推公式-------(4)上式稱為復(fù)合變步長(zhǎng)梯形求積公式2023/4/187第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二二、外推加速公式由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式可得由(3)式移項(xiàng)合并2023/4/188第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二復(fù)合Simpson公式表明：由梯形公式前后兩次結(jié)果的線性組合可構(gòu)造出精確度較高的辛普森公式2023/4/189第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二--------(5)即--------(6)當(dāng)然2023/4/1810第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二11因此由復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)可得令--------(7)--------(8)即當(dāng)然2023/4/18第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二由復(fù)合Cotes公式的余項(xiàng)得令--------(9)即當(dāng)然公式(9)稱為龍貝格積分公式2023/4/1812第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二外推加速公式以上整個(gè)過程稱為Romberg算法將上述結(jié)果綜合后2023/4/1813第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二其中外推加速公式可簡(jiǎn)化為--------(9)Romberg算法的收斂階高達(dá)m+1的兩倍Romberg算法求解步驟Romberg算法的代數(shù)精度為m的兩倍2023/4/1814第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二上述公式推導(dǎo)說明，T1公式是梯形公式，對(duì)于次數(shù)不高于1的多項(xiàng)式準(zhǔn)確；S1是辛普森公式，對(duì)于次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式準(zhǔn)確；C1是柯特斯公式，它對(duì)于次數(shù)不高于5的多項(xiàng)式準(zhǔn)確，每一個(gè)公式均由前一公式的適當(dāng)線性組合得到，精確度都提高2次。因此可以驗(yàn)證，由柯特斯公式C1構(gòu)造得到的龍貝格公式R1，對(duì)次數(shù)不高于7次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確。龍貝格公式計(jì)算積分占用內(nèi)存少，精度高2023/4/1815第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二龍貝格公式計(jì)算步驟：其計(jì)算過程是將區(qū)間逐次分半，加速得到積分近似值，因此稱為逐次分半加速法2023/4/1816第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

00.920735510.93979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831例1

將三個(gè)加速公式用于求從表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位數(shù)字都是有效數(shù)字172023/4/18第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二例2.182023/4/18解：（1）在區(qū)間[1,2]上用梯形公式得第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二192023/4/18第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二202023/4/18第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二本章作業(yè)P9710212023/4/18第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

牛頓—柯特斯型求積公式是封閉型的（區(qū)間[a,b]的兩端點(diǎn)a,b均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的,受此限制，牛頓—柯特斯型求積公式的代數(shù)精度只能是n(n為奇數(shù))或n+1(n為偶數(shù))。

4.7.1一般理論4.7高斯求積公式222023/4/18問題：對(duì)求積節(jié)點(diǎn)也適當(dāng)?shù)倪x取,即在求積公式中不僅Ak而且xk也加以選取,是否可以增加自由度，從而可提高求積公式的代數(shù)精度？

第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/1823第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/1825第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/18定義：26第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/18

4.7.2Gauss求積公式的構(gòu)造先從簡(jiǎn)單情況入手27第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/18①②28第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/1829第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2023/4/1830第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二則求積公式為此式對(duì)任何不高于3次的多項(xiàng)式f(x)都準(zhǔn)確成立2023/4/1831第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二322023/4/18第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二332023/4/18第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二342023/4/18第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

4.7.3常用的高斯型求積公式352023/4/18由于正交多項(xiàng)式隨權(quán)函數(shù)不同，所以取不同的權(quán)函數(shù)時(shí)，則有各種各樣的Gauss型求積公式.第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二（1）高斯－勒讓德求積公式2023/4/1836第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二372023/4/18（2