量子力學(xué)中的算符

量子力學(xué)中的算符第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二第一節(jié)算符operator算符算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號

就是一個算符算符的引入規(guī)則如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式F(r,p)中將動量p換為動量算符得出第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二名稱力學(xué)量Operator算符坐標動量勢能動能總能量角動量經(jīng)常遇到的力學(xué)量所對應(yīng)的算符第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二簡并degeneration當算符?的某一本征值n的本征函數(shù)不止一個，而是f個線性無關(guān)的函數(shù)n1、n2、

nf，則稱該本征值f度簡并。若一個算符作用在波函數(shù)上得出一個常數(shù)乘以該波函數(shù)，如，則稱此方程為該算符的本征方程，稱此常數(shù)fn為算符F的第n個本征值，波函數(shù)為fn相應(yīng)的本征波函數(shù)算符的本征值和本征函數(shù)第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二線性算符linearoperator設(shè)u1、u2為任意函數(shù)，c1、c2是任意兩個復(fù)常數(shù)，如果則稱?為線性算符

x、d/dx是線性算符，而開方運算不是線性算符量子力學(xué)中用來表示力學(xué)量的算符，都是線性算符是態(tài)疊加原理的要求設(shè)根據(jù)態(tài)的疊加原理也就是假設(shè)說是二度簡并的也是算符?的本征態(tài)，應(yīng)有當?為線性算符時第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二1厄米算符Hermitianoperator設(shè)u、v為兩個任意函數(shù)，如果算符?滿足則稱?為厄米算符量子力學(xué)中代表力學(xué)量的算符必須是線性厄米算符

——量子力學(xué)的又一基本概念厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值必須是實數(shù)力學(xué)量觀測值必須是實數(shù)，要求算符的本征值是實數(shù)線性厄米算符的作用就是把態(tài)空間中的一個元素變成另一個元素線性厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成一個正交歸一的函數(shù)系第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（1）厄米算符本征函數(shù)的正交歸一性(Orthonormality)（2）完備性(Completeness)設(shè)1、2、、n，是某一線性厄米算符的本征函數(shù)系，任何與{n}滿足同樣邊界條件且在同樣區(qū)間定義的波函數(shù),都可以按{n}展開，即厄米算符的本征函數(shù)(本征態(tài))具有正交、完備性若在每個r處，此無窮級數(shù)都收斂到Ψ(r,t)，則稱{n}是完備的第二節(jié)第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2力學(xué)量的平均值(AverageValues)(1)力學(xué)量處于本征態(tài)時設(shè)厄米算符?的本征函數(shù)分別為1、2、、n，所屬的本征值為，1、2、n，當體系處于n時，力學(xué)量A有確定的值n，（2）當體系處于?的非本征態(tài)時，力學(xué)量A為何值？在非本征態(tài)中測量力學(xué)量的值為一平均值，當體系處于算符?的非本征態(tài)時，測量力學(xué)量A所得為平均值，如果已經(jīng)歸一化，力學(xué)量的平均值為如果尚未歸一化，力學(xué)量的平均值為第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二利用歸一化條件用*左乘上式并對全空間積分根據(jù)本征函數(shù)的完全性力學(xué)量的平均值為：所以為在Ψn態(tài)中，A取λn的幾率第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二狀態(tài)時，粒子的能量？也就是說，此時粒子不處于本征態(tài)。在此狀態(tài)下，測量粒子的能量由于波函數(shù)是歸一化的本征函數(shù)為：解：例：設(shè)粒子在一維無限勢阱(0,a)中運動，如果描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3軌道角動量算符的本征值和本征函數(shù)(1)軌道角動量算符定義若位勢與坐標的方向無關(guān)，即，則稱此位勢為中心力場粒子若在中心力場中運動，角動量是表征體系轉(zhuǎn)動性質(zhì)的重要物理量為區(qū)別自旋角動量，將其稱之為軌道角動量第三節(jié)第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(2)本征問題Spherical-harmonicsl稱為角量子數(shù)，表征角動量的大小A的本征方程本征函數(shù)m稱為磁量子數(shù)本征值為球諧函數(shù)，不僅應(yīng)當在全空間有限，而且是一個單值函數(shù)第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例如：l=2時m可以取-2,-1,0,1,2;五個值本征值本征函數(shù)BLz的本征值和本征函數(shù)

Lz表示體系的軌道角動量在z軸方向的投影一個本征值對應(yīng)2l+1個本征函數(shù)，本征值是2l+1度簡并的第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(3)討論算符的本征值是量子化的，只能取斷續(xù)值除了的基態(tài)外，算符的所有本征值都是簡并的，且簡并度為第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例題若粒子處于狀態(tài)求：分別測量的可能取值與相應(yīng)的取值概率解：首先判斷波函數(shù)是否是歸一化的狀態(tài)其次計算各種條件下各力學(xué)量的可能取值和取值概率在態(tài)下，相應(yīng)的取值概率公式為第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二4類氫原子的波函數(shù)和能量本征值(1)分離變量法求解定態(tài)方程，可以得到滿足波函數(shù)條件的解設(shè)

在球坐標下，薛定諤方程變?yōu)轭悮湓又械碾娮佑腥齻€自由度，因此要用三個量子數(shù)n,l,m來描述其運動狀態(tài)

Rnl(r)是徑向函數(shù)是角度部分的波函數(shù)，稱球諧函數(shù)主量子數(shù)：n角量子數(shù)：l磁量子數(shù)：m能量角動量角動量在z軸上的投影第四節(jié)第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（2）本征能量能量取下列離散值時，才有滿足波函數(shù)有限性條件的解電子的能量只與量子數(shù)n有關(guān),n稱為主量子數(shù)玻爾第一軌道半徑氫原子的基態(tài)能量為若要使處于基態(tài)的氫原子電離，必須外加

13.6eV的能量隨量子數(shù)n的增加，氫原子能級間隔越來越小，當n→∞時能級接近連續(xù)分布氫原子能級圖EoE1E2第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（3）能級的簡并度電子的能級En只與主量子數(shù)n有關(guān)對應(yīng)一個n值，l可以取0,1,2n-1共n個對應(yīng)一個l值，m又可以取0,1,2,…l共2l+1個

l、m不同，函數(shù)的形式不同同一能量級對應(yīng)著不同的本征函數(shù)——庫侖場中運動的電子能級是簡并的簡并度為電子的能級是n2度簡并的第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例1對能級簡并度是9，9個不同的波函數(shù)(9個不同的本征態(tài))有相同的能量它們是例2：氫原子中的電子處于狀態(tài)，求：(1)歸一化的波函數(shù)(2)能量有無確定值？如果沒有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(3)角動量有無確定值？如果沒有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(4)角動量的z分量有無確定值？如果有，求其本征值第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二利用本征函數(shù)的正交性，得到所以歸一化的波函數(shù)為解:(1)設(shè)歸一化常數(shù)為A，利用歸一化條件第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(2)所以此波函數(shù)不是能量的本征函數(shù)，在此態(tài)中能量無確定值，能量的可能值為E2和E3，能量的平均值為(3)容易證明此波函數(shù)不是角動量平方算符的本征態(tài)第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二角動量平方的可能值為L2平均值：第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二是其本征函數(shù)，本征值為(4)第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二作業(yè)題：1氫原子中的電子處于求:(1)歸一化的波函數(shù)；

(2)能量有無確定值？如沒有，求其能量的可能值和取這些值的幾率

(3)角動量平方有無確定值？如果有求其本征值

(4)角動量的z分量有無確定值？如果沒有？求其可能值和取這些值的幾率2氫原子能量簡并度是多少？寫出n＝2的所有可能的能量狀態(tài)講義：P7414任選兩道第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二量子力學(xué)中可以進一步通過代表不同力學(xué)量的算符間所滿足的關(guān)系，來判斷哪些力學(xué)量可以同時取確定值，哪些力學(xué)量不可以同時取確定值，引入了對易的概念算符?、?

不對易如果兩個算符?、?

，先后作用到一個波函數(shù)上，作用的結(jié)果與作用的順序無關(guān)，如兩個算符?、?對易可以同時測定如果兩個算符滿足兩個算符反對易1算符的對易關(guān)系commutationrelation第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（1）坐