狀態(tài)空間和卡爾曼濾波

狀態(tài)空間和卡爾曼濾波第一頁，共23頁。11.1狀態(tài)空間模型

一、狀態(tài)空間模型簡(jiǎn)述狀態(tài)空間模型是動(dòng)態(tài)時(shí)域模型，以隱含著的時(shí)間為自變量。狀態(tài)空間模型包括兩個(gè)模型：

一是狀態(tài)方程模型，反映動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在輸入變量作用下在某時(shí)刻所轉(zhuǎn)移到的狀態(tài)；

二是輸出或量測(cè)方程模型，它將系統(tǒng)在某時(shí)刻的輸出和系統(tǒng)的狀態(tài)及輸入變量聯(lián)系起來?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙摚?3頁。狀態(tài)空間模型分類狀態(tài)空間模型按所受影響因素的不同分為：（1）確定性狀態(tài)空間模型（2）隨機(jī)性狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型按數(shù)值形式分為：（1）離散空間狀態(tài)模型（2）連續(xù)空間狀態(tài)模型回總目錄回本章目錄第三頁，共23頁。狀態(tài)空間模型按所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分為：（1）線性的與非線性的（2）時(shí)變的與時(shí)不變的回總目錄回本章目錄時(shí)不變連續(xù)性（或離散性）確定性隨機(jī)性線性非線性時(shí)不變時(shí)變時(shí)不變線性非線性時(shí)不變時(shí)變時(shí)變時(shí)變第四頁，共23頁。二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間

離散事件隨機(jī)性系統(tǒng)的概念是系統(tǒng)理論中最基本的概念。離散事件隨機(jī)性系統(tǒng)的狀態(tài)，是指系統(tǒng)內(nèi)部的可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和可能儲(chǔ)能狀態(tài)。系統(tǒng)在k=k0時(shí)刻的狀態(tài)，是在k<k0時(shí)以系統(tǒng)內(nèi)部?jī)?chǔ)能的積累結(jié)果，并在k=k0時(shí)以系統(tǒng)要素儲(chǔ)能的方式表現(xiàn)出來，還將影響系統(tǒng)在k>k0時(shí)的外部行為?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖屙摚?3頁。用隨機(jī)向量序列來描述系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)向量，稱為狀態(tài)向量法，也稱為狀態(tài)空間法。狀態(tài)向量表示為：其中，（k=1，2，…，n）為第i個(gè)狀態(tài)向量?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诹?，共23頁。三、系統(tǒng)的輸入輸出輸入輸出狀態(tài)概念

引入狀態(tài)向量是為了對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，但在許多情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)是無法直接量測(cè)到的，有時(shí)甚至全部不能量測(cè)到。在實(shí)際工作中，能量測(cè)到的量只是系統(tǒng)的輸入與輸出?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谄唔摚?3頁。輸入輸出變量表示系統(tǒng)的輸入也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為：稱為輸入向量，其分量（i=1，2，…，r)稱為輸入變量?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诎隧摚?3頁。輸入輸出變量表示系統(tǒng)所受的隨機(jī)干擾也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為：稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型噪聲，它是系統(tǒng)的一種特殊輸入向量?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诰彭?，共23頁。輸入輸出變量表示系統(tǒng)的輸出也是隨時(shí)間而變的一組變量，表示為：稱為輸出向量，其分量（i=1，2，…，m)稱為輸入變量。回總目錄回本章目錄第十頁，共23頁。輸入輸出變量表示量測(cè)系統(tǒng)也會(huì)受到隨機(jī)噪聲的污染，表示為：稱為系統(tǒng)的量測(cè)噪聲?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑豁摚?3頁。四、狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型定義

狀態(tài)空間模型是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的完整模型，它表達(dá)了由于輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，并由此使輸出發(fā)生的變化。狀態(tài)空間模型的不同形式例如，線性時(shí)不變模型的狀態(tài)方程可表示為：

輸出方程為：回總目錄回本章目錄第十二頁，共23頁。五、狀態(tài)空間模型的建立例題?例1

某養(yǎng)魚場(chǎng)為了反映池塘魚種的變化，請(qǐng)你幫助建立狀態(tài)空間模型。解答：（1）取狀態(tài)向量X（k）為k時(shí)刻3個(gè)魚種的數(shù)量：輸入向量為：回總目錄回本章目錄第十三頁，共23頁。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：式中：p1，p2，p3為鯽魚、青魚和鯉魚的生長(zhǎng)率，這里為p1=0.1，p2=0.13，p3=0.08。（3）輸入矩陣仍定為常陣：回總目錄回本章目錄第十四頁，共23頁。（4）輸出矩陣或預(yù)測(cè)矩陣C為3×3維單位陣，這樣，輸出向量或量測(cè)向量就等同于狀態(tài)向量，狀態(tài)空間模型：即：回總目錄回本章目錄第十五頁，共23頁。11.2卡爾曼濾波一、卡爾曼濾波的意義卡爾曼濾波的實(shí)質(zhì)是由量測(cè)值重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。它以“預(yù)測(cè)—實(shí)測(cè)—修正”的順序遞推，根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值來消除隨機(jī)干擾，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值從被污染的系統(tǒng)中恢復(fù)系統(tǒng)的本來面目。回總目錄回本章目錄第十六頁，共23頁。二、卡爾曼濾波的形式模型要求卡爾曼濾波要求模型已知。即模型的結(jié)構(gòu)與參數(shù)已知，且隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)特征已知?？柭鼮V波的分類記的向量函數(shù)：

為狀態(tài)X（k)的估計(jì)量，分三種情況：當(dāng)k>j時(shí)，稱為預(yù)測(cè)；當(dāng)k=j時(shí)，稱為濾波；當(dāng)k<j時(shí)，稱為平滑。回總目錄回本章目錄第十七頁，共23頁。三、卡爾曼濾波的特點(diǎn)

卡爾曼濾波是解決狀態(tài)空間模型估計(jì)與預(yù)測(cè)的有力工具之一，它不需存儲(chǔ)歷史數(shù)據(jù)，且可以通過計(jì)算機(jī)程序達(dá)到對(duì)狀態(tài)空間模型的優(yōu)化擬合?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑隧?，共23頁。11.3方法評(píng)價(jià)一、狀態(tài)空間的特點(diǎn)1.狀態(tài)空間模型不僅能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)，而且能揭示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)與外部的輸入和輸出變量的聯(lián)系。2.狀態(tài)空間模型將多個(gè)變量時(shí)間序列處理為向量時(shí)間序列，這種從變量到向量的轉(zhuǎn)變更適合解決多輸入輸出變量情況下的建模問題。3.狀態(tài)空間模型能夠用現(xiàn)在和過去的最小信息形式描述系統(tǒng)的狀態(tài)，因此，它不需要大量的歷史數(shù)據(jù)資料，既省時(shí)又省力。回總目錄回本章目錄第十九頁，共23頁。二、狀態(tài)空間局限性

狀態(tài)空間表示一般是基于馬爾科夫特性，這就意味著給定系統(tǒng)的現(xiàn)在狀態(tài)，則要求系統(tǒng)的將來與過去獨(dú)立。如果一個(gè)系統(tǒng)不滿足馬爾科夫特性，就不適合用狀態(tài)空間模型。

回總目錄回本章目錄第二十頁，共23頁?？勺儏?shù)模型的狀態(tài)空間表示簡(jiǎn)單的消費(fèi)函數(shù)可表示為y=a+bx的形式；但隨經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生改變，經(jīng)濟(jì)變量影響關(guān)系也可能發(fā)生改變。這種情況下，可構(gòu)造消費(fèi)方程的變參數(shù)模型，設(shè)cs=CS/CPI，inc=YD/CPI，