數(shù)學(xué)八年級上冊11.3.2 多邊形的內(nèi)角和_第1頁
數(shù)學(xué)八年級上冊11.3.2 多邊形的內(nèi)角和_第2頁
數(shù)學(xué)八年級上冊11.3.2 多邊形的內(nèi)角和_第3頁
數(shù)學(xué)八年級上冊11.3.2 多邊形的內(nèi)角和_第4頁
數(shù)學(xué)八年級上冊11.3.2 多邊形的內(nèi)角和_第5頁
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文檔簡介

1/14第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和11.3.2多邊形的內(nèi)角和一、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念,能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式,并會應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)計算.【過程與方法】經(jīng)歷合作、交流等過程,初步形成推理思維.【情感、態(tài)度與價值觀】經(jīng)歷猜想、探索、歸納等過程,學(xué)會多角度、全方位研究問題的方法,體會轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想.二、課型新授課三、課時第1課時四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 1.多邊形的內(nèi)角和公式.2.多邊形的外角和公式.【教學(xué)難點(diǎn)】如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形,用分割多邊形法推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式. 五、課前準(zhǔn)備 教師:課件、三角尺、多邊形結(jié)構(gòu)圖等。學(xué)生:三角尺、直尺、多邊形紙片。六、教學(xué)過程(一)導(dǎo)入新課如圖所示,小華從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進(jìn)10米,又向左轉(zhuǎn)24°,…,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時,一共走的路程是多少米?你能計算嗎?(二)探索新知1.探究多邊形的內(nèi)角和定理教師問1:你知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎?學(xué)生回答:三角形的內(nèi)角和等于180°.教師問2:你知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度?學(xué)生回答:都是360°.(出示課件4)教師問3:你能猜想四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎?學(xué)生回答:四邊形的內(nèi)角和等于360°.教師問4:你是如何得到這個結(jié)論的?你能用以前學(xué)過的知識說明一下你的結(jié)論嗎?學(xué)生討論回答并得出結(jié)論.(出示課件5)證明:如圖,連接AC,

所以四邊形被分為兩個三角形,

所以四邊形ABCD內(nèi)角和為:180°×2=360°.

教師問5:同學(xué)們想一想,還有其他的證明方法嗎?學(xué)生討論回答并得出結(jié)論.(出示課件6-8)解法二:如圖,在BC邊上任取一點(diǎn)E,連接AE,DE,

所以該四邊形被分成三個三角形,

所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為

180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)

=180°×3–180°

=360°.

解法三:如圖,在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E,

連接AE,BE,CE,DE,

把四邊形分成四個三角形:

△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.

所以四邊形ABCD內(nèi)角和為:

180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)

=180°×4–360°=360°.

解法四:如圖,在四邊形外任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點(diǎn)的四個三角形.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×3–180°=360°.

結(jié)論:四邊形的內(nèi)角和為360°.

總結(jié)點(diǎn)撥:這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想,把四邊形分割成三角形,轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)了的三角形內(nèi)角和求解.教師問6:你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法,選一種方法求五邊形和嗎?學(xué)生回答:五邊形的內(nèi)角何為:內(nèi)角和為180°×3=540°.

教師問7:如圖,請你利用分割的方法探索六邊形的內(nèi)角和.學(xué)生討論回答并得出結(jié)論.六邊形的內(nèi)角和等于720°.(180°×4=720°.)(出示課件11)教師問8:選擇兩種不同的將多邊形分割成三角形的方法填入下表:多邊形的邊數(shù)圖形分割出的三角形個數(shù)多邊形的內(nèi)角和456…………n學(xué)生討論回答,并給出不同答案.多邊形的邊數(shù)圖形分割出的三角形個數(shù)多邊形的內(nèi)角和422×180o=360o533×180o=540o644×180o=720o…………nn–2(n-2)·180o教師問9:通過填表,你知道多邊形的內(nèi)角和公式是什么了嗎?學(xué)生回答:多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180教師問10:還有其他的分割多邊形為三角形的方法嗎?學(xué)生討論并回答,教師引導(dǎo)總結(jié).總結(jié)點(diǎn)撥:(出示課件13)多邊形的內(nèi)角和公式:n邊形內(nèi)角和等于(n–2)×180°.注意:①n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加,每增加一條邊其內(nèi)角和增加180°.②多邊形的內(nèi)角和是180°的整倍數(shù).

教師問11:回想正多邊形的性質(zhì),你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度嗎?每個外角呢?為什么?學(xué)生討論交流回答,并得出結(jié)論:正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是eq\f((n-2)·180°,n),每個外角的度數(shù)是eq\f(360°,n).例1:如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ),那么另一組對角有什么關(guān)系?試說明理由.(出示課件9)

師生共同解答如下:解:如圖,四邊形ABCD中,∠A+∠C=180°.

因為∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°,所以∠B+∠D=360°–(∠A+∠C)

=360°–180°=180°.

總結(jié)點(diǎn)撥:如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ),那么另一組對角也互補(bǔ).例2:一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°,并且這個多邊形的各內(nèi)角都相等,這個多邊形的每個內(nèi)角是多少度?(出示課件14)師生共同解答如下:解:設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n,則

(n–2)?180=360+720,

解得n=8,∵這個多邊形的每個內(nèi)角都相等,

(8–2)×180°=1080°,

∴它每一個內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°.

例3:已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n–2)×180°.

(1)甲同學(xué)說,θ能取360°;而乙同學(xué)說,θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎?若對,求出邊數(shù)n.若不對,說明理由;(出示課件16)(2)若n邊形變?yōu)椋╪+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°,用列方程的方法確定x.(出示課件17)

師生共同解答如下:(1)解:∵360°÷180°=2,

630°÷180°=390°,

∴甲的說法對,乙的說法不對,

360°÷180°+2=4.

故甲同學(xué)說的邊數(shù)n是4;

(2)解:依題意有

(n+x–2)×180°–(n–2)×180°=360°,

解得x=2.

故x的值是2.

2.合作探索多邊形的外角和如圖,在五邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角,這些外角的和叫做五邊形的外角和.

教師問12:看圖想一想,五邊形任意一個外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系?

學(xué)生回答:互補(bǔ)教師問13:五個外角加上它們分別相鄰的五個內(nèi)角和是多少?學(xué)生回答:5×180°=900°(出示課件21)教師問14:這五個平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系?五邊形的外角和是多少呢?(出示課件22)學(xué)生回答:五邊形的內(nèi)角和+外角和=五個平角和五邊形外角和=5個平角–五邊形內(nèi)角和=5×180°–(5–2)×180°=360°

結(jié)論:五邊形的外角和等于360°.

教師問15:小組合作完成下表.三角形四邊形五邊形六邊形八邊形十邊形內(nèi)角和外角和學(xué)生討論給出答案.三角形四邊形五邊形六邊形八邊形十邊形內(nèi)角和180°360°540°720°900°1080°外角和360°360°360°360°360°360°教師問16:通過表格,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?學(xué)生討論回答:①多邊形每增加一條邊,內(nèi)角和就增加180°;②多邊形的外角和都是360°.教師問17:試證明你的結(jié)論.學(xué)生交流合作作出證明,教師查看給予引導(dǎo).在n邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角,這些外角的和叫做n邊形的外角和.n邊形的外角和又是多少呢?(出書課件23)

證明:n邊形外角和=n個平角–n邊形內(nèi)角和=n×180°–(n–2)×180°=360°

所以n邊形的外角和等于360°(注意與邊數(shù)無關(guān))例4:已知一個多邊形,它的內(nèi)角和等于外角和的2倍,求這個多邊形的邊數(shù).

(出示課件25)師生共同解答如下:解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.

∵它的內(nèi)角和等于(n–2)?180°,

多邊形外角和等于360°,

∴(n–2)?180°=2×360o.

解得n=6.

∴這個多邊形的邊數(shù)為6.

例5:已知一個多邊形的每個內(nèi)角與外角的比都是7:2,求這個多邊形的邊數(shù).(出示課件26)解法一:設(shè)這個多邊形的內(nèi)角為7x°,外角為2x°,

根據(jù)題意得7x+2x=180,解得x=20.

即每個內(nèi)角是140°,每個外角是40°.

360°÷40°=9.

答:這個多邊形是九邊形.

教師問:還有其他解法嗎?

解法二:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意得(出示課件27)解得n=9.答:這個多邊形是九邊形.(三)課堂練習(xí)(出示課件31-35)1.判斷.

(1)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時,它的內(nèi)角和也隨著增加.()

(2)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時,它的外角和也隨著增加.()

(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等.()2.一個多邊形的每一個外角都是36°,則這個多邊形的邊數(shù)是________.

3.如圖所示,小華從點(diǎn)A出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進(jìn)10米,又向左轉(zhuǎn)24°,…,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時,走的路程一共是________米.

4.一個多邊形從一個頂點(diǎn)可引對角線3條,這個多邊形內(nèi)角和等于()

A.360°B.540°

C.720°D.900°

5.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°,截去一個角后,求得到的多邊形的內(nèi)角和.

6.如圖,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù).

參考答案:1.(1)√(2)×(3)√2.103.1504.B5.解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則有180°×(n–2)=1800°,解得n=12.∴原多邊形邊數(shù)為12.∵一個多邊形截去一個內(nèi)角后,邊數(shù)可能減1,可能不變,也可能加1,∴新多邊形的邊數(shù)可能是11,12,13,∴新多邊形的內(nèi)角和可能是1620°,1800°,1980°.6.解:如圖,

∵∠3+∠4=∠8+∠9,

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7

=五邊形的內(nèi)角和

=540°.

(四)課堂小結(jié)今天我們學(xué)了哪些內(nèi)容:本節(jié)主要學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.(五)課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課(12.1)的相關(guān)內(nèi)容。1.知道全等形、全等三角形、對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角等概念2.了解全等三角形的性質(zhì)七、課后作業(yè)1、教材24頁練習(xí)1,2,32、如圖,小東在足球場的中間位置,從A點(diǎn)出發(fā),每走6m向左轉(zhuǎn)60°,已知AB=BC=6m.(1)小東是否能走回A點(diǎn),若能回到A點(diǎn),則需走多少米?走過的路徑是一個什么圖形?為什么?(路徑A到B到C到…)(2)求出這個圖形的內(nèi)角和.八

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