清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義第二章Griffith斷裂理論

第二章：Griffith理論熱力學(xué)（回顧）Griffith理論能量釋放率GG的實(shí)驗(yàn)測量—柔度標(biāo)定Griffith理論在非理想脆性材料中的修正一些討論現(xiàn)在是1頁\一共有50頁\編輯于星期三熱力學(xué)熱力學(xué)第一定律：系統(tǒng)又有往能量極小演化的趨勢似乎有矛盾，怎么回事？熱力學(xué)第零定律：若兩個熱力學(xué)系統(tǒng)均與第三個系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，此兩個系統(tǒng)也必互相處于熱平衡。對于非孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的總能量始終是守恒的。熱平衡的標(biāo)志為系統(tǒng)的各個部分溫度相等U是狀態(tài)量，Q、Wmech、Wextra是過程量（路徑依賴）現(xiàn)在是2頁\一共有50頁\編輯于星期三熱力學(xué)第二定律揭示了系統(tǒng)在保持總能量不變情況下的發(fā)展方向熱能區(qū)別于其他能量形式很多能量都最終耗散轉(zhuǎn)化為熱能事實(shí)上系統(tǒng)演化是一個熵增的過程熱力學(xué)第二定律：不可能把熱量從低溫物體傳遞到高溫物體而不產(chǎn)生其他影響。Clausius不可能從單一熱源吸收能量，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響。Kelvin-Planck引入S熵現(xiàn)在是3頁\一共有50頁\編輯于星期三封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。對于具有定常體積、外參量和熵的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小，當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達(dá)到極小值。能量最小原理：達(dá)到平衡狀態(tài)能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一種表述。內(nèi)能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能現(xiàn)在是4頁\一共有50頁\編輯于星期三Legendre變換Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)。Legendre變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamicpotential）之間作轉(zhuǎn)換。Legendre變換現(xiàn)在是5頁\一共有50頁\編輯于星期三Griffith理論AlanArnoldGriffith(1893-1963).HewasborninLondonon13June1893.HeearnedhisB.Eng.inmechanicalengineeringin1914,M.Eng.in1917,andD.Eng.in1921,allfromtheUniversityofLiverpool.In1915,heenteredtheRoyalAircraftFactory(laterknownastheRoyalAircraftEstablishment),andadvancedthroughaworkshoptraineeshipfollowedbyotherpositionstobecomeseniorscientificofficerin1920.In1917,togetherwithG.I.Taylor,hepublishedapioneeringpaperontheuseofsoapfilmsinsolvingtorsionproblems,andin1920hepublishedhisfamouspaperonthetheoryofbrittlefracture.Hethenworkedonthedesigntheoryofgasturbines.GriffithwasHeadoftheEngineDepartmentoftheRoyalAircraftEstablishmentin1938andjoinedRollsRoyceasresearchengineerin1939.Heworkedfirstonconceptualdesignofturbojetenginesandlateronverticaltakeoffaircraftdesign.Heretiredin1960butcontinuedworkingasaconsultantforRollsRoyce.Hediedon13October1963.BiographicalMemoirsofFellowsoftheRoyalSociety,Vol.10,(Nov.,1964),pp.117-136現(xiàn)在是6頁\一共有50頁\編輯于星期三Griffith理論橢圓孔的應(yīng)力分布（彈性力學(xué)解）CharlesInglis,1913C.E.Inglis,

Stressinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,1913.尖銳的裂紋現(xiàn)在是7頁\一共有50頁\編輯于星期三Griffith理論A.A.Griffith,

Phenomenaofruptureandflowinsolids,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon,A221,163-198(1921).EnergybalanceconceptDifferenceinelasticenergybetweenthecrackedsheetandtheuncrackedsheetCrackedsheethasthefreesurfacePlanestrainTotalenergygSurfaceenergyHomework（作業(yè)題）Equilibriumcondition?Crackgrowthwillbeunstable!隨后深入討論穩(wěn)定性！現(xiàn)在是8頁\一共有50頁\編輯于星期三作業(yè)題1.閱讀Griffith的論文。根據(jù)如下兩個公式回答Inglis的解與Griffith理論之間的關(guān)系，并說明哪個解更復(fù)合實(shí)際情況，為什么？同時給出在什么情況下兩者是基本一致的？Inglis的解Griffith的解現(xiàn)在是9頁\一共有50頁\編輯于星期三作業(yè)題2.如下圖所示，在楔形處插入高h(yuǎn)的方形木塊，楔形的楊氏模量為E，表面能為g，求解裂紋起裂時的臨界條件，即c(E,h,d,g)，并判斷裂紋擴(kuò)展是否穩(wěn)定，同時用圖示說明？（注：考慮單位厚度的能量即可，計算能量時不需考慮力F的做功，僅需將懸臂段考慮成梁，計算其彎曲能即可）現(xiàn)在是10頁\一共有50頁\編輯于星期三封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。對于具有定常體積、外參量和熵的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小，當(dāng)達(dá)到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達(dá)到極小值。能量最小原理：達(dá)到平衡狀態(tài)能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一種表述。內(nèi)能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能熵不變Legendre變換狀態(tài)函數(shù)現(xiàn)在是11頁\一共有50頁\編輯于星期三Legendre變換Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)。Legendre變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamicpotential）之間作轉(zhuǎn)換。Legendre變換現(xiàn)在是12頁\一共有50頁\編輯于星期三斷裂過程中的能量平衡及轉(zhuǎn)化考察一個斷裂過程中的能量平衡外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的彈性應(yīng)變能增加系統(tǒng)新增表面能斷裂過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱系統(tǒng)內(nèi)部熱能增加傳出系統(tǒng)的熱量熱力學(xué)第二定律要求由(*)式得B:試件厚度(*)斷裂的驅(qū)動力斷裂阻力現(xiàn)在是13頁\一共有50頁\編輯于星期三斷裂是一個材料生成新表面的過程!阻力：表面能驅(qū)動力單位面積表面能，或表面張力G

裂紋前進(jìn)單位面積的機(jī)械能量減少,稱為能量釋放率。IrwinG.R.Onsetoffastcrackpropagationinhighstrengthsteelandaluminumalloys.SagamoreResearchConferenceProceedings,Vol.2,1956,pp.289-305.GeorgeRankineIrwin現(xiàn)在是14頁\一共有50頁\編輯于星期三下面我們首先研究最簡單的例子，在斷裂過程中沒有系統(tǒng)和外界功的交換，即上式給出了在斷裂過程中最一般的能量平衡和轉(zhuǎn)換關(guān)系以及判斷準(zhǔn)則。

現(xiàn)在是15頁\一共有50頁\編輯于星期三一個典型例子：Griffith脆斷理論問題：多長的裂紋會自動擴(kuò)展？表面能外界對系統(tǒng)做功位移固定邊界單位面積表面能如何計算彈性應(yīng)變能的改變dUe？現(xiàn)在是16頁\一共有50頁\編輯于星期三計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理為什么可以用疊加原理?上下的疊加哪個正確?為什么?(a)(b)(c)(a)(b)(c)宏微觀斷裂力學(xué)現(xiàn)在是17頁\一共有50頁\編輯于星期三其實(shí)只要邊界和外載處滿足疊加條件即可，為什么？若系統(tǒng)由線彈性和非線彈性部分組成，可否用疊加原理?(a)(b)(c)如何檢查疊加是否正確？線性系統(tǒng)（線彈性、小變形、小轉(zhuǎn)動）檢查以下等式是否都滿足現(xiàn)在是18頁\一共有50頁\編輯于星期三假設(shè)(b)為應(yīng)變能零狀態(tài),要求解(a)狀態(tài)能量,先轉(zhuǎn)換成求(c)狀態(tài)能量，及裂紋張開所需的應(yīng)變能。對于一般的問題能用疊加來計算能量嗎？

若不能,為什么這里可以？

(a)(b)(c)計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理對于無限大板（L>>a），參見隨后的作業(yè)題3現(xiàn)在是19頁\一共有50頁\編輯于星期三(a)(b)(c)計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理通過計算做功來計算能量差異狀態(tài)（a）和（b）之間的差異（讓裂紋閉合所做的功）狀態(tài)（b）和（c）之間的差異現(xiàn)在是20頁\一共有50頁\編輯于星期三(a)(b)(c)計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理上面是位移邊界作業(yè)題4.如果采用力邊界，如何采用疊加原理計算帶有中心裂紋板的能量？仿照課程講義關(guān)于位移邊界的情況，討論有限板和無限大板的情況?，F(xiàn)在是21頁\一共有50頁\編輯于星期三最一般形式對于位移固定加載的系統(tǒng)臨界裂紋長度臨界應(yīng)力裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于考慮Griffith裂紋（如右圖）的情況結(jié)合作業(yè)題，簡單討論尺度效應(yīng)現(xiàn)在是22頁\一共有50頁\編輯于星期三最一般形式對于位移固定加載的系統(tǒng)裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于對于位移固定加載的系統(tǒng)，可以用總能量＝表面能＋彈性應(yīng)變能作為狀態(tài)函數(shù)來確定系統(tǒng)演化的方向，系統(tǒng)朝總能量減小方向演化。裂紋擴(kuò)展需滿足現(xiàn)在是23頁\一共有50頁\編輯于星期三位移固定邊界下裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)

裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動力＝裂紋擴(kuò)展的阻力隨裂紋擴(kuò)展釋放的應(yīng)變能＝生成新表面需要能量A代表面積，G量綱為J/m2(N/m)，代表廣義能量力A是裂紋的投影面積，是新增表面積的一半固定力加載時，是否有對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)來確定演化方向？如何確定G？能量釋放率：注意到現(xiàn)在是24頁\一共有50頁\編輯于星期三位移固定載荷固定（力固定）D臨界狀態(tài)現(xiàn)在是25頁\一共有50頁\編輯于星期三位移固定載荷固定（力固定）圖示能量改變現(xiàn)在是26頁\一共有50頁\編輯于星期三基于Legendre變換的理解將Ue轉(zhuǎn)換為另外一個函數(shù)以P為自變量將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)?，F(xiàn)在是27頁\一共有50頁\編輯于星期三能量釋放率材料對裂紋臨界擴(kuò)展的抗力理想脆斷Gc隨a的變化稱為材料的斷裂阻力曲線Griffith起裂準(zhǔn)則不起裂臨界狀態(tài)對于平衡態(tài)靜止裂紋裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性條件穩(wěn)定裂紋隨遇裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展更準(zhǔn)確的應(yīng)該是？

現(xiàn)在是28頁\一共有50頁\編輯于星期三斷裂阻力曲線Gc=ConstGc=R(a)外加載荷s1<s2<s3當(dāng)裂紋足夠小時，裂紋擴(kuò)展總是不穩(wěn)定。對長裂紋而言，裂紋擴(kuò)展初期是穩(wěn)定的，但隨著載荷的增大，將變得不穩(wěn)定。長/短裂紋的擴(kuò)展穩(wěn)定性？示例Gc一般情形現(xiàn)在是29頁\一共有50頁\編輯于星期三考慮更一般的情況，包含試驗(yàn)機(jī)和試件兩個系統(tǒng)。下面的例子試件子系統(tǒng)與外界會有功的交換，但是若將試驗(yàn)機(jī)和試件視為一個總系統(tǒng)，首先仍研究沒有功交換的情形。與裂紋有關(guān)的試件柔度試驗(yàn)機(jī)柔度整個加載系統(tǒng)的總彈性能為能量釋放率能量釋放率與加載方式無關(guān)！G的實(shí)驗(yàn)測量—柔度標(biāo)定現(xiàn)在是30頁\一共有50頁\編輯于星期三為什么?裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性討論裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性與加載方式有關(guān)！CM值越大，越容易實(shí)現(xiàn)裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展剛度無窮大，剛性加載，控制位移加載控制載荷加載

理解現(xiàn)在是31頁\一共有50頁\編輯于星期三Griffith理論在非理想脆性材料中的修正Irwin（1948，1957）和Orowan（1948）每單位裂紋長度擴(kuò)展時在斷裂過程區(qū)內(nèi)消耗的塑性變形功塑性變形僅局限于裂紋尖端（即塑性區(qū)尺寸遠(yuǎn)小裂紋長度或其他特征長度尺寸）裂紋擴(kuò)展所釋放的機(jī)械能大部分消耗于裂紋尖端的塑性變形功塑性功的大小足以表征材料的斷裂性能材料常數(shù)？

EgonOrowan現(xiàn)在是32頁\一共有50頁\編輯于星期三一些討論什么是表面能？裂紋長度a是否單調(diào)增的？如何理解能量釋放率G與加載方式無關(guān)（廣義構(gòu)型力、能量平衡）？Legendre變換和狀態(tài)函數(shù)的選擇？是否存在一個特征尺度（尺寸效應(yīng)）？現(xiàn)在是33頁\一共有50頁\編輯于星期三什么是表面能(Surfaceenergy)？在Griffith理論里有一個表面能的概念。其解釋是生成單位面積新表面所需要的能量。主要以下幾個問題：1、表面能跟什么有關(guān)？可以肯定的是跟材料性質(zhì)有關(guān)，如鋁、鐵應(yīng)該有不同的表面能。還有其他因素嗎？跟材料的楊氏模量會不會有關(guān)系？2、怎么能得到一種材料的表面能？如果要通過實(shí)驗(yàn)得到材料的表面能，能否通過斷裂力學(xué)的方法得到？除了這個還有其他方法嗎？3、如果一個材料是各向異性的，比如楊氏模量有E1、E2。那么如果利用Griffith理論，是不是應(yīng)該得到具有方向性的表面能？現(xiàn)在是34頁\一共有50頁\編輯于星期三什么是表面能(Surfaceenergy)？SurfaceenergyVS.SurfacetensionSurfacetensionformforce:Theforce,F,involvedinstretchingafilmisF=gLThismeansg=F/Li.e.force/unitlength;Units:N/mormN/mSurfaceenergyfromwork:Thework,dW,involvedinincreasingthesurfacebyalengthdxis,dW=dG=gLdx=gdAThismeans,g=dG/dAi.e.freeenergy/unitarea;Units:J/m2=N/mSurfacetensionandsurfaceenergyareinterchangeabledefinitionswiththesameunits.現(xiàn)在是35頁\一共有50頁\編輯于星期三什么是表面能(Surfaceenergy)？ExperimentalmeasurementforSolidThesurfaceenergyofasolidisusuallymeasuredathightemperatures.Atsuchtemperaturesthesolid

creeps

andeventhoughthesurfaceareachanges,thevolumeremainsapproximatelyconstant.Ifgisthesurfaceenergydensityofacylindricalrodofradiusr

andlength

l

athightemperatureandaconstantuniaxialtension

P,thenatequilibrium,the

variation

ofthetotal

Gibbsfreeenergy

vanishes,so

variationofarea

variationofvolume

SurfaceenergyOnlyforisotropicsolidsInthecaseofsingle-crystalmaterials,anisotropyinthesurfaceenergyleadstofaceting.Theshapeofthecrystal(assumingequilibriumgrowthconditions)isrelatedtothesurfaceenergybyWulffconstruction.現(xiàn)在是36頁\一共有50頁\編輯于星期三什么是表面能(Surfaceenergy)？CalculationsDuringthedeformationofsolids,surfaceenergycanbetreatedasthe“energyrequiredtocreateoneunitofsurfacearea”,andisafunctionofthedifferencebetweenthetotalenergiesofthesystembeforeandafterthedeformation,soIntheabinitiocalculations,formationenergyofthecrystallinesolidcanbecalculatedby,Eslab

isthetotalenergyofasymmetricslab(i.e.onewithinversionsymmetry,andwherebothsidesoftheslabhavebeenrelaxed),

Ebulkisthetotalenergyofabulkunitcell,

Nslab

isthenumberofatomsintheslab,andNbulk

isthenumberofatomsinthebulkunitcell.現(xiàn)在是37頁\一共有50頁\編輯于星期三斷裂力學(xué)中的尺度效應(yīng)載荷與裂紋幾何參數(shù)組合VS純粹的材料參數(shù)組合載荷參數(shù)VS純粹的材料參數(shù)組合相似性？存在一個材料內(nèi)稟的特征尺度?。?！現(xiàn)在是38頁\一共有50頁\編輯于星期三斷裂力學(xué)中的尺度效應(yīng)GaoandJi內(nèi)稟特征長度缺陷不敏感性/容忍性FlawInsensitivity/Tolerance現(xiàn)在是39頁\一共有50頁\編輯于星期三Griffith律從Griffth斷裂到材料的理論強(qiáng)度的轉(zhuǎn)變裂紋初始擴(kuò)展BuehlerM.IWNM,2004當(dāng)h<hcr，材料呈現(xiàn)為缺陷不敏感性，在缺陷附件沒有明顯的應(yīng)力集中。材料斷裂時，裂尖應(yīng)力均勻，達(dá)到理論強(qiáng)度。斷裂強(qiáng)度不依賴結(jié)構(gòu)尺寸。缺陷不敏感性/容忍性現(xiàn)在是40頁\一共有50頁\編輯于星期三QinZ,andBuehlerM.ACSNano,5:3034(2011).AckbarowT,SenD,ChristianThaulowC,andBuehlerM.PlosOne,4:e6015,(2009).蛋白質(zhì)折疊、a-b轉(zhuǎn)變或滑移a螺旋的蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的斷裂應(yīng)變對于結(jié)構(gòu)缺陷不敏感。生物材料中缺陷不敏感性/容忍性現(xiàn)在是41頁\一共有50頁\編輯于星期三機(jī)制：裂紋的擴(kuò)展被內(nèi)在的缺陷所抑制或阻止缺陷尺寸BennisonSJ,PadtureNP,RunyanJL,andLawnBR.Phil.Mag.Lett.,64:191,(1991).利用壓痕引入缺陷陶瓷中缺陷不敏感性現(xiàn)在是42頁\一共有50頁\編輯于星期三KumarS,HaqueA,andGaoH.APL,94:253104,(2009).試樣：長100mm，寬3.5-5mm，厚80-125nm，平均晶粒尺寸50nm缺陷：

U型，半徑50nm大多數(shù)試樣從遠(yuǎn)離缺陷的地方發(fā)生斷裂。納晶薄膜中缺陷不敏感性現(xiàn)在是43頁\一共有50頁\編輯于星期三小結(jié)在一個斷裂過程中，外界做的功一部分用于改變系統(tǒng)的應(yīng)變能，一部分用于生成新表面的表面能，剩下的就是最終變成熱。能量釋放率，裂紋擴(kuò)展單位面積時勢能的減少。能量釋放率與加載方式無關(guān)，但裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性與加載方式有關(guān)！G的實(shí)驗(yàn)測量—柔度標(biāo)定。Griffith理論在非理想脆性材料中的